专题十 一次函数 2025年中考数学一轮复习讲义

专题十 一次函数（讲义）——中考数学一轮复习备考合集 考情分析 命题点 命题形式 命题热度 命题特点 一次函数的图象与性质 1.一次函数的图象与系数 ☆☆ 本专题中选择题和填空题多考查一次函数的图象与性质及一次函数解析式的确定，解答题多考查一次函数的实际应用和一次函数的综合运用问题，常与方程（组）和不等式（组）结合，体现了数形结合、分类讨论的数学思想 2.一次函数的增减性 ☆☆ 3.一次函数的图象变换 ☆☆ 4.一次函数解析式的确定 ☆☆ 一次函数与方程（组）、不等式（组）结合 5.一次函数与方程（组）结合 ☆ 6.一次函数与不等式（组）结合 ☆ 一次函数的实际应用 7.一次函数的实际应用 ☆☆☆ 一次函数与几何综合 8.一次函数与几何图形综合 ☆☆ 知识详解 讲解一：正比例函数及其图象 一、正比例函数的定义 形如（是常数，）的函数叫做正比例函数，其中是比例系数. 二、正比例函数的图象与性质 的取值范围 象限 图象 增减性 一、三 随的增大而增大 二、四 随的增大而减小 知识详解 讲解二：一次函数及其图象 一、一次函数的定义 形如（是常数，）的函数叫做一次函数.当时，，所以正比例函数是特殊的一次函数，其中是自变量，是因变量. 【注意】 1.在一次函数中，，可以为0 2.正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. 二、一次函数的图象与性质 的取值范围 的取值范围 象限 图象 增减性 一、二、三 随的增大而增大 一、三、四 一、二、四 随的增大而减小 二、三、四 【注意】 1.直线与轴的交点坐标；与轴的交点坐标为 2.确定的符号：一次函数图象从左至右呈上升趋势，即当随的增大而增大时，；反之， 3.确定的符号：一次函数图象与轴的交点在正半轴时，；反之， 4.的作用：的符号函数增减性或图象的倾斜方向；直线的倾斜程度 5.的作用：的符号直线与轴交点的位置 三、一次函数图象间的位置关系 同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系 的关系 与的关系 与相交 ， 与相交于轴上的一点 ， 与平行 命题精练 命题形式1 一次函数的图象与系数 1．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【思路点拨】 本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可． 解析：∵由已知，得：，∴图象经过第一、二、三象限， ∴图象不经过第四象限．故选：D． 2．（2023·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和（k为常数，）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 解析：∵和（k为常数，）， ∴函数过原点，且经过二、四象限，图象是下降的；一次函数的图象经过一，三、四，且图象是上升的，故A、B、C不合题意，D选项符合题意； 故选：D． 3.（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：由一次函数：的图象可得：，， 由一次函数：的图象可得：，， ∴，，，， 正确的结论是A，符合题意， 故选A． 命题形式2 一次函数的增减性 1．（2024·新疆·中考真题）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【思路点拨】 本题考查了一次函数的增减性，要知道，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 解析：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大，∴， 而四个选项中，只有D符合题意， 故选：D． 2．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 解析：正比例函数的图象经过点， ，解得：， 又，的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 3.（2024·四川自贡·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 解析：∵的值随x的增大而增大，∴， ∴，∴的值可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 4.（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 【答案】< 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 解析：∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵，∴． 故答案为：． 知识详解 讲解三：一次函数的图象变换 一、一次函数图象的平移 平移前的解析式 平移方式 平移后的解析式 向左平移m个单位长度 向右平移m个单位长度 向上平移m个单位长度 向下平移m个单位长度 简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”. 二、一次函数图象的对称 对称前的解析式 对称方式 对称后的解析式 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 命题精练 命题形式3 一次函数的图象变换 1.（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】 先求出函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式． 解析：∵点是函数图象上的点， ∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、 ∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为， ∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为． 故选A． 2.（2023·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：正比例函数的图象向右平移3个单位长度得：， 故选：B． 3.（2024·西藏·中考真题）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 【答案】 解析：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 【题型解读】 本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”. 知识详解 讲解四：一次函数解析式的确定 待定系数法的步骤 （1）设：设所求一次函数的解析式为； （2）代：将图象上的点的横坐标、纵坐标分别代换，得到方程组 （3）解：解关于的值代入中，从而得到函数解析式 （4）确定函数解析式 常见类型 （1）两点型：直接运用待定系数法求解； （2）平移型：由平移前后不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知点坐标即可 命题精练 命题形式4 一次函数解析式的确定 1.（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 【答案】 【思路点拨】 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 解析：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 2.（2023.北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C. （1）求该函数的解析式及点C的坐标； 【答案】， 解析：把，分别代入，得解得 该函数的解析式为. 把代入，得，解得， 点C的坐标为. 3.（2023·山东·中考真题）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为 ． 【答案】 解析：把代入，得， 设当时，与之间的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴与之间的函数表达式为 故答案为：． 知识详解 讲解五：一次函数与方程（组）、不等式的关系 一、一次函数与方程（组）的关系 方程（组） 方程： 方程组： 一次函数 ； 图象 关系 方程的解是直线与轴交点（）的横坐标，即 方程组的解是直线与直线交点（）的横、纵坐标，即 二、用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤： （1）变函数：把方程组化为一次函数与. （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象. （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标. （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 【拓展】 二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解. 三、一次函数与不等式的关系 不等式 一次函数 ； 图象 关系 不等式的解集是直线在轴上方（）所对应的的取值范围，即 不等式的解集是直线在下方所对应的的取值范围，即 命题精练 命题形式5 一次函数与方程（组）结合 1.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 解析：联立方程组，解得， ∴P的坐标为，∴点P在第四象限， 故选∶D． 2.（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【答案】C 解析：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项D正确； 故选C． 3.（2022·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】 先把点P代入直线求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可. 解析：∵直线与直线交于点P（3，n），∴， ∴，∴， ∴1=3×2+m，∴m = -5, ∴关于x，y的方程组的解. 故选：C． 命题形式6 一次函数与不等式结合 1.（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】 本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 解析：∵不等式的解集是，∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 2.（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：解：∵，∴当时，， 故选：B． 3.（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 . 【答案】 解析：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，，得； 当与平行时，得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 知识详解 讲解六：一次函数的实际应用 判断等量关系为一次函数的情况 （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位 常见类型 （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值. 注意：根据实际情况确定变量的取值范围 知识延伸：分段函数 自变量在不同的取值范围内，其解析式也不同的函数叫做分段函数.在实际问题中，常用到分段函数的有出租车计费问题、行程问题、阶梯水电费问题等，解答时需根据自变量的取值范围分段讨论. 下表中以确定下图的函数解析式为例： 类别 举例 ①找自变量的分界值 为该函数自变量的分界值 ②分别求每段函数的解析式 当时，； 当时， ③确定分段函数解析式 故解析式为 【注意】分段函数由多个解析式组成，写分段函数解析式时必须带上自变量的取值范围. 命题精练 命题形式7 一次函数的实际应用 1.（2023·四川甘孜·中考真题）某次气象探测活动中，在一广场上同时释放两个探测气球．1号探测气球从距离地面5米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球距离地面的高度y（单位：米）与上升时间x（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式； (2)探测气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度？此时它们距离地面多少米？ 【答案】(1) (2)探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米 【思路点拨】 （1）设关于的函数解析式为，将点代入计算即可得； （2）先求出1号气球上升分时，高度为米，再根据两个气球位于同一高度建立方程，解方程即可得． 解析：（1）由题意，设关于的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， 则关于的函数解析式为． （2）由题意可知，1号气球上升分时，高度为米， 则， 解得， 此时， 答：探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米． 2.（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)没有超速 解析：（1）由题意可得：，解得：． 故答案为：． （2）设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． （3）当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 3.（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1) ______米/秒， ______秒； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 【答案】(1)8，20 (2)； (3)2秒或10秒或16秒． 【思路点拨】 本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据图形计算即可求解； （2）先求得甲无人机单独表演所用时间为秒，得到，利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解 解析：（1）由题意得甲无人机的速度为米/秒， ， 故答案为：8，20； （2）由图象知，， ∵甲无人机的速度为8米/秒， 甲无人机匀速从0米到96米所用时间为秒， 甲无人机单独表演所用时间为秒， ∴秒， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）由题意，， 同理线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米． 4.（2023·陕西·中考真题）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当这种树的胸径为时，其树高是多少？ 【答案】(1) (2) 解析：（1）设， 根据题意，得， 解之，得， ∴； （2）当时，． ∴当这种树的胸径为时，其树高为． 5.（2023·吉林长春·中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．    (1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 【答案】(1) (2) 解析：（1）设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得， ， 解得：， ∴； （2）设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为 将点代入得， 解得：， ∴； 联立 解得： ∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米 命题形式8 一次函数与几何图形综合 1.（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【答案】/0.6 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案． 解析：根据题意画出图形如下， 设直线的解析式为：， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线方程：， 解得：， ∴ ∵，， ∴，， 根据题意有：， 即， ， 解得：, 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$