精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市敬业学校2024-2025学年 上学期八年级数学期中试题

敬业学校2024-2025学年度第一学期期中学业质量监测八年级数学试卷 满分：100分时间：100分钟 一、选择题（共22分，1~8题每小题2分，9题、10题每小题3分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A.     B.     C.     D.     2. 用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A.     B.     C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 5. 如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”这样说的依据是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形角平分线的相交于一点 D. 角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 6. 已知的三边分别为a、b、c，且，若，，则周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 9. 在下列条件中：①， ②，③，④中， 能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 10. 如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E．过点B作交的延长线于点F，连接，．现有如下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共14分，11~14题每小题2分，15题、16题每小题3分） 11. 利用轴对称作图解决“将军饮马问题”的依据是__________． 12. 如图是某种可调节躺椅的示意图， 与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 ________________度． 13. 把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝_____． 14. 如图，的面积为，垂直的平分线于点P，则的面积为______． 15. 在课堂上，老师发给每人一张印有（如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个，使得.小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示 老师评价：他俩的做法都正确.请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据.我选______的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定的依据是______ 16. 如图，在矩形中，，，延长至点，，连接，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，回到点停止运动．当运动________秒时，与全等． 三、解答题（共64分） 17. 计算： （1）． （2）． （3）已知，求的值； （4）已知与的乘积中不含和x项，求m、n的值． 18. 如图，一个小长方形的长为，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长______，宽______．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，若，求m与n的数量关系． 19. 如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系内，画出关于x轴对称的图形，其中，点A、B、C的对应点分别为、、；并写出的坐标． （2）画出两个与全等且有公共顶点B的三角形．（要求：三角形顶点的横、纵坐标都是整数） （3）请写出点关于直线n（直线n上各点的横坐标都为1）对称的点的坐标． 21. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，求的面积． 22. 已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 23. 【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 敬业学校2024-2025学年度第一学期期中学业质量监测八年级数学试卷 满分：100分时间：100分钟 一、选择题（共22分，1~8题每小题2分，9题、10题每小题3分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，把一个图形沿某条直线对折，对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则这两个图形关于这条直线对称．根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A.     B.     C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，正确，故符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方等知识．熟练掌握合并同类项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方是解题的关键． 4. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 5. 如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”这样说的依据是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形角平分线的相交于一点 D. 角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分． 【详解】∵两把长方形直尺完全相同， ∴P到尺子两边距离相等，即P到角的两边距离相等， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解决问题的关键． 6. 已知的三边分别为a、b、c，且，若，，则周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质．确定的取值范围是解题的关键． 由题意以及三角形三边关系得，，即，然后利用不等式的性质求周长的范围即可． 【详解】解：由题意以及三角形三边关系得，，即， ∴，即， 故选：C． 7. 如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积． 【详解】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC ＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC ＝（AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是18， ∴S△ABC＝×18＝27（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， . 故答案为D. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 9. 在下列条件中：①， ②，③，④中， 能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理进行判断求解． 【详解】解：①∵，， ∴，则是直角三角形； ②∵，， ∴，则是直角三角形； ③，即，则，则是直角三角形 ④∵， ∴， ∴， 故不是直角三角形． 故选：C． 10. 如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E．过点B作交的延长线于点F，连接，．现有如下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】如果是角平分线，则，而，显然与已知矛盾，故错误． 易证是等腰直角三角形，故． 由，推出，由，推出，即． 由三线合一性质可得出是的垂直平分线，则，由，推出，推出，结合平行线的性质即可推出． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴， 若平分，而 ， ∴， 又∵， ∴不可能平分，故①错误； ∵，，， ∴，， ∴， 是等腰直角三角形， ∴，故②正确． ，，， ， ， ， ， ，故③正确． ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（共14分，11~14题每小题2分，15题、16题每小题3分） 11. 利用轴对称作图解决“将军饮马问题”的依据是__________． 【答案】两点之间线段最短 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．根据将军饮马问题求解即可． 【详解】解：利用轴对称作图解决“将军饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 12. 如图是某种可调节躺椅的示意图， 与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 ________________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和及三角形的外角，延长交于点M，首先根据三角形的内角和求出的值，然后利用三角形的外角可得，进而即可得出结论． 【详解】延长交于点M， ，， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：20． 13. 把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝_____． 【答案】32°． 【解析】 【分析】通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，结合三角形内角和定理进行计算即可； 【详解】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°， 则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝32°． 故答案是：32°． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用，准确分析图形中角的关系式解题的关键． 14. 如图，的面积为，垂直的平分线于点P，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长交于点，根据角平分线和垂线的定义，易证，得到，，进而得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 和等底同高， ， ， 的面积为， ， 故答案为：． 15. 在课堂上，老师发给每人一张印有（如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个，使得.小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示 老师评价：他俩的做法都正确.请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据.我选______的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定的依据是______ 【答案】 ①. 小刘(或小赵) ②. （或） 【解析】 【分析】由图可知小赵同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为 ． 由图可知小刘同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为 ． 【详解】小赵同学画了后，再截取两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是定理； 小刘同学画了后，再截取一直角边和一个斜边，所以确定的依据是定理． 故答案为：小刘(或小赵)；（或） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，，延长至点，，连接，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，回到点停止运动．当运动________秒时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 设运动时间为，则， 当时，即点在上运动时，， ， 解得：； 当时，即点在上运动时，, ， ， ， 解得：； 综上所述，当运动秒或秒时，与全等， 故答案为：或． 三、解答题（共64分） 17. 计算： （1）． （2）． （3）已知，求的值； （4）已知与的乘积中不含和x项，求m、n的值． 【答案】（1） （2） （3）8 （4），且 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，多项式中不含某项的条件等知识，截图的关键是： （1）先计算积的乘方，然后根据多项式除以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方，然后根据多项式乘以单项式法则计算即可； （3）先求出，然后根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则把变形为，最后整体代入计算即可； （4）求出乘积后，根据多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【小问4详解】 解： ， ∵与的乘积中不含和x项， ∴且， ∴，且． 18. 如图，一个小长方形的长为，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长______，宽______．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，若，求m与n的数量关系． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了列代数式，整式乘法的混合运算，涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键． （1）利用图形和整式的加减即可求解； （2）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）表示出大长方形的面积和阴影不符的面积，然后结合求解即可． 【小问1详解】 解：大长方形的长，宽； 【小问2详解】 解： ∴阴影部分的面积为； 【小问3详解】 解：，阴影部分的面积为 ∵ ∴ ∴ ∴． 19. 如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）． 【答案】 如图，点P即为所求， 【解析】 【分析】作直线m和直线n所夹锐角的角平分线，作的垂直平分线，二者的交点即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系内，画出关于x轴对称的图形，其中，点A、B、C的对应点分别为、、；并写出的坐标． （2）画出两个与全等且有公共顶点B的三角形．（要求：三角形顶点的横、纵坐标都是整数） （3）请写出点关于直线n（直线n上各点的横坐标都为1）对称的点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， ； （2） 解：如图，、即为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换，全等三角形的判定，解题的关键是数形结合，作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于x轴的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）根据画图即可； （3）利用轴对称得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设对称点为， ∵直线，且平行于y轴，， ∴，， ∴， ∴点关于直线n对称的点的坐标为． 21. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）9 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 22. 已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可； （2）根据全等的性质和线段中点的定义可得出，根据证，推出，，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ， ，， ， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； [结论运用]：210海里． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （2）延长到，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （3）连接，延长、交于点，可得，再得，继而得到本题答案． 【详解】解：[初步探索]：；理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ∴， ， ， ， 故答案为：； [探索延伸]：略 [结论运用]：如图3，连接，延长、交于点， ， ，， ， ，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $