专题三 分式 2025年中考数学一轮复习讲义

专题三 分式（讲义）——中考数学一轮复习备考合集 考情分析 命题点 命题形式 命题热度 命题特点 分式及其性质 1.分式有意义的条件 ☆☆ 本专题多以选择题和填空题的形式出现，重点考查分式的基本性质和分式的运算，体现了数学运算的核心素养 2.分式值为0的条件 ☆ 分式的运算 3.分式的加减乘除 ☆☆ 4.分式的化简求值 ☆☆☆ 知识详解 讲解一：分式及其性质 一、分式的有关概念 1.分式：如果表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式. 2.分式有意义的条件：分母不能为0，即. 3.分式的值为0的条件：且. 【注意】 （1）分式的值为零是在分式有意义的前提条件下才可以考虑的，若使分子等于零的数使分母为零，则必须舍去. （2）解题时易出现只考虑分子为零，而忽略了分母不能为零的情况. 4.分式与整式的区别是分母中是否含有字母. 【拓展延伸】 （1）对于分式，若分式的值为正，则同号； （2）若分式的值为负，则异号； （3）若分式的值为1，则且； （4）若分式的值为，则且. 二、分式的基本性质 1.分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变， 即，其中是整式. 2.分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变， 即. 【注意】 （1）运用分式的基本性质时，一定要注意关键词“同一个”与“不等于零”. （2）应用分式的基本性质时，要避免犯只乘（或除以）分子（或分母）的错误. （3）若分式的分子或分母是多项式，则运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式. 命题精练 命题形式1 根据分式有意义的条件求字母的取值范围 1.（2024·安徽·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 解析：分式有意义的条件是分母不能等于， ． 故答案为：． 2.（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式有意义，则x需满足的条件是 ． 【答案】 解析：∵分式有意义，∴，解得， 故答案为：． 3.（2024·青海·中考真题）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 解析：∵式子有意义，∴，解得：． 故答案为：． 【题型解读】 该题型考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可. 命题形式2 根据分式的值为0的条件求字母的值 1.（2023·浙江湖州·中考真题）若分式的值为0，则x的值是（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 解析：依题意得，且，解得． 故选：A． 2.（2023·江苏·中考真题）若代数式的值是0，则实数x的值是（ ） A． B． 0 C．1 D．2 【答案】B 解析：由分母不为零得： ∵代数式的值是0∴ 综上：故选：B 3.（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ． 【答案】1 解析：∵分式的值为0，∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1．故答案为：1． 【题型解读】 该题型考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 知识详解 讲解二：分式的约分、通分 一、分式的约分与最简分式 1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.即. 2.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个是多项式，就先分解因式. 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【注意】 （1）约分的依据是分式的基本性质. （2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式，分式的约分，约去的是分子和分母整体的公因式，而不是某些项的公因式，因此约分前要保证分式的分子和分母都是乘积的形式. （3）约分的结果是整式或最简分式. 4.约分一般分为两步，下表以分式的约分为例： 步骤 举例 ①定公因式 分子与分母的公因式： ②约公因式 原式= 二、分式的通分与最简公分母 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.即（分母都为）. 2.最简公分母：通分时，要先确定各分式的公分母，各分式分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作分母，这样的分母叫做最简公分母. 3.确定最简公分母的步骤：确定最简公分母一般分为四个步骤，下表以分式和为例： 步骤 具体操作方法 举例 ①定系数 取各分母系数的最小公倍数 分母系数的最小公倍数：2 ②定字母 取分式分母中的所有字母 分母的所有字母： ③定指数 取各个字母的最高指数 的最高指数：2，的最高指数：2，的最高指数：1 ④写最简公分母 最简公分母： 若分母是多项式，先把每个分母分解因式，再按上述步骤确定最简公分母. 4.通分的步骤 通分一般分为两步，下表以为例： 步骤 举例 ①定最简公分母 最简公分母： ②化异分母为最简公分母 原式 【注意】 （1）只有一个分母时，这个分母就是最简公分母； （2）分母互为相反数时，每个分母都可作为最简公分母； （3）若有能约分的分式，则应化简后再找最简公分母. 【拓展延伸】 （1）约分和通分的联系：约分和通分都是依据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. （2）约分与通分的区别：① 约分是针对一个分式来说的，约分可使分式变得简单；② 通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 命题精练 命题形式3 分式的通分，约分 1.（（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ） A． B． C．5 D．a 【答案】D 解析：，故选：D． 【题型解读】 本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键，分子分解因式，再约分得到结果． 2.下列约分正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 解析：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误；故选：C． 3.对分式约分的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：，故选：B． 【题型解读】 本题考查了分式的约分，先将分子利用完全平方公式变形，再约分即可得出答案． 4.把分式通分时，这三个分式的分子分母依次乘 、 、 ． 【答案】 解析：分式，，的分母分别是，，， 所以最简公分母是， 所以分式的分子分母乘的式子是： 分式的分子分母乘的式子是： 分式的分子分母乘的式子是： 故答案为：，， 【题型解读】 本题考查了通分，通分的关键是求出各个分式中分母的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质．确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 根据确定最简公分母的方法来确定出公分母，再用最简公分母依次除以各分母即可得出这三个分式的分子分母依次乘以的式子． 知识详解 讲解三：分式的运算 一、分式的乘除和乘方 类别 法则 表示 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 乘方 分式的乘方要把分子、分母分别乘方 注意负数的乘方规律，负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；在分子、分母分别乘方时，要注意正确运用积的乘方的运算法则 【拓展延伸】 根据分式乘法法则有： ①分式与分式相乘时，如果分子和分母是多项式，那么先分解因式，再看能否约分，然后相乘； ②整式与分式相乘时，可以直接把整式看成分母是1的代数式，再与分式相乘； ③分式的乘法实际就是约分，所以计算结果如果能约分，必须约分，或通过分解因式后能约分的也要约分，必须把结果化为最简分式或整式. 二、分式的加减 类别 法则 表示 同分母 分母不变，把分子相加减 异分母 先通分，变为同分母的分式，再加减 分式的加减运算结果能约分的要约分，化为最简分式或整式 【注意】 （1）一个分式与一个整式相加减时，可以把整式看成是分母为1的“分式”进行通分，这样不易出错. （2）当两个分式的分母互为相反数时，应运用符号法则：等性质变为同分母的分式. （3）同分母分式相加减时，“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，当分子为多项式时，应添加括号，避免出现符号错误. 三、分式的混合运算 分式混合运算顺序与分数混合运算顺序类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 【规律方法】 （1）对于分式的混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减. （2）在运算过程中，既要注意正确运用运算法则，又要灵活运用交换律、结合律、分配律，注意运算的技巧性. 【注意】 分式的混合运算的结果必须化为最简分式或整式. 四、分式的化简求值 分式通过运算化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式有意义. 【注意】 分式的化简求值这类题目，字母的自选代入值多会设“陷阱”，因此代入数值时千万不可随意代入，总的来说有以下两类： 1.当分式运算中不含除法运算时，字母的代入值应使分式的分母不等于0； 2.当分式运算中含除法运算时，字母的代入值不仅应使分式的分母不等于0，还要使除式不等于0. 命题精练 命题形式4 分式的运算 1.（2023·广东·中考真题）计算的结果为（ ） A. B． C． D． 【答案】C 解析：原式；故选C． 2．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（ ） A．x B．y C． D． 【答案】A 解析：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型解读】 本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 3.（2024·湖北·中考真题）计算： ． 【答案】1 解析：．故选：1． 【题型解读】 本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可． 4.（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 解：原式； 当时，原式． 【题型解读】 本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，将除法变乘法，进行约分化简后，再代值计算即可． 5.（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：．其中． 解：原式． 当时，原式． 【题型解读】 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 6.（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 解：， ∵，，∴，， ∴取，原式． 【题型解读】 本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值． 7.（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 解：原式 ∵，∴原式 8.（2024·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 解：， 当时，原式． 9.(2024·重庆·中考真题）计算：． 解： ． 【题型解读】 先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 学科网（北京）股份有限公司 $$