精品解析：江苏省宿迁市沭阳县南湖初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期期中检测 初三年级数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一．选择题（每题3分，共计满分24分） 1. 已知的半径为，点A在外，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 军军三次英语口试的平均成绩是92分，第一次成绩是90分，第二次成绩是96分，第三次成绩（ ）． A. 低于平均分 B. 等于平均分 C. 高于平均分 D. 无法确定 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 有名员工，其中位的工资分别为，，，，，，另外两位的工资不清楚，则中位数不可能是（ ） A. 5600 B. 6000 C. 5200 D. 5800 7. 在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共计满分30分） 9. 一元二次方程的解是________________． 10. 若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为______． 11. 甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 12. 若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为______． 13. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台． 14. 已知实数，满足，则代数式的最小值是______． 15. 已知样本，，，的极差是6．则样本的平均数为______． 16. 若实数a、b满足，则_____． 17. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 18. 已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 三．解答题（写出必要的证明过程和解答过程，满分96分） 19. 解下列方程： （1）； （2） 20. 小丽在一次打靶训练中连续打靶次．第次射中环，第次射中环，第次射中环，第次射中环．如果这组数据，，，的中位数与平均数相等，请你求出符合条件的值． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 22. 如图，是的直径，是的弦，直线与交于点、，，垂足为．求证：． 23. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 24. 如图，已知内接于，点在的延长线上， （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件． （1）如果衬衫的单价降了元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； （2）如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？ 26. 已知：和外一点． （1）如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：； （2）尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 27. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，垂足分别是E、F． （1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论． （2）若，．求的半径． 28. 【动手操作】（1）尺规作图：在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径作圆，交的轴的正半轴于点，交的轴的正半轴于点，再分别以点、为圆心，适当长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点； 【自主探索】（2）在（1）的条件下，解方程：； 【拓展延伸】（3）根据一元二次方程的求根公式，可以得到，．在此基础上通过直接计算得到，．这就是一元二次方程“根与系数的关系”（我们还可以用如下的方法推导：由于方程的两个根分别是，，可把方程写为，可得，结合“多项式相等”知识，，，即，．若一元三次方程存在三个根、、．请你求出有三个根的条件下，一元三次方程根与系数的关系？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中检测 初三年级数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一．选择题（每题3分，共计满分24分） 1. 已知的半径为，点A在外，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当时，点在外；当时，点在上；当时，点在内，然后对各选项进行判断． 【详解】解：的半径为，点A在外， 当时，点A在外； ， 故选：D． 2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．由一元二次方程的概念对四个选项进行验证，可得正确答案． 【详解】解：A、当时，即该方程的二次项系数是0时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、由，得，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误； C、是分式方程，不是整式方程，； D、符合一元二次方程的概念，故本选项正确． 故选：D． 3. 军军三次英语口试的平均成绩是92分，第一次成绩是90分，第二次成绩是96分，第三次成绩（ ）． A. 低于平均分 B. 等于平均分 C. 高于平均分 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，用三次的总成绩减去前两次成绩，可得第三次的成绩，再与第三次比较即可即可． 【详解】解：第三次成绩为分， 而，则第三次成绩低于平均分， 故选：A． 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方(二次项系数为1)，整理化简即得答案． 【详解】 移项得， 配方得，，即． 故选：B． 5. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，直径所对的圆周角是直角，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，据此根据圆内角四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 有名员工，其中位的工资分别为，，，，，，另外两位的工资不清楚，则中位数不可能是（ ） A. 5600 B. 6000 C. 5200 D. 5800 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，根据题意当未知的两个数据均小于时，得出本组数据的中位数为所有情况中最小，即为，进而结合选项，即可求解． 【详解】将目前已知的个数据由小到大排列为：、、、、、，当未知的两个数据均小于时，此时本组数据的中位数为所有情况中最小，即为，因此中位数不可能为， 故选：C． 7. 在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设原方程为，两个根为和．新方程为，两个根为2和．则可得，，．将①②联立可解得．则可得或，再与联立可得a、b、c之间的关系．由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设原方程为，两个根为和． 新方程为，两个根为2和． 则，，， 得， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 综上，原方程两根的平方和是． 故选：D． 8. 在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题实质是求圆中的弦的最大值的问题，圆中弦的弦心距越小，弦越大，所以当弦的弦心距最小时，的值最大．设的中点为O，连接并延长交于点F，连接，利用垂线段最短可知当时，弦心距最小，此时弦的值最大，利用勾股定理可求出的长，再利用等面积得到的长，再利用勾股定理结合垂径定理即可求出结果． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接并延长交于点F，连接， ∵为直径，且， ∴， 当时，最小，则弦心距最小，此时弦的值最大， 在中，，，， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 二．填空题（每小题3分，共计满分30分） 9. 一元二次方程的解是________________． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，再两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 10. 若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系求出劣弧所对圆心角的度数即可． 【详解】解：∵一条弦把圆周分成的两段弧， ∴劣弧所对圆心角的度数， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点． 11. 甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查方差，掌握方差越小越稳定是解题的关键．先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 12. 若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程的两根满足关系式是解答的关键．由方程的两根为，得出方程的两根满足关系式，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴方程的两根满足关系式， ∴． 故答案为：． 13. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台． 【答案】4 【解析】 【分析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数，利用圆心角的度数即可得解． 【详解】解：∵， ∴对应的圆心角的度数为， ∵， ∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台； 故答案为：4 【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键． 14. 已知实数，满足，则代数式的最小值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用与平方式的非负性，解题的关键是熟练掌握配方法．由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是4． 【详解】解：， ，则， ， ， ∴（当时取等号）， 则， 当时，代数式有最小值等于4， 故答案为：4． 15. 已知样本，，，的极差是6．则样本的平均数为______． 【答案】3或1 【解析】 【分析】此题考查了极差、求平均数，根据极差是一组数据中的最大值减去最小值的差求得x．再利用平均数的求解方法求解即可． 【详解】解：∵样本，，，的极差是6， ∴或， ∴或 ∴样本的平均数为或， 故答案为：3或1． 16. 若实数a、b满足，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想． 将看作一个整体，然后用换元法解方程即可． 【详解】解：设，则有： ， 解得，； ， 故． 故答案为：2． 17. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】设过B，C，D的弧的圆心为O，连接，由勾股定理求出，，的值，进而由勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形， 再由圆周角定理得，，为半圆的直径，则，然后由等腰直角三角形的性质得，，根据即可求解． 【详解】如图，设过B，C，D的弧的圆心为O，连接， 由勾股定理得，，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ，为半圆的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、与圆有关的计算，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键． 18. 已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明≌得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以AD为直径的圆上运动，如图，设圆心为N，连接相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：正方形边长为2， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 点M在以为直径的圆弧上运动， 如图，连接相交于O，设圆心为N，连接，则，，， ， 点O在圆N上， ，， ，， 当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， 在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， 线段FM扫过的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，轨迹，正确地添加所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键． 三．解答题（写出必要的证明过程和解答过程，满分96分） 19. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）直接利用因式分解法解方程； （2）先将原方程变形为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 20. 小丽在一次打靶训练中连续打靶次．第次射中环，第次射中环，第次射中环，第次射中环．如果这组数据，，，的中位数与平均数相等，请你求出符合条件的值． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据中位数及平均数的计算公式即可求解． 【详解】解：这组数据，，，的平均数是：环， 当最小时，这组数据，，，的中位数为环， 解得， 当时，这组数据，，，的中位数为环， 解得， 当时，这组数据，，，的中位数为环， 解得， 【点睛】本题考查了中位数及平均数，熟练掌握和运用平均数公式以及分类讨论是解决本题的关键． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系以及根与系数的关系是解答的关键． （1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程有实数根， ， ， 即； 【小问2详解】 解：为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 22. 如图，是的直径，是的弦，直线与交于点、，，垂足为．求证：． 【答案】 证明：∵是内接四边形的一个外角， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的外角性质、锐角三角形的两个锐角互余、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的外角性质是解答的关键．先根据圆内接四边形的外角性质，再根据圆周角定理得到，然后根据锐角三角形的两个锐角互余得到，进而根据等角的余角相等可得结论． 【详解】略 23. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中求解方法是解答的关键．设，则原方程可化为，解方程得，，再解方程和，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根，舍去； 当时， ，即， 解得，， ∴原方程的解为，． 24. 如图，已知内接于，点在的延长线上， （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∴是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，推导出三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质求出，即可求出，根据切线的判定推出即可； （2）由垂径定理和线段垂直平分线的性质得到，则，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、等边三角形的性质和判定、垂径定理、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 25. 某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件． （1）如果衬衫的单价降了元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； （2）如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】（1）元 （2）元 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，一元二次方程的应用， （1）根据题意“每天可售出件”和“假设在一定的范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件”，得到答案； （2）设衬衫的单价降了元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润，根据等量关系列出方程即可． 【小问1详解】 解：依题意，当单价降了元时，盈利为(元)， 答：这批衬衫每天盈利元． 【小问2详解】 解：设衬衫的单价降了元．由题意得： ， 解得：，， 要尽快减少库存， ， 答：衬衫的单价降了元． 26. 已知：和外一点． （1）如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：； （2）尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） 如图，连接，，． ，是切线， ，， ． 在和中， ， ， ． （2） 以为直径作，两圆交于点、， 直线、即为所求； 【解析】 【分析】（1）连接，，，首先证（），可得结论； （2）以为直径作，两圆相交于，，直线，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，直径的性质等知识点，添加合适的辅助线，构造全等三角形，学会利用辅助圆解决问题是解本题的关键． 27. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，垂足分别是E、F． （1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论． （2）若，．求的半径． 【答案】 （1）， 理由如下： 连接AO并延长交于点G，连接CB、BG， ∵， ∴， ∵， ∴OF是的中位线， ∴， ∵AG是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）⊙O的半径为 【解析】 【分析】（1）连接AO并延长交于点G，连接CB、BG，根据点OF分别是AGAB中点，得到OF是的中位线，则有，再根据同弧所对的圆周角相等可得，直径所对的圆周角是直角可得，则有，根据，，从而可得，，继而可得； （2）在中，根据勾股定理可求得的半径． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得：，， 在中，， ∴的半径为 ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，解题的关键是能够作辅助线构造以OF为中位线的三角形． 28. 【动手操作】（1）尺规作图：在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径作圆，交的轴的正半轴于点，交的轴的正半轴于点，再分别以点、为圆心，适当长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点； 【自主探索】（2）在（1）的条件下，解方程：； 【拓展延伸】（3）根据一元二次方程的求根公式，可以得到，．在此基础上通过直接计算得到，．这就是一元二次方程“根与系数的关系”（我们还可以用如下的方法推导：由于方程的两个根分别是，，可把方程写为，可得，结合“多项式相等”知识，，，即，．若一元三次方程存在三个根、、．请你求出有三个根的条件下，一元三次方程根与系数的关系？ 【答案】 （1）如图所示： （2），； （3），， 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、解一元二次方程、解一元高次方程，得到点P坐标规律，以及利用类比方法求解是解答的关键． （1）根据题中叙述画出图形即可； （2）先由（1）中画图过程得到点P在的平分线上，则，原方程化为，然后解方程即可求解； （3）类比一元二次方程中根与系数的推导过程求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）根据作图过程，点P在的平分线上，又点在第一象限内， ∴， ∴方程化为，即， 解得，； （3）由于一元三次方程存在三个根、、， ∴把方程可以写为， 整理，得， ∴，，， 解得：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $