精品解析：湖南省湘潭市第十二中学 2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024年下学期湘钢一中教育集团市十二中期中调研 八年级数学学科试题卷 时量：120分钟；满分：120分 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若分式的值等于0，则x的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3 2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（　　） A. 1，1，2 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，3，5 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中的和都扩大了3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 5. 银农科技董事长钱炫舟公开宣布：银农科技的终极目标——做真正的纳米农药，发挥更好的药效，创造更多的价值！银农的粒径新标准达到纳米（1纳米米），也标志着银农产品正式步入纳米时代．将600纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（　　） A. =2 B. =2 C. =2 D. =2 7. 下列命题是假命题的是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 平行于同一条直线的两直线平行 D. 对顶角相等 8. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，求（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点，分别为，的中点，且，则为（ ） A. 2 B. 8 C. 4 D. 1 10. 现有一列数：，，，，…，，（为正整数），规定，，，…，，若，则的值为（ ） A. 97 B. 98 C. 99 D. 100 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，共24分） 11. 分式有意义，则x的取值范围是________． 12. 化简得_____． 13. 在△ABC中，∠A＝70°，∠A比∠B大10°，则∠C＝_______°． 14. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为___________． 15. 关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为________． 16. ，的最简公分母是______． 17. 若，，则______． 18. 图1，在中，的角平分线与的外角平分线交于．当为时，图2，的角平分线与的角平分线交于，与的平分线交于，______°． 三、解答题（本大题8个小题，6+6+8+8+9+9+10共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解分式方程： （1）； （2）． 22. 如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，在中，，D为中点，平分交于点E，过点E作交于点F． （1）若，求的度数； （2）求证：． 24. 今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等． （1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ （2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由． 25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 26. 如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． （1）求证：； （2）当点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期湘钢一中教育集团市十二中期中调研 八年级数学学科试题卷 时量：120分钟；满分：120分 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若分式的值等于0，则x的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解． 【详解】由题意可得：且，解得． 故选A． 【点睛】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质． 2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（　　） A. 1，1，2 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，3，5 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】A、1+1=2，不满足三边关系，故错误； B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误； C、2+3＞4，满足三边关系，故正确； D、2+3=5，不满足三边关系，故错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】A. 原式为最简分式，符合题意； B. ，分子、分母中含有公因式x-y，该分式不是最简分式，不符合题意； C. ，分子、分母中含有公因式x-y，该分式不是最简分式，不符合题意； D. ，分子、分母中含有公因式2，该分式不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 4. 如果把分式中的和都扩大了3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 【答案】C 【解析】 【分析】将分子与分母中未知数分别乘以3，进而化简即可． 【详解】， 故分式的值缩小3倍． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的性质，将未知数扩大3倍后再化简分式是解题关键． 5. 银农科技董事长钱炫舟公开宣布：银农科技的终极目标——做真正的纳米农药，发挥更好的药效，创造更多的价值！银农的粒径新标准达到纳米（1纳米米），也标志着银农产品正式步入纳米时代．将600纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】首先把600纳米化成以米为单位的量；然后根据：绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，将600纳米用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1纳米米， ∴600纳米=米． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6. 施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（　　） A. =2 B. =2 C. =2 D. =2 【答案】A 【解析】 【详解】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可． 详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米， 根据题意，可列方程：=2， 故选A． 点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 7. 下列命题是假命题的是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 平行于同一条直线的两直线平行 D. 对顶角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判断．根据平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、同位角相等，两直线平行，真命题，本选项不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，本选项符合题意； C、平行于同一条直线的两直线平行，真命题，本选项不符合题意； D、对顶角相等，真命题，本选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，求（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角，三角形的外角，根据中垂线的性质，结合等边对等角，得到，，再根据三角形的外角，进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故选B． 9. 如图，在中，点，分别为，的中点，且，则为（ ） A. 2 B. 8 C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线，熟练掌握三角形的面积公式，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解题的关键． 利用三角形中线平分三角形的面积，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，点，分别为，的中点，且， ∴， ∴． 故选：C． 10. 现有一列数：，，，，…，，（为正整数），规定，，，…，，若，则的值为（ ） A. 97 B. 98 C. 99 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出，则，再解方程即可求得 【详解】，，，…， 解得： 经检验，是原方程的解． 故选B 【点睛】本题考查了找规律问题，整式的加减运算，分式方程，求得是解题的关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，共24分） 11. 分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意得 x-1≠0， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关． 12. 化简得_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式= 故答案为： 考点：分式的化简 13. 在△ABC中，∠A＝70°，∠A比∠B大10°，则∠C＝_______°． 【答案】50° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵△ABC中，∠A＝70°，∠A比∠B大10°， ∴∠B＝60°， ∴∠A+∠B=130°， ∴∠C＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 14. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质．在解题的过程中要注意三条线段能否构成三角形．根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：等腰三角形的两条腰相等， ①当腰为时，三角形的三边为：、、，能构成三角形，其三角形的周长为：； ②当腰为时，三角形的三边为：、、，能构成三角形，三角形的周长为：； 故答案为：或． 15. 关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的增根问题可进行求解． 【详解】解：由可知当时，分式方程有增根， ∴该分式方程的增根为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键． 16. ，的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，根据公分母的确定方法：系数的最小公倍数，所有字母的最高次幂，进行求解即可． 【详解】解：，的最简公分母是； 故答案为： 17. 若，，则______． 【答案】##0.12 【解析】 【分析】先根据同底数幂的除法以及幂的乘方运算法则变形，再代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方运算法则的应用，能熟记同底数幂的除法以及幂的乘方运算法则是解此题的关键． 18. 图1，在中，的角平分线与的外角平分线交于．当为时，图2，的角平分线与的角平分线交于，与的平分线交于，______°． 【答案】10 【解析】 【分析】利用三角形的外角的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，，进而得出，，． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵的角平分线与的外角平分线交于， ∴，， ∵， ∴， 同理：，， 故答案为：10． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，通过求，发现规律是解题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，6+6+8+8+9+9+10共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和绝对值的意义，先逐项化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法．其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可; （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【小问1详解】 解： 两边都乘以， 去分母，得， 解得， 检验：把代入， 得， ∴是分式方程的解； 【小问2详解】 解： 两边都乘以， 去分母，得， 解得， 检验：把代入， 得， 则是增根， 故分式方程无解． 22. 如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴（）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质， （1）根据平行线的性质可得，进而证明，根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ∴， ∵， ∴. 23. 如图，在中，，D为中点，平分交于点E，过点E作交于点F． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：平分， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． （1）由等边对等角的性质，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，即可证明结论． 【小问1详解】 解：，， ， ，D为中点， ， ， ； 【小问2详解】 略 24. 今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等． （1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ （2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由． 【答案】（1）甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元 （2） 解：乙商店租用服装的费用较少． 理由如下： 该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），乙商店的费用为：40×20＝800（元）， ∵900＞800， ∴乙商店租用服装的费用较少． 【解析】 【分析】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由题意列，解分式方程并检验即可得出答案． （2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案． 【小问1详解】 解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元， 由题意可得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意， ∴x+10＝50， ∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程的解需要进行检验． 25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）①③④ （2）， （3）化简：， 【解析】 【分析】（1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． 【小问1详解】 解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故． 26. 如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． （1）求证：； （2）当点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同， ∴， ∴； （2）不变化， （3）不变化， 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）由（1）可知：，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：不变化，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 即点P、Q分别在、边上运动时，不变化； 【小问3详解】 解：不变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴ 即点P、Q继续运动时，不变化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $