专题五 一次方程（组） 讲义 2025年中考数学一轮复习

专题五 一次方程（组）（讲义）——中考数学一轮复习备考合集 考情分析 命题点 命题形式 命题热度 命题特点 一次方程（组）及其解法 1.一元一次方程的解法 ☆ 在本专题中，一次方程（组）的解法和含参问题常以填空题和选择题的形式考查，一次方程（组）的应用一般与不等式和函数结合，重点考查方案设计等实际问题 2.二元一次方程组的解法 ☆☆ 3.一次方程（组）的含参问题 ☆☆ 一次方程（组）的实际应用 4.一元一次方程的实际应用 ☆☆ 5.二元一次方程组的实际应用 ☆☆☆ 知识详解 讲解一：一元一次方程及其解法 一、等式的基本性质 基本性质 如果，那么； 如果，那么 如果，那么 对称性 如果，那么 传递性 如果，那么 【方法技巧】 判断等式的变形是否正确的方法： 当对等式两边加、减或乘同一个数（或式子）时，变形均正确； 当对等式两边除以同一个数（或式子）时，要先判断这个数（或式子）是否为0，若确定该数（或式子）不为0，则该变形正确，否则错误. 二、一元一次方程的定义 1.方程：含有未知数的等式叫作方程. 方程必须具备的两个条件：①是等式；②含有未知数.两者缺一不可. 2.只含有一个未知数（一元），未知数的次数都是1（一次）的整式方程叫做一元一次方程.它的标准形式为（是常数，且） 三、一元一次方程的解法 使方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解， 只含有一个未知数（一元）的方程的解又叫做它的根.解一元一次方程的一般步骤如下： 变形名称 具体做法 变形依据 注意事项 去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数.当分母是小数时，要利用分数的基本性质把小数化为整数 等式的性质2 （1）不要漏乘不含分母的项 （2）分子是一个多项式，去分母后加上括号 去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律，去括号法则 不要漏乘括号里面的项，不要弄错符号 移项 把含有未知数的项和常数项分别移至等号的两侧 移项法则（等式的性质1） 移项要变号，不移项不要变号 合并同类项 把方程化为 （其中）的形式 合并同类项法则 （1）系数相加 （2）字母及指数不变 系数化为1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 等式的性质2 （1）除数不为0 （2）不要把分子分母颠倒 【注意】 1.去分母是为了简化运算，若不使用，则合并同类项时需进行分数运算. 2.去括号时，一般按从小到大的顺序，但有时也可按从大到小的顺序. 3.解一元一次方程的一般步骤不一定每步都用到，也不一定按照从上到下的顺序进行，要根据方程的特点选取适当的步骤进行求解. 命题精练 命题形式1 一元一次方程的解法 1．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（ ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 解析：∵代数式的值为5，∴， 解得，故选：A． 2．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（ ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 解析：把代入得：，解得：． 故选：A． 【题型解读】 主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤． 3.（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：+1， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)见解析； (2). 解析：（1） 解：+1， …… （2）解：， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 【题型解读】 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1， 求出解 4.（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】(1)-9 (2)3 解析：（1）解：； （2）设被污染的数字为x， 由题意，得，解得， 所以被污染的数字是3． 知识详解 讲解二：二元一次方程（组）及其解法 一、二元一次方程（组）的相关概念 类别 定义 二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程 二元一次方程组 由两个二元一次方程组成的含有两个未知数的方程组. 二元一次方程组的解 二元一次方程组中两个方程的公共解 二、二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的基本思路是消元. 类别 具体内容 代入消元法 将方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数. 适用于有一个方程中含某个未知数的系数为1或-1的情况 加减消元法 ①当方程组中同一个未知数的系数互为相反数（相同）时，把两个方程相加（相减）消去其中一个未知数； ②当系数既不互为相反数也不相同时，需先将两个方程适当变形（将一组未知数的系数的绝对值化为相同）后，再通过相加（相减）消去其中一个未知数 【注意】 1.书写方程组的解时，通常用“{”把各个未知数的值合写在一起. 2.检验一组数是否为方程组的解时，只需将这组数同时代入方程组即可. 三、三元一次方程组的概念及其解法 1.由三个方程组成，含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组. 2.三元一次方程组的解题思路：三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程. 四、一次方程（组）含参问题的解题方法 1.已知方程（组）的解确定参数的方法： ①将方程(组)的解代人原方程(组)，得到关于参数的新的方程(组); ②解关于参数的新的方程(组)，求出参数的值. 2.根据方程（组）的解情况确定参数的方法： （1）用参数表示未知数： ①用含有参数的代数式表示一次方程(组)的解； ②根据一次方程(组)解的情况得到关于参数的新的方程(或不等式)； ③解关于参数的新的方程(或不等式)，求出参数的值(或取值范围). （2）运用整体思想求解二元一次方程组中的含参问题： ①将两个方程直接(或变形后)相加(或相减)得出两个未知数之间的关系式； ②将所得的关系式整体代人题目中所给的方程(或不等式)中； ③解方程(或不等式)，求出参数的值(或取值范围) （3）根据两个方程（组）有相同的解确定参数的方法： ①解不含参数的方程或将不含参数的方程联立后得到新的方程组； ②将求得的解代入含参数的方程，求出参数的值. 命题精练 命题形式2 二元一次方程组的解法 1.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 解析：联立方程组，解得， ∴P的坐标为，∴点P在第四象限，故选∶D． 【题型解读】 本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 2.（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 解析：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴，∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：；故答案为：． 3.（2023·河南·中考真题）方程组的解为 ． 【答案】 解析： 由得，，解得， 把代入①中得，解得， 故原方程组的解是，故答案为：． 4.（2024·浙江·中考真题）解方程组： 【答案】 解析： ①×3＋②得，解得， 把代入①得， 解得 ∴ 5.（2024·广西·中考真题）解方程组： 【答案】 解：， 得：，解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：. 【题型解读】 该题型主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键． 命题形式3 二元一次方程组的含参问题 1.（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 解析：法一：， 得， 解得， 将代入，解得， ， ， 得到， ， 法二： 得：，即：， ∵， ∴， ， 故选：D． 【题型解读】 本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键． 法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答． 法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可. 2.（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 解析：， 得， ，代入，可得， 解得，故选：B． 【题型解读】 本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 3.（2022·山东聊城·中考真题）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：把两个方程相减，可得， 根据题意得：，解得：． 所以的取值范围是．故选：A． 【题型解读】 本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 4.（2023·四川泸州·中考真题）关于，的二元一次方程组的解满足 ，写出的一个整数值 ． 【答案】7 解析：将两个方程相减得， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴的一个整数值可以是7． 故答案为：7（答案不唯一）． 【题型解读】 先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案． 5.已知方程组与方程组的解相同，则 ， ． 【答案】 解析：由已知可得解得 把代入方程组得 解得： 故答案为：；． 【题型解读】 此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 联立不含a与b的方程组成新方程组，求出x与y的值，再把x与y的值代入含a与b的方程组成方程组，求出a与b的值即可． 知识详解 讲解三：利用一次方程（组）解决生活实际问题 一、配套问题 1.在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据. 2.生产配套问题中的基本相等关系：加工（或生产）的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比. 3.调配问题中的基本相等关系：指从甲处调一些人（或物）到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人（或物）到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲人（或物）数+乙人（或物）数=总人（或物）数. 【注意】 生产配套问题的关键是理解配套方式，若配套的方式以比例形式出现，则生产总量的比例等于一套的比例；若配套的方式给出数量，如件A产品与件B产品配套，则相等关系是“A产品的件数=B产品的件数” 二、工程问题 1.基本关系式：，，. 2.找相等关系的方法一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，从另一个设元，那么就从第三个量找相等关系列方程. 【注意】 1.当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，统称把总工作量看做整体1. 2.常见的相等关系为：总工作量=各部分工作量之和 三、销售问题 1.在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率. 2.相关的相等关系 （1）； （2）； （3）； （4） 【注意】 当售价相同，盈利率与亏损率也相同时，其结果一定是亏损，因为盈利商品的进价一定小于售价，亏损商品的进价一定大于售价，而盈利的钱数=盈利商品的进价×盈利率，亏损的钱数=亏损商品的进价×亏损率，故亏损的钱数大于盈利的钱数. 四、积分问题 在比赛积分问题中，基本相等关系有：参赛场数=胜场数+负场数+平场数 比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 【注意】 （1）比赛中的积分与胜负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”. （2）在积分规则中，一般规律为：胜场积分>平场积分>负场积分，据此可粗略判断解题的结果是否正确. （3）所谓比赛中的积分问题是指一种题目类型，其问题情境不一定是比赛. 五、列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系 （2）设：恰当地设未知数 （3）列：依据题中的等量关系列方程组 （4）解：解方程组，求出未知数的值 （5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义 （6）答：写所答 【注意】 找等量关系的方法 （1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等； （2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系； （3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等； （4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系 命题精练 命题形式4 一元一次方程的实际应用 1.（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：设该车企去年5月交付新车辆， 根据题意得：，故选：A． 【题型解读】 本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可． 2．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：根据题意，得，故选：B． 【题型解读】 本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 3.（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，根据题意得： ， 故选：A． 【题型解读】 本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，列出方程即可． 4.（2024·贵州·中考真题）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 ． 【答案】20 解析∶设快马追上慢马需要x天， 根据题意，得，解得， 故答案为：20． 【题型解读】 本题考查了一元一次方程的应用，设快马追上慢马需要x天，根据快马走的路程等于慢马走的总路程，列方程求解即可． 5.（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 【答案】符合，理由见详解 解析：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为 ， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 【题型解读】 本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为， 根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可． 6.（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【答案】小峰打扫了． 解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为 ，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 答：小峰打扫了． 【题型解读】 本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 命题形式5 二元一次方程组的实际应用 1.（2024·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：设鸡有只，兔有只， 由题意得：，故选：D． 【题型解读】 本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有只，兔有只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可． 2.（2024·内蒙古赤峰·中考真题）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 解析：设用A型钢板x块，用B型钢板y块， 由题意得：，故选：C． 【题型解读】 此题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意设用A型钢板x块，用B型钢板y块，再利用现需要58块C型钢板、40块D型钢板分别得出方程组即可． 3.（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：由题意可得方程组为： ，故选：A. 【题型解读】 本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 4.（2023·内蒙古·中考真题）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜场，负场，则根据题意，列出关于、的二元一次方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：设该队胜场，负场，根据题意得： ，故D正确．故选：D． 【题型解读】 设该队胜场，负场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，在12场比赛中得20分，列出方程组即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$