2025年中考数学一轮复习讲义 专题十一 反比例函数

专题十一 反比例函数（讲义）——中考数学一轮复习备考合集 考情分析 命题点 命题形式 命题热度 命题特点 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数图象上点的坐标特征 ☆ 本专题中选择题和填空题多考查反比例函数的图象与性质及比例性质k的几何意义，解答题多考查反比例函数解析式的确定及利用反比例函数解决实际问题等，体现了数形结合、分类谈论等数学思想 2.反比例函数的增减性 ☆☆ 3.反比例函数与一次函数的图象共存 ☆☆ 4.反比例函数与一次函数图象交点问题 ☆☆☆ 5.反比例函数解析式的确定 ☆ 6.反比例函数中比例系数k的几何意义 ☆☆☆ 反比例函数的实际应用 7.反比例函数的实际应用 ☆☆ 知识详解 讲解一：反比例函数及其图象 一、反比例函数的定义 一般地，形如（k为常数，）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，k是比例系数. 【注意】 1.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 2.在反比例函数解析式中，分母是含x的单项式，如不是反比例函数. 3.反比例函数解析式的两种变形式：①（为常数，）；②（为常数，）. 4.反比例函数中，均不为0. 【辨析】反比例关系与反比例函数的区别和联系： （1）如果（为常数，），那么与这两个量成反比例关系，这里和既可以代表单项式，也可以代表多项式.例如：若与反比例，则（为常数，）；若与成反比例，则（为常数，）. （2）成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系.如表示与成反比例，但不是关于的反比例函数. 二、反比例函数的图象与性质 反比例函数 的符号 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 性质 增减性 在同一支上，y随x的增大而减小；在两支上，第一象限y值大于第三象限y值 在同一支上，y随x的增大而增大；在两支上，第二象限y值大于第四象限y值 对称性 关于直线，成轴对称； 关于原点成中心对称. 【注意】 1.因为反比例函数和反比例函数图象都关于原点对称，故在同一直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象若有交点，则两个交点关于原点对称 2.反比例函数图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交 3.反比例函数的图象不是连续的，其增减性只能在每个象限内讨论. 命题精练 命题形式1 反比例函数图象上点的坐标特征 1．（2024·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 解析：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 【题型解读】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3.（2024·陕西·中考真题）已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则 0. 【答案】/小于 解析：∵点和点均在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4.（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 . 【答案】 【思路点拨】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 解析：点在反比例函数的图象上， ，故答案为：． 命题形式2 反比例函数的增减性 1．（2023·山西·中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“”连接的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】 此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，再进行判断求解即可． 解析：∵反比例函数，， ∴反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点都在第三象限， ∵，∴， 又∵在反比例函数的图象上， ∴，∴． 故选：A． 2．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上，∴， ∴. 故选：B． 3.（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 【答案】 【思路点拨】 本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 解析：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵，∴， ∴， 故答案为：． 4.（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 . 【答案】/ 解析：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 命题形式3 反比例函数与一次函数的图象共存 1．（2023·湖北襄阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A． B．C． D． 【答案】A 解析：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B； 当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D； 故选：A． 2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（ ） A．B．C．D． 【答案】D 解析：①当时，，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限； ②当时，，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限； 故选：D． 3.（2022·湖南·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ） A． B．C． D． 【答案】D 解析：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限； 故选：D． 【题型解读】 该题型主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限． 命题形式4 反比例函数与一次函数图象交点问题 1．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 解析：（1）把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， （2）∵ 反比例函数解析式为， 的面积小于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ，． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 解析：（1）∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 3.（2024·湖北·中考真题）一次函数经过点，交反比例函数于点． (1)求； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想． （1）利用一次函数经过点，点，列式计算求得，，得到点，再利用待定系数法求解即可； （2）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可． 解析：（1）∵一次函数经过点，点， ∴，解得， ∴点， ∵反比例函数经过点，∴. （2）解：∵点，点， ∴， ∴，， 由题意得， ∴， ∴， ∴的横坐标的取值范围为． 4.（2024·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上． (1)求k与m的值； (2)连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式． 【答案】(1)， (2) 解析：（1）两点在反比例函数的图象上． ∴， ∴， 将点代入得：，解得：； （2）∵连接，并延长交反比例函数的图象于点C， ∴， ∵， 设直线所在直线的解析式为，代入得：， 解得：， ∴． 知识详解 讲解二：反比例函数解析式的确定 用待定系数法求反比例函数的解析式 下表以过点确定反比例函数的解析式为例： 步骤 具体操作方法 举例 ①设 设反比例函数的解析式 设解析式为 ②代 把点的坐标代入解析式 代入坐标，得 ③解 解方程，求出k的值 解方程，得 ④定 确定函数解析式 故解析式为 【提示】 已知图形面积时，优先考虑利用的几何意义求解析式.先由面积得到，再结合图象所在象限判断k的正负，从而求出解析式. 命题精练 命题形式5 反比例函数解析式的确定 1.（2024·重庆·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 解析：把代入，得 ．故选C． 2.（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ． 【答案】180 解析：把，代入，得，解得， 故答案为：180． 3.（2023·山东青岛·中考真题）反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】 解析：∵反比例函数的图象经过点， ∴，∴， ∴反比例函数的表达式为． 4.（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 解析：（1）把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 知识详解 讲解三：反比例函数中比例系数k的几何意义 一、比例系数k的几何意义 （1）如图，过反比例函数图象上任一点分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,与坐标轴围成的矩形PMON的面积为定值，即. （2）如图，过双曲线上的任意一点作轴，垂足为，连接，则，即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为. 【注意】因为中有正、负之分，所以在上图中矩形面积为，三角形的面积为，不要漏掉绝对值符号. 二、与比例系数k有关的面积模型 模型 图示 面积 一点一垂线 一点两垂线 两点一垂线 两点两垂线 两双曲线值符号相同 两双曲线值符号相反 一条双曲线上有两点 命题精练 命题形式6 反比例函数中比例系数k的几何意义 1.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 2.（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 解析：是平行四边形纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即：解得： 故答案为：． 3.（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 . 【答案】/ 解析：的面积为，所以． 故答案为：． 知识详解 讲解四：反比例函数的实际应用 1.实际问题建立反比例函数模型求解实际问题的解 建立反比例函数模型求解 审 审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系 设 根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示 列 由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数 写 写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围 解 用反比例函数的图象与性质解决实际问题 【注意】在应用反比例函数解决实际问题时，自变量的取值范围一般有两个方面的限制：一是解析式本身的限制，二是实际问题的具体要求. 2.求反比例函数解析式常用的两种方法： （1）待定系数法： 第一步 设：设出反比例函数解析式； 第二步 找：找出图象上一点的坐标； 第三步 代：将的坐标代入，求出的值； 第四步 定：写出解析式. （2）几何法：题中涉及面积时，考虑用k的几何意义求解 3.常见的反比例函数在实际生活中应用的实例： 类型 关系 公式 路程型 当路程一定时，时间与平均速度成反比例 （是常数） 面积型 矩形 当矩形面积一定时，长与宽成反比例 （是常数） 三角形 当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例 （是常数） 物理应用型 做功型 当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例 （是常数） 压强型 当压力一定时，压强与受力面积成反比例 （是常数） 电流型 在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例 （是常数） 命题精练 命题形式7 反比例函数的实际应用 1.（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 解析：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天． ∴，∴， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； ∵，， ∴当x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意； 故选：C． 2.（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】4 解析：设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 3.（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）． 【答案】64 【思路点拨】 此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值． 解析：设用电阻R表示电流I的函数解析式为， ∵过， ∴（V）， 故答案为：64． 4.（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 【答案】(1) (2) 解析：（1）设这个反比例函数的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）在中，当时，， ∴此时的电流I为． 5.（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．    (1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）； (2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 【答案】(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸； (2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 解析：（1）设函数关系式为， 根据图象可得：， ， 当时，， ， 解得：， ， 随的增大而减小， 要使气球不会爆炸，，此时， 气球的半径至少为时，气球不会爆炸； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 学科网（北京）股份有限公司 $$