精品解析： 江西泰和县万合中学2023-2024学年下学期期中八年级数学试题

八年级下册期中检测卷 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若a＜b，则下列变形正确的是( ) A. a－1b－1 B. C. －3a－3b D. 3. 如图，直线∥，AB=BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA=25°，则∠1的度数为（ ） A. 70° B. 65° C. 60° D. 55° 4. 三个连续正整数的和小于99，这样的正整数共有多少组(　　) A. 30组 B. 31组 C. 32组 D. 33组 5. 已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（　　） A. 15° B. 45° C. 15°或30° D. 15°或45° 6. 如图，将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 命题“如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是____ 命题（填“真”或“假”） 8. 如图所示，一次函数（、为常数，且）的图象经过点，则不等式的解集为___． 9. 如图，射线是的平分线，D是射线上一点，于点P，．若Q是射线上一点，，则的面积是______． 10. 若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是_______． 11. 如图，等边中，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转得，那么线段的长为_____________. 12. 如图，在直角坐标系中，A，B的坐标分别为(4，0)，(0，2)，将线段AB向上平移个单位得到连接，如果为等腰三角形，那么m的值为_________________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式（组）： （1）； （2），并把它的解集表示在数轴上． 14. 如图，在中，是边上一点，，，交的延长线于点．求的度数． 15. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 16. 如图，在中，，点是内一点，将绕点逆时针旋转后能与重合，若，求的长． 17. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）将△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，并且，求证：． 19. 已知方程组的解，都为负数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为，求的值． 20. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AE＝CD，AD与BE相交于点F，BG⊥AD，垂足为G． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）若FG＝3，EF＝1，求AD的长． 五、（大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. （1）如图，在中，，，点D在上，且，点E在的延长线上，且，求的度数； （2）如果把第（1）题中“”的条件去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？请说明理由． 22. 为了加强对校内外的安全监控，创建平安校园，某学校计划增加台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表所示，经调查，购买台甲型设备比购买台乙型设备少元，购买台甲型设备比购买台乙型设备多元. 甲型 乙型 价格（元/台） 有效半径（米/台） （）求，的值； （）若购买该批设备的资金不超过元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ （）在（）的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案. 六、（本大题共1小题，共12分） 23. （1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）联想：如图③，在四边形中，，若，，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册期中检测卷 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】A选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选D． 【点睛】此题考查的是轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解决此题的关键． 2. 若a＜b，则下列变形正确的是( ) A. a－1b－1 B. C. －3a－3b D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、∵a＜b， ∴a−1＜b−1，故本选项不符合题意； B、∵a＜b， ∴，故本选项不符合题意； C、∵a＜b， ∴−3a＞−3b，故本选项符合题意； D、当时，； 当时，； 当时，；故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 3. 如图，直线∥，AB=BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA=25°，则∠1的度数为（ ） A. 70° B. 65° C. 60° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂线的定义和三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据等腰三角形的性质可求∠BCA的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DCA＝25°， ∴∠BAC＝65°， ∵AB＝BC， ∴∠BCA＝65°， ∵∥， ∴∠1＝65°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 4. 三个连续正整数的和小于99，这样的正整数共有多少组(　　) A. 30组 B. 31组 C. 32组 D. 33组 【答案】B 【解析】 【分析】设这三个连续正整数是：x-1，x，x+1，（x-1、x、x+1都是大于0的整数），得出不等式x-1+x+x+1＜99，求出不等式的正整数解即可． 【详解】解：设这三个连续正整数是：x-1，x，x+1，（x-1、x、x+1都是大于0的整数） ∴x-1+x+x+1＜99， 解得：x＜33， ∵x-1＞0， x＞1， ∴1＜x＜33， ∴x取2、3、4……30、31、32． ∴这样的正整数共有31组. 故选B． 【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，能得出不等式x-1+x+x+1＜99是解此题的关键． 5. 已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（　　） A. 15° B. 45° C. 15°或30° D. 15°或45° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图，可得出OP为∠AOB的角平分线，有，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数有两种情况，依据所作图形即可得解. 【详解】解：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心， 以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，∴ （2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC＝15°或45°， 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是根据题意作图并求解，依据题意作出正确的图形是解题的关键. 6. 如图，将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据正边形的性质求出DM的长，再求得四边形ADMB′的面积，然后由旋转的性质求得阴影部分面积． 【详解】解：设CD、B′C′相交于点M，连接AM，DM＝x， ∵将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH， ∴∠MAD＝30°，AM＝2x， 在△ADM中，x2+3＝4x2， 解得：x＝1， ∴SADMB′＝， ∴图中阴影部分面积为：3﹣． 故选：B． 【点睛】本题要把旋转的性质和正方形的性质结合求解．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，注意方程思想的运用． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 命题“如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是____ 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【详解】解：如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是：如果a＞b，则a2＞b2， 假设a=1，b=-2， 此时a＞b，但a2＜b2， 即此命题为假命题． 故答案为：假． 8. 如图所示，一次函数（、为常数，且）的图象经过点，则不等式的解集为___． 【答案】． 【解析】 【分析】由于一次函数y=ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），再根据图象得出函数的增减性，即可求出不等式ax+b＜1的解集． 【详解】函数的图象如图所示，图象经过点，且函数值随的增大而增大， 故不等式的解集是． 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解题的关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 9. 如图，射线是的平分线，D是射线上一点，于点P，．若Q是射线上一点，，则的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积即可求出结果． 【详解】解：过点D作于点H，如图， ∵射线是的平分线，，， ∴， ∴的面积=． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 10. 若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于m的不等式组，求出即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组只有两个整数解， ∴， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于m的不等式组，难度适中． 11. 如图，等边中，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转得，那么线段的长为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，勾股定理．解题时注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．由等边中，，D是的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得的长为，又由将绕点A逆时针旋转得，易得是等边三角形，继而求得答案． 【详解】解：∵等边中，， ∴， ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在直角坐标系中，A，B的坐标分别为(4，0)，(0，2)，将线段AB向上平移个单位得到连接，如果为等腰三角形，那么m的值为_________________． 【答案】2或3或 【解析】 【分析】根据A、B的坐标分别为（4，0），（0，2），得到OA=4，OB=2，根据勾股定理得到AB=，由将线段AB向上平移m个单位得到A’B’，得到A’B’=，根据△OA’B’为等腰三角形，①当OB’=A’B’=时，②当OA’=A’B’=时，③当OB’=A’O=2+m时，分别求得m的值即可． 【详解】解：∵A、B的坐标分别为（4，0），（0，2）， ∴OA=4，OB=2， ∴AB=， ∵将线段AB向上平移m个单位得到A′B′， ∴A′B′=， ∵△OA′B′为等腰三角形， ∴①当OB′=A′B′=时， ∴m=BB′=-2； ②当OA′=A′B′=时，m=AA′=2， ③当OB′=A′O=2+m时， ∴2+m=， ∴m=3， 综上所述，如果△OA′B′为等腰三角形，那么m的值为2或3或-2． 故答案为：2或3或-2． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式（组）： （1）； （2），并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知几个不等式的解集的公共部分的找法是解题关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项得：， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问2详解】 解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为 14. 如图，在中，是边上一点，，，交的延长线于点．求的度数． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质得到，则由平行线的性质可得． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等等，正确求出是解题的关键． 15. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 【答案】 证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC与△BAD是直角三角形， 在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°， ∴△ABC≌△BAD（HL） ∴BC=AD． （2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB． ∴△OAB是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD． （2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练． 16. 如图，在中，，点是内一点，将绕点逆时针旋转后能与重合，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转后和重合，得出旋转角是，又旋转前后长度不变，得出等腰直角三角形，根据勾股定理求出即可． 【详解】∵将绕点逆时针旋转后能与重合， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴ 【点睛】本题考查了旋转的旋转，勾股定理，等腰直角三角形等知识点的应用，根据旋转的性质得出：旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，得到的是一个等腰直角三角形，是解此题的关键，再根据勾股定理求解即可． 17. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）将△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标． 【答案】（1） 如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣3，3）； （2） 解：如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣3，﹣3）． 【解析】 【分析】（1）根据平移方式先分别得到A、B、C对应点的、、的坐标，然后顺次连接、、即可； （2）根据旋转方式先分别得到、、对应点的、、的坐标，然后顺次连接、、即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，熟知点坐标平移和旋转的特点是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，并且，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是的垂直平分线，则，又的周长等于，则，然后代入即可求解； （）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，然后求出，，从而可得，然后利用等角对等边即可求证． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，的周长等于， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：略． 19. 已知方程组的解，都为负数． （1）求的取值范围； （2）在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． （1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据不等式的解集求出a的范围，即可得出答案． 【小问1详解】 解：解方程组得， 由题意，得 不等式①的解集是，不等式②的解集是． 则原不等式组的解集为． 【小问2详解】 解：∵不等式的解集为， ∴即． 由（1）知 ∴，故． 20. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AE＝CD，AD与BE相交于点F，BG⊥AD，垂足为G． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）若FG＝3，EF＝1，求AD的长． 【答案】 （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ， 在△ABE和△CAD中 ， ， （2）AD=7． 【解析】 【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△CAD即可； （2）利用全等三角形的性质证明∠BFD=60°，再利用直角三角形30°角性质，推出BF=2FG即可解决问题； 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ，即BF=2FG， ∵FG=3，EF=1， ∴BF=6，BE=BF+EF=7， ∴AD=BE=7． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 五、（大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. （1）如图，在中，，，点D在上，且，点E在的延长线上，且，求的度数； （2）如果把第（1）题中“”的条件去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）不改变，理由如下： 设， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，三角形外角性质等，牢记性质是解题关键． （1）由，可得，根据得到，根据，，结合三角形的外角性质可得，最后利用三角形的外角性质即可解决； （2）根据等边对等角、三角形外角性质及三角形内角和定理即可解决． 【详解】解：（1）在中， ，， ， 又， ． ，， ， ， ； （2）略 22. 为了加强对校内外的安全监控，创建平安校园，某学校计划增加台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表所示，经调查，购买台甲型设备比购买台乙型设备少元，购买台甲型设备比购买台乙型设备多元. 甲型 乙型 价格（元/台） 有效半径（米/台） （）求，的值； （）若购买该批设备的资金不超过元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ （）在（）的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案. 【答案】（1）；（2）学校有三种购买方案：方案一甲台乙台；方案二甲台乙台；方案三甲台乙台；（3）最省钱的购买方法为购买甲台，乙台． 【解析】 【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备（15-x）台，根据总价=单价×数量结合购买该批设备的资金不超过7200元且两种型号的设备均要至少买一台，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可得出各购买方案； （3）由（2）的结论结合监控半径覆盖范围不低于1600米，可求出x的值，再利用总价=单价×数量可求出当x=12和x=13时购买费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意得, 解得; （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台, 由题意得 ， 解得 ∵取整数，∴，，共三种方案， 答：学校有三种购买方案：方案一甲台乙台；方案二甲台乙台； 方案三甲台乙台． （3）由题意 解得∴ 的取值为或 当时，所需资金为：（元）， 当时，所需资金为：（元）， ∵， ∴方案二省钱 答：最省钱的购买方法为购买甲台，乙台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. （1）如图①．在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （2）如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）联想：如图③，在四边形中，，若，，则的长为______． 【答案】 （1）， 理由如下：连接， 由题意得： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， （2）， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）2 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）过点A作，使，连接， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $