精品解析：广东省肇庆市封开县封川中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

封川中学2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数学符号中，属于中心对称图形的是（ ） A. √ B. ∵ C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、√不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、∵不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：一元二次方程即为， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根． 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 4. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】C 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案. 【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为C. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 6. 对于函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数最小值为5 B. 图象开口向下 C. 图象关于直线对称 D. 图象顶点是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据中，对称轴为直线，顶点坐标为可得答案． 【详解】解：对于函数，图象顶点是，图象关于直线对称， ∵， ∴图象开口向下，函数有最大值5， ∴B、C、D正确，A错误， 故选：A． 7. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得到平移后解析式为：， ∴再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为：； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 8. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据题意可得，然后可得，然后将变形后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m． A. 6 B. 45 C. 35 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值． 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故选：B 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：①由图象开口向上，可知， 由图象与轴的交点在轴的上方，可知， 又对称轴方程为，所以，所以， ，故不符合题意； ②二次函数的图象与轴交于，两点， ， ，故不符合题意； ③， ， 当时，， ， ，故不符合题意； ④当时，， ，故符合题意； 故选D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若是方程的根，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值． 【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0， 解得a=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 12. 在平面直角坐标系中，点P（﹣2、a）与点Q（b、3）关于原点对称，则a﹣b＝_____． 【答案】-5 【解析】 【分析】若两点关于原点对称，则两点的横坐标之和为0，纵坐标之和为0.据此可分别求出a、b的值. 【详解】解：∵点P（﹣2，a）与Q（b，3）关于原点对称， ∴b＝2，a＝﹣3， ∴a﹣b＝﹣3﹣2＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点关于原点对称的相关知识点，了解关于原点对称的两点横、纵坐标之和均为0是本题的关键. 13. 已知是一元二次方程的两根，则____________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1x2＝-1，代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2−2x−1＝0的两根为x1，x2， ∴x1x2＝-1， ∴-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝−，x1•x2＝． 14. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，若A的坐标是，则B的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出抛物线的对称轴方程．先求出抛物线的对称轴方程，然后根据点A和点B关于对称轴对称，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴方程为， ∵点和点B关于对称轴对称， ∴点B的坐标为， 故答案为． 15. 如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为_____度． 【答案】15 【解析】 【分析】根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BDC的度数． 【详解】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD， ∴△CBD是等腰三角形， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵∠CBD＝180°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°， ∴∠BDC＝（180°﹣∠CBD）÷2＝15°． 故答案为15． 【点睛】根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转求出即可． 三．解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键． （1）用公式法解方程； （2）方程整理后，利用配方法求出解即可． 【小问1详解】 解：， ， 【小问2详解】 解： 或 解得， 17. 已知关于x的一元二次方程．求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根． 【答案】 证明： ． ∵， ∴， ∴无论k取何值，该方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．求出该一元二次方程根的判别式，即可得解． 【详解】略 18. 已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将，代入函数解析式中求出、即可求解． 【详解】解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是． 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）①；②50 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①根据“上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解；②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：① ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 20. 已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)． (1)求此抛物线的表达式； (2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积． 【答案】（1）y＝－(x－3)2＋5（2）5 【解析】 【分析】（1）设顶点式y=a（x-3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式； （2）利用抛物线的对称性得到B（5，3），再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】(1)设此抛物线的表达式为y＝a(x－3)2＋5， 将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得 ∴此抛物线的表达式为 (2)∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x＝3， ∴B(5，3)． 令x＝0，则 ∴△ABC的面积 【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． 21. 如图，的顶点坐标分别为，，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针方向旋转后得到的，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， 的坐标为，的坐标为 【解析】 【分析】（1）分别作点A、B、C关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （2）分别作点A、B、C绕点逆时针方向旋转后得到的对应点，顺次连接，得到，写出点的坐标即可． 此题考查了中心对称图形和旋转的作图，正确找到对应点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五．解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） （1）设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】（1）， （2）自行车车棚的长为，宽为 （3）自行车车棚面积最大可达到 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽．另外，一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过8米； （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m． 【小问3详解】 解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 23. 如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1） （2）当点P的坐标为时，的面积有最大值 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出B、C两点的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可； （2）过过点P向x轴作垂线交直线于点Q，设，则， 得到与的关系式，进而得到，再根据二次函数的性质计算即可； 【小问1详解】 解：在中，当时，， 当时，， ，， 将，，代入中可得，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点P向x轴作垂线交直线于点Q， 设，则， ， ， ， 当时，最大，最大值为， ， 当点P的坐标为时，的面积有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 封川中学2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数学符号中，属于中心对称图形的是（ ） A. √ B. ∵ C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 4. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 对于函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数最小值为5 B. 图象开口向下 C. 图象关于直线对称 D. 图象顶点是 7. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 8. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m． A. 6 B. 45 C. 35 D. 25 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若是方程的根，则____________． 12. 在平面直角坐标系中，点P（﹣2、a）与点Q（b、3）关于原点对称，则a﹣b＝_____． 13. 已知是一元二次方程的两根，则____________． 14. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，若A的坐标是，则B的坐标是___________． 15. 如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为_____度． 三．解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1） （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程．求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根． 18. 已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 20. 已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)． (1)求此抛物线的表达式； (2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积． 21. 如图，的顶点坐标分别为，，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针方向旋转后得到的，并直接写出点的坐标． 五．解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） （1）设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 23. 如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $