浙江省杭州市部分重点中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

高二年级数学学科 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校､班级､姓名､试场号､座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2.已知直线的方向向量，平面的法向量，若直线与平面平行，则实数的值为（ ） A.7 B. C.2 D. 3.已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A.3 B. C.2 D.1 4.已知双曲线的焦距为，则的值为（ ） A.4 B.2 C.1 D. 5.圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 6.已知等差数列，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.在直三棱柱中，是棱的中点，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8.已知为抛物线的焦点，其中为坐标原点，直线交抛物线于两点，且，点关于直线的对称点为，则直线的斜率的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.给出下列命题，其中正确的有（ ） A.空间中任意两个向量一定共面 B.若空间向量，则与的夹角为钝角 C.若是空间的一个基底，则中任意两个向量不共线 D.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10.已知等差数列的前项和分别为，则下列结论正确的有（ ） A.若，则为常数列 B.若，则为常数列 C.若，则 D.若，则是递增数列 11.在平面直角坐标系中，圆锥曲线可以用方程来表示，图形的几何性质被方程的系数所确定.曲线的方程是依赖于坐标系的，而方程所表示的曲线的几何性质是不依赖于坐标系的，所以表示这些几何性质的量，如圆锥曲线的离心率，焦距等，不会由于直角坐标系的位置变化而变化.已知某圆锥曲线的方程为是曲线上任意一点，则（ ） A.该曲线关于坐标原点对称 B.的取值范围是 C.该曲线是双曲线，离心率为 D.该曲线是椭圆，离心率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知公比不为的等比数列满足，则正整数的值为__________. 13.已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，，则的面积的最大值为__________. 14.在正方体中，点是线段上的一点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16.（15分） 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上. （1）求圆的方程； （2）设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为，使得为正三角形，求点的坐标. 17.（15分） 如图，在四棱锥中，，是的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18.（17分） 已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交圆于点，直线垂直，且交于点，交于点.记的面积分别为. （i）若，求的取值范围； （ii）是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19.（17分） 已知数列，定义和的“生成数列”为：，，其中表示和两个数中较小的数；定义和的“生成点列”为：. （1）若，求的值及线段的长； （2）若，求的所有可能值； （3）若，求的最大值，并求出此时所有可能的数列与. 2024学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案 高二年级数学学科 命题：嘉兴一中 金华一中 审核：玉环中学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 6.A 7.D 8.C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.ACD 10.ACD 11.AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.23 13.2 14. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（1）当时，， 当时，，符合上式， 所以； （2）由（1）可知，， 所以 16.（1）曲线与坐标轴的交点为 由题意可设的圆心坐标为， 所以，解得， 所以圆的方程为. （2）由题意得，在中，， 设，则，解得或， 所以点的坐标为或. 17.（1）取中点，连接，由条件可知，是的中位线， 所以，又因为，所以， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面； （2）取中点，连接，由条件可知，在等腰直角三角形中，， 在直角梯形中，，由，故， 又因为平面， 所以平面， 如图以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的一个法向量为，则得 取， 设平面的一个法向量为，则得 取， 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18.（1）由题意知：，解得，故，所以椭圆的方程为. （2）（i）由题可知是的中点，即，且， 易知，故，故是的中点. ①当时，易知，此时； ②当时，由得，由条件可知， 故直线的方程为：， 由直线过点，故. 由可知得，又，故， 此时令，则，当时，单调递减，故. 综上，取值范围是. （ii）由题得， 由（i）可知，故， 所以，当，即为定值3. 19.（1）由题可知，， ，所以. （2）若，则， 若，则 综上：的可能取值为21或19. （3）当时，， 所以， ， 即， 故是下述“”型折线中的各数之和的最小值. 下面尝试寻求的最大值，为了使得和尽量的大，上述“”型折线应该尽量经过较大的数字，故我们可以尝试下述填法： 20 12 12 12 此时不难进一步得到下述填法： 20 12 6 2 12 12 10 1 7 12 下面我们证明58是的最大值，设存在某种填法，使得， 情形一：若，则，矛盾，从而； 情形二：，则，此时填法如下 20 12 从而，所以，所以， （1）若填法为 20 12 12 12 则，所以，所以， 故填法如下： 20 12 12 12 12 10 则，所以，矛盾，舍； （2）若填法为 20 12 12 10 同（1）可知此时不成立，舍； 综上，的最大值为58，且所有可能的填法如下： 20 12 6 2 12 20 12 6 12 2 20 12 12 6 2 12 10 1 7 12 12 10 1 12 7 12 12 10 1 7 即取到最大值的如下： ①， ②， ③. 学科网（北京）股份有限公司 $$