精品解析：江苏省扬州市苏东坡中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试卷

扬州苏东坡中学2023-2024学年第一学期学科拓展活动（2） 初三数学 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据二次函数的定义，可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（    ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出∠C=30°，再求出的值即可． 【详解】解：△ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°， ∴∠C=180°-105°-45°=30°， ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查三角形内角和公式，正弦定理，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 3. 已知，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握比例式和等积式的互化即可求解． 【详解】解：A、由得，故此选项比例式不成立，符合题意； B、由得，故此选项比例式成立，不符合题意； C、由得，故此选项比例式成立，不符合题意； D、由得，故此选项比例式成立，不符合题意， 故选：A． 4. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知二次函数y＝2x2＋3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标． 【详解】∵y＝2x2＋3＝2（x−0）2＋3， ∴顶点坐标为（0，3）． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，则解析式为y＝a（x−k）2＋h的顶点坐标为（k，h）， 5. 将一副三角板按如图所示的位置叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，根据，相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解 【详解】 故选C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求特殊角的锐角三角形函数值，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 6. 已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则常数h的值为（ ） A. 1或3 B. 或1 C. 3或5 D. 或5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得或．然后分两种情况分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，有最大值0，而当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为． ∴或． 当时，时，y随x的增大而减小． ∴当时，y有最大值， ∴，解得：，（舍去）． 此时； 当时，时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值， ∴，解得：，（舍去），此时； 综上可知或5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，明确题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键． 7. 如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，作一个与相似的，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要让的相似三角形最大，就要让为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答． 【详解】 解：从图中可以看出的三边分别是2, ,， 要让的相似三角形最大,就要让为网格最大的对角线,即是， 所以这两相似三角形的相似比是， 的面积为， 所以的最大面积是5.故选A. 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题关键是先求出最大的相似三角形，再利用面积比等于相似比的平方. 8. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰与分别交于点P，M．对于下列结论：①；②；③．其中正确的个数（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定．①由等腰和等腰三边关系可证；②通过等积式倒推可知，证明即可；③转化为，证明问题可证． 【详解】解：∵等腰，等腰 ∴，， ∴，同理， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由②得： 而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意及比例尺可直接进行求解． 【详解】解：∵200千米=20000000厘米， ∴上海与杭州的图上距离约为； 故答案为4． 【点睛】本题主要考查比例尺，熟练掌握图上距离=实际距离×比例尺是解题的关键． 10. 若函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的基本形式列出方程与不等式求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，得： ， 解得m=2或m=-2， 又∵m-2≠0， ∴m≠2， ∴当m=-2时，这个函数是二次函数， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查二次函数的基本形式，解题的关键是熟知二次函数的特点． 11. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1∶2，坡面AB＝6，则堤高的高度是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】直接利用坡度的定义得出，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2， ∴， ∴设BC=x，则AC=2x， ∵坡面AB=6， ∴BC2+AC2=AB2， 即x2+（2x）2=（6）2， 解得：x1=6，x2=-6（不合题意舍去）， 故堤高的高度是6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确运用勾股定理是解题关键． 12. 如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，＝，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到AB∥A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，根据相似三角形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵两个五边形是位似图形， ∴AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴， ∴两个五边形是位似图形的相似比为2：5， ∵小五边形的周长为4， ∴大五边形的周长为10， 故答案为：10． , 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长与交于点E，在直角中利用三角函数求得，根据三角形内角和得出，设，则，根据勾股定理列方程即可得出答案． 【详解】解：如图，延长与交于点E，如图所示： 在直角中，，， ∴， ∴， ， 在与中，，， ∴， ∴， ∴设，则， 在直角中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握正切的意义以及勾股定理是解本题的关键． 14. 点，，均在二次函数的图像上，则，，的大小关系是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数得到对称轴为直线，结合，得到的对称点，根据抛物线开口向下时，对称轴的右侧y随x的增大而减小，结合，得到． 【详解】因为二次函数， 所以对称轴为直线， 因为， 所以的对称点， 根据抛物线开口向下时，对称轴的右侧y随x的增大而减小，且， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，对称点，增减性，熟练掌握对称性和增减性是解题的关键． 15. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为____________ 【答案】 【解析】 【分析】现根据题意画出几何图形，延长交于，，，，易得，，再根据在同一时刻物高与影长的比相等，得到，从而可以算出，然后计算即可． 【详解】解：如图，表示树高，表示树在地上的影长，表示树在台阶上的影长，为第一级台阶的高，延长交于，，，，易得为矩形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等，熟练画出几何模型是解题的关键． 16. 如图，和中，，斜边交于点E，过点E作，垂足为F，若，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 通过证明，，可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 17. 已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，先将点代入二次函数，得出，然后求出，求出最大值即可． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴ ， 当时，有最大值，且为， 故答案为：． 18. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是___． 【答案】． 【解析】 【分析】（1）首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明； （2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长． 【详解】由题意可知，OM=，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形， ∴ ON=． 如答图①所示， 设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn． ∵AO⊥AB0，AN⊥ABn， ∴∠OAC=∠B0ABn． 又∵AB0=AO•tan30°，ABn=AN•tan30°， ∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°． ∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°． ∴B0Bn=ON•tan30°=． 现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）： 如答图②所示， 当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi． ∵AO⊥AB0，AP⊥ABi， ∴∠OAP=∠B0ABi． 又∵AB0=AO•tan30°，ABi=AP•tan30°， ∴AB0：AO=ABi：AP． ∴△AB0Bi∽△AOP， ∴∠AB0Bi=∠AOP． 又∵△AB0Bn∽△AON， ∴∠AB0Bn=∠AOP． ∴∠AB0Bi=∠AB0Bn． ∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）． 综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为． 【点睛】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中． 三、解答题（本大题共有 9 小题，共 96 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值，再进行加减计算； （2）分别代入特殊角的三角函数值，再计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程或求满足条件的锐角： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）因式分解法求解； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 21. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形； ； （2） 解：如图，点M就是所求的点； ； （3） 解：如图，点D就是所求的点． ． 【解析】 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）取格点C和点D，使，，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 已知：如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB·BC＝AC·CD 【答案】 证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠C， ∴BD=CD， 在△ABD和△ACB中，， ∴△ABD∽△ACB（AA）， ∴， ∴AB•BC=AC•BD． ∴AB•BC=AC•CD． 【解析】 【分析】根据∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC可以求出∠ABD=∠DBC=∠C，然后证明出BD=CD与△ABD与△ACB相似，在根据相似三角形的对应边成比例列式整理即可得证． 【详解】略 23. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=，然后根据BC=BD+DC即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1， ∴DC=AD=1． 在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1， ∴． ∴． ∴． （2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=． ∴DE=CE﹣CD=． ∴． 【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键． 24. 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式； （2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据 可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入得： ， 解得：， 故这个二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为x＝4， ∴（4，0），B（0，−6） ∴OC＝4，， ∵点A（2，0）， ∴AC＝2， 故． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换． 25. 如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号） （1）求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离； （2）求教学楼的高度． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． （1）过点A作，垂足为F．根据题意可得，米，米，则，再根据即可求解； （2）在中，，则，即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作，垂足为F． 由题意得：，米，米， 在中，， （米）， ∴米， ∴米， ∴此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离为米； 【小问2详解】 解：在中，，米， ∴米， ∴米， ∴教学楼的高度为米． 26. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）分别证明，，从而可得结论； （2）求解，，可得，证明，设，则，，证明，可得，可得，，，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键． 27. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 　 　“准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长． 【答案】（1）不是；（2）的度数为或；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“准等边三角形”，分两种情况，或，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， 不满足任意两个内角的差为， ∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”； 故答案为：不是； （2）∵是“准等边三角形”，，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴，即 ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）∵，，， ∴，， ∵是“准等边三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 28. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大面积为， （3）存在，或或， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果； （3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为， ， ∴ 【小问3详解】 存在，或或，，证明如下： ∵， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为：， 设点， 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 综上可得： 或或，． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 29. 在矩形中，， 【问题发现】 （1）如图1，E为边上的一个点，连接，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，G为边上的一个点，E为边延长线上的一个点，连接交于点H，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点E从点B出发沿射线运动，连接，过点B作的垂线交射线于点F，过点E作的平行线，过点F作的平行线，两平行线交于点H，连接，在点E的运动的路程中，线段的长度是否存在最小值？ 若存在，求出线段长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ，理由如下： 过点作的垂线交于点，如图所示： 则四边形为矩形， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）存在，长度的最小值为 【解析】 【分析】（1）证明，即可得解； （2）过点作的垂线交于点，证明，即可得解； （3）过点作于点，连接，则四边形是矩形，证明，得出，根据，可得，得出在上运动，当时，最小，进而求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，理由如下， 如图，过点作于点，连接，则四边形是矩形， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴在上运动， ∴当时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，， 即长度的最小值为． 【点睛】本题考查了，相似三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州苏东坡中学2023-2024学年第一学期学科拓展活动（2） 初三数学 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（    ） A. B. C. 1 D. 3. 已知，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角板按如图所示的位置叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则常数h的值为（ ） A. 1或3 B. 或1 C. 3或5 D. 或5 7. 如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，作一个与相似的，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰与分别交于点P，M．对于下列结论：①；②；③．其中正确的个数（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． 10. 若函数是关于的二次函数，则______． 11. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1∶2，坡面AB＝6，则堤高的高度是_______． 12. 如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，＝，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为______． 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，，那么______． 14. 点，，均在二次函数的图像上，则，，的大小关系是_________． 15. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为____________ 16. 如图，和中，，斜边交于点E，过点E作，垂足为F，若，则的长度为_____． 17. 已知点在二次函数的图象上，则的最大值等于_____． 18. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是___． 三、解答题（本大题共有 9 小题，共 96 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 解方程或求满足条件的锐角： （1）； （2）． 21. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 22. 已知：如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB·BC＝AC·CD 23. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 24. 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 25. 如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号） （1）求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离； （2）求教学楼的高度． 26. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 27. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 　 　“准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长． 28. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29. 在矩形中，， 【问题发现】 （1）如图1，E为边上的一个点，连接，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，G为边上的一个点，E为边延长线上的一个点，连接交于点H，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点E从点B出发沿射线运动，连接，过点B作的垂线交射线于点F，过点E作的平行线，过点F作的平行线，两平行线交于点H，连接，在点E的运动的路程中，线段的长度是否存在最小值？ 若存在，求出线段长度的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $