专题二 代数式与整式 讲义 2025年中考数学一轮复习

专题二 代数式与整式（讲义）——中考数学一轮复习备考合集 考情分析 命题点 命题形式 命题热度 命题特点 代数式 1.列代数式 ☆ 本专题多以选择题和填空题的形式出现，重点考查学生通过运算法则、运算公式求得运算结果的能力，体现了数学运算的核心素养 2.代数式求值 ☆☆ 整式及其运算 3.整式的加减 ☆☆ 4.幂的运算 ☆☆☆ 5.整式的混合运算 ☆☆☆☆ 因式分解 6.因式分解 ☆☆☆☆ 知识详解 讲解一：代数式及其分类 一、用字母表示数 1.用字母或含有字母的式子表示数或数量关系.在用字母表示数中，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来. 2.用含有字母的式子表示数的书写规定 （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，通常将乘号写作“”或省略不写； （2）数与字母相乘时，通常把数写在前面； （3）数字因数是1或时，“1”常省略不写； （4）带分数与字母相乘时要将带分数化为假分数； （5）除法运算要表示成分数； （6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应用小括号括起来. 【注意】 1.同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示； 2.用字母可以表示任意数或式子.用字母表示数后，同一式子可以表示不同的含义； 3.用字母表示实际问题中的某个量时，字母的取值必须使式子有意义且符合实际情况. 二、代数式的定义 用基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，如，，，等. 【注意】 1.单独的一个数或一个字母也是代数式； 2.不含关系符号，如“”“>”或“”等. 三、列代数式的要点 通过题目中的关键词（如和、差、积、商、大、小、几倍、几分之几等），找到正确的数量关系.常见数量关系如下： 类别 数量关系 和差倍分问题 ①的平方和：； ②与差的平方： 数的表示 个位数字为，十位数字为，百位数字为，这个数表示为 面积问题 ①；②；③；④ 四、代数式求值的常用方法 1.直接代入法：已知字母的值或字母的值可计算时，直接代入求解 2.整体代入法：字母的值不能或不必计算时，先对已知或所求代数式进行变形（常用到提取公因式、平方差公式、完全平方公式等），再整体代入求解. 命题精练 命题形式1 列代数式 1.某件商品的成本价是a元,按成本价提高15%后标价,又以8折(即按标价的80%)销售,这件商品的售价为多少元？( ) A. B. C. D. 【答案】B 解析：依题意得：商品的售价为：(元).故选B. 命题形式2 代数式求值 1.（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 【答案】11 解析，， ， 故答案为：11． 2.（2024·江苏苏州·中考真题）若，则 ． 【答案】4 解析：∵， ∴， 故答案为：4． 【题型解读】 本题考查了求代数式的值，把整体代入化简计算即可． 知识详解 讲解二：整式的相关概念 一、单项式 由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式，如，等. 单项式的相关概念如下： 类别 定义 示例 系数 单项式中的数字因数 次数 单项式中的所有字母的指数和 1.乘积：只含乘法，不含加法 2.单独的一个数或字母也是单项式 3.分母中不能含有字母 4.若单项式只含有字母因数，则它的系数就是1或－1 5.对于单独一个非零的数，规定它的次数为0 6.π是常数而不是字母 二、多项式 几个单项式的和叫做多项式，如，等. 多项式的相关概念如下： 类别 定义 示例 项 组成多项式的每个单项式 项数 组成多项式的单项式的个数 次数 多项式中次数最高项的次数 1.不含字母的项叫做常数项 2.多项式的每一项都包括它前面的符号 3.一般用次数与项数来表示多项式，称作几次几项式，如是二次三项式 4.单项式与多项式统称为整式 命题精练 命题形式3 单项式的有关内容 1.（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 【答案】 解析：单项式的次数是：，故答案为：． 2.系数是________，次数是________. 【答案】；4 解析：系数是，次数为， 故答案为：，4. 【题型解读】 此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 命题形式4 多项式的有关内容 1.多项式是______次______项式,按x的升幂排列为______. 【答案】五；四； 解析：多项式是五次四项式,按x的升幂排列为, 故答案为：五；四；. 知识详解 讲解三：整式的加减 一、合并同类项 将同类项的系数相加，字母与其指数不变，如. 1.同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，如与是同类项 2.同类项与单项式的系数无关，与字母的顺序无关. 3.常数项都是同类项 4.若多个同类项的系数相加为0，则合并后该项为0 二、去括号法则 符号 法则 举例 括号前是“+” 去、添括号不变号 括号前是“－” 去、添括号都变号 添括号与去括号的过程相反，添括号是否正确，可用去括号检验. 三、整式的加减 整式的加减的实质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项 命题精练 命题形式5 整式的加减 1.计算的结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解析： ，故选：A． 【题型解读】 本题主要考查合并同类项，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变即可得． 2.化简 (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 解析：(1)； (2). 知识详解 讲解四：幂的运算 类别 运算法则 运算公式 逆用 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 （都是正整数） （都是正整数） 幂的乘方 底数不变，指数相乘 （都是正整数） （都是正整数） 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （是正整数）； （是正整数）； 同底数幂的除法 底数不变，指数相减 （都是正整数） （都是正整数）； 零次幂 任何非零数的0次幂都等于1 负指数幂 指数转正，再取倒数 （是正整数）； 命题精练 命题形式6 幂的运算 1.（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D． 2.（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：、，该选项错误，不合题意；、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【题型解读】 该题型考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 知识详解 讲解五：整式的乘除 一、整式的乘法 类别 运算法则 示例 单项式×单项式 ①系数相乘； ②同底数幂相乘； ③单独含有的字母连同指数不变 单项式×多项式 ①单项式乘多项式的每一项； ②积相加 多项式×多项式 ①将多项式的每一项分别相乘 ②积相加 二、整式的除法 类别 运算法则 举例 单项式÷单项式 ①系数相除； ②同底数幂相除； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变 多项式÷单项式 ①用多项式的每一项除以单项式； ②商相加 命题精练 命题形式7 整式的混合运算 1.（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ） A．a B． C． D． 【答案】D 解析：，故选：D． 【题型解读】 本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 2.（2024·山西·中考真题）下列各式中，运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 解析：、与不可以合并，故不符合题意；、，故不符合题意； 、，故符合题意；、，故不符合题意；故选：． 【题型解读】 本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3.【2023.湖南长沙】先化简，再求值：，其中. 【答案】原式 解析：原式. 当时，原式. 知识详解 讲解六：乘法公式 一、平方差公式： 平方差公式的实质是符号相同项2－符号相反项2，与位置、系数、指数、项数都无关 1.位置： 2.系数： 3.指数： 4.项数： 二、完全平方公式 完全平方公式 和的完全平方公式 差的完全平方公式 三、【难点突破】在用完全平方公式对代数式变形时，常用到下列关系： 完全平方公式 变形 命题精练 命题形式8 利用乘法公式解题 1.（2024·上海·中考真题）计算 ． 【答案】 解析：， 故答案为：． 2.（2024·重庆·中考真题）计算：； 【答案】； 解析：原式； 【题型解读】 根据单项式乘以多项式和完全平方公式法则分别计算，然后合并同类项即可. 知识详解 讲解七：因式分解 一、因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即 二、提取公因式 如果一个多项式的各项都有公因式，可以把该公因式提出来，将多项式分解成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式. 1.公因式：指多项式中各项都含有相同的因式，如的公因式是.公因式可以是单项式，也可以是多项式 2.提公因式后，多项式的项数与原多项式的项数相同；当原多项式的某项与公因式相同时，提公因式后，所得对应项为1 3.确定公因式的步骤：（以和的公因式为例） ①定系数：取各项系数的最大公因数（8和12的最大公因数是4） ②定字母：取各项相同的字母（多项式）（各项相同的字母是） ③定次数：取各项相同字母（多项式）的最低次数（的最低次数是1;的最低次数是2） ④写公因式：（公因式：） 4.提公因式的步骤：（以为例） ①确定公因式（公因式：） ②把多项式的各项写成含公因式的乘积的形式（原式=） ③把公因式提到括号外面，余下各项写在括号里面（原式=） 三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法 平方差公式 完全平方公式 字母表示 或 语言叙述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方 四、延伸：十字相乘法 对于某些形如“”的二次项系数为1的二次三项式，可以利用十字相乘法进行因式分解.十字相乘的步骤如下： 类别 举例 ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式 当常数项是正数时，分解的两个因数同号；当常数项是负数时，分解的两个因数异号. 命题精练 命题形式9 提公因式法分解因式 1.（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 . 【答案】2 解析：∵，， ， 故答案为：2． 【题型解读】 本题考查代数式求值．先提公因式将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 2.（2024·浙江·中考真题）因式分解： . 【答案】 解析：．故答案为：． 【题型解读】 本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式a是解题的关键． 命题形式10 公式法分解因式 1.（2024·西藏·中考真题）分解因式： . 【答案】/ 解析：，故答案为：． 【题型解读】 本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 2.（2024·山东德州·中考真题）分解因式∶ ． 【答案】/ 解析：．故答案为：． 【题型解读】 本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解， ，用平方差公式分解即可． 命题形式11 综合提公因式和公式法分解因式 1.（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 解析：∵，， ∴；故选D． 【题型解读】 本题考查因式分解，代数式求值，综合提公因式和完全平方公式将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$