2025年鲁教版（五四制）数学一轮复习训练 第四章 三角形 专项训练 全等三角形归纳模型

第四章 三角形 专项训练 全等三角形归纳模型 模型一 对称模型 【模型分析】 此模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等. 【针对训练】 1.如图,AB 是∠CAD 的平分线,AC=AD,求证:∠C=∠D. 2.如图,在△ABC 中,点 D 为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD 的延长线于点 E. (1)求证:△BDE≌△CDA; (2)若AD⊥BC,求证:BA=BE. 模型二 一线三等角模型 【模型分析】 一线：经过直角顶点的直线(BE)；三垂直：直角边互相垂直(AC⊥CD)，过直角的两边向直线作垂直(AB⊥BC,DE⊥CE),利用“同角的余角相等”转化找等角(∠1 =∠2). 【针对训练】 3.如图,AC∥DE,∠A=90°,B是 AD 上的一点,AC = BD,∠1 = ∠2. 判断△CBE的形状，并说明理由. 4.如图,在 中， 点D 在线段 BC 上运动(点 D不与点B、C 重合),连接AD,作 DE 交线段AC 于点 E. (1)当 时， (2)若 试说明 (3)在点 D 的运动过程中， 的形状可以是以AE 为腰的等腰三角形吗?若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由. 模型三 旋转模型 【模型分析】 此模型可以看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，旋转后的图形与原来图形之间存在两种情况： (1)无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角中. (2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角. 【针对训练】 5.如图,在△ABC 中,∠A =90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边 AB,AC 上,AE =CF,则四边形 AEDF的面积为 ( ) A.18 C.9 第5题图 第6题图 6.如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC =AD.求证:△ABC≌△AED. 模型四 截长补短模型 【模型分析】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系，截长，指在长线段中截取一段等于已知线段：补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等. 【针对训练】 7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是△ABC的角平分线,求证: 模型五 半角模型 【模型分析】 过等腰三角形的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为顶角的一半，半角模型常见于正方形、等边三角形、等腰直角三角形中，常用于证明线段之间的数量关系. 【针对训练】 8.如图,已知正方形ABCD,从顶点A 引两条射线分别交 BC,CD 于点 E,F,且 求证： 参考答案 1.证明:∵AB 是∠CAD 的平分线,∴ ∠CAB =∠DAB. 在△ABC 和△ABD中, ∴△ABC≌△ABD(SAS),∴∠C=∠D. 2.证明:(1)∵点D为BC的中点,∴BD=CD. ∵BE∥AC,∴∠EBD=∠C,∠E=∠CAD. 在△BDE 和△CDA中, ∴△BDE≌△CDA(AAS). (2)∵点D为BC的中点,AD⊥BC,∴直线AD为线段BC的垂直平分线，∴BA=CA. 由(1)可知,△BDE≌△CDA,∴ BE=CA,∴ BA=BE. 3.解：△CBE 是等腰直角三角形.理由如下： ∵AC∥ED,∠A=90°,∴ ∠A=∠D=90°. 在△ABC和△EBD中, ∴△BCA≌△EBD(AAS), ∴BC=BE,∠ACB=∠EBD. ∵∠A=∠D=90°,∴∠1+∠ACB=90°. ∵∠ACB=∠EBD,∴∠1 +∠EBD=90°,∴∠CBE=90°,∴△CBE 是等腰直角三角形. 4.解:(1)20;62. (2)∵AB=3,DC=3,∴AB=DC. ∵∠C=42°,∴∠DEC+∠EDC=138°. ∵∠ADE=42°,∴∠ADB+∠EDC=138°,∴∠ADB=∠DEC. 在△ABD和△DCE中, ∴△ABD≌△DCE(AAS). (3)当∠BDA 的度数为 84°时,△ADE 的形状是以AE 为腰的等腰三角形. ①当AD =AE 时,∠AED = ∠ADE 此时，点D 与点 B 重合，不合题意； ②当 EA = ED 时,∠EAD = ∠ADE=42°,∵∠BDA+∠ADC=180°,∠CAD +∠C+∠ADC=180°.∴ ∠BDA = ∠EAD + ∠C =42°+ 综上所述,当∠BDA 的度数为 84°时，△ADE的形状是以 AE 为腰的等腰三角形. 5. C 6.证明:∵∠BAE=∠CAD,∴ ∠BAE + ∠CAE = ∠CAD +∠CAE,即∠BAC=∠EAD. 在△ABC与△AED中, ∴△ABC≌△AED(SAS). 7.证明:如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵AD 为△ABC 的角平分线,且 DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE,∴∠AED=∠C=90°. ∵∠B=45°,∴∠BDE=∠B=45°,∴BE=DE,∴CD=DE=BE. 在Rt△ACD 和Rt△AED中,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL), ∴AC=AE,∴AB=AE+EB=AC+CD. 8.证明:如图,延长 CD 到 G,使 DG=BE. ∵在正方形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,∴∠ADG=∠B. 在△ABE 和△ADG中,∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴AG=AE,∠DAG=∠BAE. ∵ ∠EAF=45°,∴∠GAF =∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-∴ ∠EAF=∠GAF. 在△AEF 和△AGF中,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴ EF=GF. ∵GF=DG+DF=BE+DF,∴ BE+DF=EF. 学科网（北京）股份有限公司 $$