专题七 一元二次方程 讲义 2025年中考数学一轮复习

专题七 一元二次方程（讲义）——中考数学一轮复习备考合集 考情分析 命题点 命题形式 命题热度 命题特点 一元二次方程及其解法 1.解一元二次方程 ☆☆ 本专题从定义和解法的角度命题，多以选择题和填空题的形式考查，解答题常与不等式和函数结合，考查学生分析和解决实际问题的能力，其中增长率问题的考查在各地中考中都占据重要比重 根的判别式、根与系数的关系 2.一元二次方程根的判别式 ☆☆☆ 3.一元二次方程根与系数的关系 ☆☆ 一元二次方程的实际应用 4.一元二次方程的应用 ☆☆☆ 知识详解 讲解一：一元二次方程的概念及其解法 一、一元二次方程的概念 1.等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件： （1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2. 3.一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为；二次项系数为 一次项为；一次项系数为 常数项为 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0 【注意】 （1）是一元二次方程的前提为 （2）对于二次项的系数含有字母的方程，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程. 例如，关于x的方程，当时，该方程是一元一次方程. （3）判断一个方程是否是一元二次方程应化简后再进行判断，如不是一元二次方程 4.一元二次方程的特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 0 0 0 0 二、一元二次方程的解法 使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 一元二次方程的解法有以下四种： 类别 适用情况 步骤 直接开平方法 形如的方程 ①两边开方； ②移项、系数化为1，求方程的解 因式分解法 方程化为一般形式后，左边能够分解因式 ①移：将方程右边化为0； ②分：将方程左边分解成两个一次因式积的形式； ③解：令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程并求解 配方法 所有一元二次方程 ①化：将二次项系数化为1； ②移：将常数项移到等号右边； ③配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ④解：开平方求解 公式法 所有一元二次方程 ①化：将方程化为一般形式，并确定的值； ②代：代入求根公式（） （一）直接开平方法解一元二次方程 1.直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 2.方程的根 （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 （2）当时，方程有两个相等的实数根 （3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根. 【注意】 （1）直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程. （2）若，则x为p的平方根，即，切记不要漏掉负的平方根. （3）因为负数没有平方根，所以关于x的一元二次方程有解的前提条件是p是非负数，即. （二）配方法解一元二次方程 1.配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 2.可化为的形式的一元二次方程的根 （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根. 3.用配方法解一元二次方程的一般步骤 ① 移项：把含未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号右边，变为的形式； ② 二次项系数化为1：把二次项系数化为1，变为的形式； ③ 配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方，等号左边写成完全平方式，变为； ④ 开平方求根：用直接开平方法解方程. （三）公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式：当时，方程的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式. 2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 （1）整理方程：将方程整理为的形式，找到公式中的，要注意的符号. （2）计算根的判别式：将的值代入计算，并判断的符号. （3）求根：当时，方程有两个不相等的实数根，即 ； 当时，方程有两个相等的实数根，即； 当时，方程无实数根. 【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法，它适用于所有一元二次方程，但不一定是最高效的解法. （四）因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将方程化为一般式； （2）分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； （3）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式.如，若约去x，则会导致丢掉这个根. 3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 常见类型 因式分解为 方程的解 (a，b为常数) 命题精练 命题形式1 解一元二次方程 1.（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【思路点拨】 本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 解析：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴．故选：D． 2.（2023·内蒙古赤峰·中考真题）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 解析： 移项得， 两边同时加上，即 ∴，故选：C． 3.（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 解析： ， ∴， ∴或， ∴，，故选∶B． 4.（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 解析：∵，∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴，故答案为：3． 5.（2022·江苏南京·中考真题）方程 的解是 ． 【答案】=1，=3 解析：∵， ∴， ∴或， 解得=1，=3， 故答案为：=1，=3． 【题型解读】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 6.（2023·江苏无锡·中考真题）解方程： 【答案】（1）， 解： ∵， ∴， ∴ 解得：，； 7.（2024·青海·中考真题）解一元二次方程： 【答案】或 解： 或； 8.（2023·广东广州·中考真题）解方程：． 【答案】， 解：， ， 或， ，． 知识详解 讲解二：根的判别式、根与系数的关系 一、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即. 2.一元二次方程根的情况判断： 类别 根的情况 方程的根 有两个不相等的实数根 ； 有两个相等的实数根 无实数根 上面结论反过来也成立，即当一元二次方程有两个不相等的实数根时，； 当一元二次方程有两个相等的实数根时，； 当一元二次方程没有实数根时，. 【注意】 1.计算“”时，要注意的值包含它前面的符号. 2.一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根这两种情况，此时，不要漏掉等号. 【拓展】对于一元二次方程，当异号时，方程一定有两个不相等的实数根；当时，方程一定有一个根为0. 二、根与系数的关系 若的两个根为，则， 1.运用根与系数的关系的前提是 2.若一元二次方程的两根为，则，. 3.以为根，且二次项系数为1的一元二次方程是 【拓展】与一元二次方程的两个根有关的几个代数式的变形： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 命题精练 命题形式2 一元二次方程根的判别式 1.（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，故选：B． 【题型分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 2.（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 解析：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 3.（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【思路点拨】 根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 解析：∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得．故选C． 4.（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【思路点拨】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可． 解析：△，方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5.（2023·河南·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 解析：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A． 6.（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 . 【答案】 解析：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 7.（2024·广东·中考真题）如果关于x的方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】1 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键． 解析：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，解得． 故答案为：1． 命题形式3 一元二次方程根与系数的关系 1.（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程 ，若是该方程的两个实数根，则， 据此得到，再由得到，据此可得答案． 解析：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ，， ∴，解得， 经检验，是原分式方程的解，故选：B． 2.（2023·山东·中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】C 解析：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴． 故选C． 3.（2023·湖南怀化·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为 ，另一个根为 ． 【答案】 ， 【思路点拨】 将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解． 解析：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴解得：， 设原方程的另一个根为，则， ∵，∴，故答案为：． 4.（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 解析：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 讲解三：一元二次方程的实际应用 一、一元二次方程中常见问题及数量关系 类别 数量关系 变化率问题 原数量变化后的量 （x为平均增长率/下降率，n为增长/下降次数） 单/双循环问题 单循环（如握手问题）： 双循环（如写信问题）： 面积问题 （为空白部分的宽） （为阴影部分的宽） 商品销售问题 . 二、列一元二次方程解应用题的步骤 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. 等量关系往往体现在关键词句中. ②设 设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法. 一般要带单位. ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. 方程两边单位要统一. ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. 一般不必写出解方程的过程. ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. 一般两个根中只有一个符合实际意义. ⑥答 写出实际问题的答案. 注意带上单位. 命题精练 命题形式4 一元二次方程的应用 1.（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    【答案】 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 解析：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 2.（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】 本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 解析：由题意可知，宽为步，则可列方程为， 故选：C． 3.（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 解析：甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意可得， 故选：B． 4.（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】 患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 解析：由题意得：，故选：C． 5.（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【思路点拨】 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 解析：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 6.（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率 (2)预计该商场七月份投入资金将达到万元 【思路点拨】 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 解：（1）设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； （2）解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 7.（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【思路点拨】 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 学科网（北京）股份有限公司 $$