专题八 一元一次不等式（组） 2025年中考数学一轮复习讲义

专题八 一元一次不等式（组）（讲义）——中考数学一轮复习备考合集 考情分析 命题点 命题形式 命题热度 命题特点 不等式（组）及其解法 1.不等式的性质 ☆ 本专题从不等式（组）的解法和含参问题的角度命题，多以选择题和填空题的形式出现，解答题要求学生利用不等式（组）解决实际问题，常与函数和方程结合考查，体现了数学运算的核心素养. 2.解不等式（组） ☆☆☆ 3.不等式（组）解集的表示 ☆ 4.不等式（组）的含参问题 ☆☆ 不等式（组）的实际应用 5.不等式（组）的实际应用 ☆☆☆ 知识详解 讲解一：不等式及其性质 一、不等式的相关概念 1.不等式：用不等号表示大小关系的式子叫做不等式. 【注意】 （1）判断一个式子是否为不等式，关键是看该式子是否含有不等号； （2）不等号具有方向性，不等号两边的数不能随意交换； （3）有些不等式中不含未知数，如；有些不等式中含有未知数，如. 对应含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立；否则，不等式不成立. 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 【注意】一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个. 3.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 【注意】不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立； （2）能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. 不等式的解是一个个独立的数字，不等式的解集是由所有的解组成的，是一个集合. 二、不等式的性质 不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 如果， 那么 不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果， 那么 不等式的性质3 不等号两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果， 那么 【注意】 两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义. 命题精练 命题形式1 不等式的性质 1.（2024·广东广州·中考真题）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：A．∵，∴，则此项错误，不符题意； B．∵，∴，则此项错误，不符题意； C．∵，∴，则此项错误，不符合题意； D．∵，∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 2.（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 3.（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 解析： A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 4.（2023·四川德阳·中考真题）如果，那么下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：∵， ∴，，，， ∴A，B，C不符合题意，D符合题意； 故选D 【题型分析】 该题型考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 知识详解 讲解二：一元一次不等式（组）的概念及解法 一、一元一次不等式的概念 1一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 2.一元一次不等式必须同时满足三个条件： （1）不等式的两边都是整式； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的次数是1. 【注意】含有一个未知数隐含着未知数的系数不等于0.例如，如果已知（是常数）是一元一次不等式，那么就隐含了这个条件. 二、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为（）或（）的形式.解一元一次不等式的步骤如下表： 步骤 具体做法 依据 注意事项 ①去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 不等式的性质2，3 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号. ②去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）. 分配律、去括号法则 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号. ③移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边. 不等式的性质1 （1）所移的项要改变符号，不移的项不变号；（2）移项时，不等号的方向不改变. ④合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变. 合并同类项法则 ⑤系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数（或乘未知数的系数的倒数），将不等式化为（）或（）的形式. 不等式的性质2，3 当不等式两边都除以同一个负数时，不等号的方向要改变. 【注意】解一元一次不等式时，以上五个步骤不一定都要用到，并且不一定要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解. 三、一元一次不等式组的相关概念 一元一次不等式组：类似于方程组，把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组，如 【注意】 （1）一元一次不等式组必须同时满足三个条件： ①每个不等式都是一元一次不等式； ②含有同一个未知数； ③不等式的个数不少于2. （2）不等式组一般用“{”连接，有的也可以用形如“”方式表示. 四、不等式组的解集 1.不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集. 【注意】 （1）“公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解. （2）不等式组的解集中的每一个解满足不等式组中的每一个不等式. 2.一元一次不等式组的解集有四种情况： 不等式组 （设） 图示 解集 口诀 大大取大 小小取小 大小小大中间找 空集 大大小小无处找 五、一元一次不等式组的解法 1.解不等式组：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组. 2.解一元一次不等式组的步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴或“口诀”求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集 六、不等式（组）的含参问题的解题步骤 对于含有参数的不等式（组），常常会给出它的解集情况，求参数的取值范围，或者具体给出解集，求参数的值.解答过程主要有以下几步： ①解不等式（组），得到含参解集； ②结合已知解的情况列出方程（组）或不等式（组）； ③解此方程（组）或不等式（组），得到参数的值或取值范围. 命题精练 命题形式2 解不等式（组） 1.（2024·陕西·中考真题）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】 本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解． 解析：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：D． 2.（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 解析：∵，∴． ∴符合题意的是A，故选A． 【题型解读】 本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 3.（2024·广西·中考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 解析：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 故答案为：． 4.（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组的一个整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】 本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 解析：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）. 5.（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【思路点拨】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 解析：（1）解不等式①得， 故答案为：； （2）解不等式②得， 故答案为：； （3）在数轴上表示如下： （4）由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 6.（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 解析：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 7.（2024·甘肃·中考真题）解不等式组： 【答案】 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 解析： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 8.（2024·北京·中考真题）解不等式组： 【答案】 解析： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 命题形式3 不等式（组）解集的表示 1.（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 解析： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 2.（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 解析：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 3.（2024·浙江·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下： 故选：A． 4.（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ． 【答案】/ 解析：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 命题形式4 不等式（组）的含参问题 1.（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】 本题考查了不等式的含参问题，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 解析：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 2.（2024·浙江·中考真题）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为 ． 【答案】 解析：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ， 故答案为：． 3.（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】 解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 解析：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 4.（2024·山东烟台·中考真题）关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】 本题考查了不等式的含参问题，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 解析：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 5.（2023·黑龙江·中考真题）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 解析：解不等式组得：， ∵关于的不等式组有3个整数解， ∴这3个整数解为，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 知识详解 讲解三：一元一次不等式（组）的应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解. 列不等式解决实际问题的步骤与列方程解决实际问题的步骤类似，即： 步骤 注意事项 审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系. 抓住题目中的关键字眼，如“大于”“小于”“不等于”“至少”“超过”等 设 设出适当的未知数. 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现 列 根据题中的不等关系列出不等式. 两边所表示的量应该相同，并且单位要统一 解 解不等式，求出其解集 符号和系数不要出错 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 一满足不等式；二符合实际意义 答 写出答. 应把表示不等关系的文字补上 命题精练 命题形式5 不等式（组）的实际应用 1.（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 解析： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 2.（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 【答案】(1) (2)4小时 【思路点拨】 本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可； （2）设排水a小时，则，再解不等式即可． 解析：（1）设甲池的排水速度为， 由题意得，， 解得：， 答：甲池的排水速度为； （2）设排水a小时， 则， 解得：， 答：最多可以排4小时． 3.（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【答案】(1)50元、30元 (2)400棵 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可； （2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可． 解析：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵， 根据题意，得， 解得， 答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵； （2）设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗棵， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购买脐橙树苗400棵． 4.（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本． (2)数学书最多还可以摆90本 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 解析：（1）设书架上数学书有本，由题意得： ， 解得：， ． ∴书架上有数学书60本，语文书30本． （2）设数学书还可以摆m本， 根据题意得：， 解得：， ∴数学书最多还可以摆90本． 5.（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】(1)A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元 (2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少． 【思路点拨】 （1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解 解析：（1）设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得： , 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元； （2）设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得： ，解得， ∵须为非负整数， ∴可取，，， ∴共有三种方案： 方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）， ∵ ∴方案三总费用最少． 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 学科网（北京）股份有限公司 $$