精品解析：江苏省扬州市高邮市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中学业质量监测试题 九年级数学 2024.11 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】比例的性质，，则，由此性质对比例式变形即可． 【详解】解： 、由， 可得，故本选项正确，不符合题意； 、，可得，故本选项错误，符合题意； 、由， 可得，故本选项正确，不符合题意； 、由， 可得，故本选项正确，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质:内项积等于外项积，利用性质对比例式进行变形是解题的关键． 2. 某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲，乙，丙，丁名同学三次数学成绩的平均分都是分，方差分别是，，，，则这名同学三次数学成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据方差越小，数据越稳定即可判断求解，理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴丁的方差最小， 即丁的数学成绩最稳定， 故选：． 3. 在下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断一元二次方程，从三个方面：①含有一个未知数；②未知数的最高次数是二次；③是一个整式方程；结合选项逐项验证即可得到答案，熟记一元二次方程定义“含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程”是解决问题的关键． 【详解】解：A、是多项式，不是方程，不符合题意； B、变形为，是一元二次方程，符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、中含有分式部分，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，三个正方形的边长分别为1、3、5，若在该图形中进行撒豆子试验，则豆子落在阴影区域中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的求解方法是解题的关键：有些可能的结果没法一一统计，例如雨点落在地砖上的位置、转盘上指针最后停下的位置等，这时我们可以借助几何图形的面积或线段的长度来计算：此时，事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．在数学上，这些问题的概率又称为几何概率． 按照几何概率的求解方法求解即可． 【详解】解：豆子落在阴影区域中的概率， 故选：． 5. 如图，直线，直线、与，分别相交于点、、和、、．已知，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求得，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ∴， 故选：A． 6. 如图，是上的点，且．在这个图中，仅用无刻度的直尺画出下列度数的圆周角：，能画出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，作直径，连接，如图所示，利用圆内接四边形的性质得到，利用圆周角定理得到，根据互余可计算出．掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解本题的关键． 【详解】解：作直径，连接，如图所示： ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴． 故选：D． 7. 若关于x的方程的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程的两根之积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．利用换元的思想是解决问题的关键．先把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于x的方程的两根为得到，然后利用根与系数的关系得到结论． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于x的方程的两根为， 则方程的两根为， ∵关于x的方程的两根之和是m，两根之积是n， ， ． 故选：C． 8. 如图，矩形是由①、②、③三种型号的直角三角形卡纸各2块拼成的，每块卡纸互不重叠也无缝隙，已知直角三角形卡纸①、②、③都相似，且①与②，②与③的相似比都为k，若直角三角形卡纸①、②、③的面积分别为a、b、c，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，利用相似三角形的性质求出各个线段的长是解题的关键．由相似三角形的性质可求的长，列出方程可求的值，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵①与②，②与③的相似比都为， ∴， ∵， ∴， ， 又∵， ， ， 又，即， ， ， ， ，， ， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 《义务教育课程标准（2022年版）》明确规定把学生学会炒菜纳入了劳动教育课程．若九（2）班第一小组5名学生会炒菜的种数依次为：4，3，2，5，2，则这组数据的中位数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查中位数的求法，将一组数据按照从大到小（从小到大）的顺序排列后，处于中间位置的数就是这组数据的中位数，把4，3，2，5，2按照从小到大的顺序排序为2， 2，3，4，5，则由中位数的求法可知，中间位置的数为3，即可得到答案，熟记中位数的求法是解决问题的关键． 【详解】解：将4，3，2，5，2按照从小到大的顺序排序为2， 2，3，4，5， 这组数据的中位数是3， 故答案为：3． 10. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故答案为：． 11. 若点在的内部，，则的半径可能是_______．（填上一个符合要求的数字） 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系的判定方法进行求解即可． 【详解】解∶∵点在的内部，， ∴的半径大于4． 故答案为∶5（答案不唯一）． 12. 如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形． 球的半径为， 瓶内液体的最大深度， 则截面圆中弦的长为_____________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【详解】解：在中，设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：16． 14. 如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的应用，设树的高度为m，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设树的高度为，由题意得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴树的高度为， 故答案为：． 15. 如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 _______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及正多边形内角和的计算，掌握正六边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正六边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由四边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是正六边形的内切圆，分别切于点， ， 是正六边形， ， ， ， 故答案为：30． 16. 如图，P是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．则________．（填“”、“”、“”号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 根据黄金分割的定义得到，再利用正方形和矩形的面积公式有，，即可得到． 【详解】解：∵P是线段的黄金分割点，且， ∴， 又∵表示以为一边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积 ∴，， ∴． 故答案为：． 17. 如图，P为的内心，经过点P的线段分别与相交于点D、点E．若，，则点P到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，角平分线的性质，连接，过P作于H，于G，根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，过P作于H，于G， ∵P为的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点P到的距离为， 故答案为：． 18. 如图，已知点A、B的坐标分别为、，点P为坐标平面内的一个动点，若，点Q为线段的中点，连接，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取中点，连接，，由点A、B的坐标可得，，由勾股定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由三角形的中位线定理可得，由三角形三边之间的关系可得，于是得解． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接，， 点A、B的坐标分别为、， ，， 由题意可知：， ， 是中点， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ， ， 的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系等知识点，作辅助线构造，由三角形三边之间的关系得出是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. 某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”．下表是小明和小勇两位同学某学科的成绩． 学生 平时作业/分 期中检测/分 期末考试/分 小明 90 76 89 小勇 92 80 94 （1）若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算小明的学期综合评价成绩； （2）若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按的比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小勇该学科能否被评为“优秀”． 【答案】（1）小明的学期综合评价成绩为85分； （2）小勇该学科不能被评为“优秀”． 【解析】 【分析】本题主要查了求加权平均数和算术平均数： （1）把小明的三次成绩相加，再除以3，即可求解； （2）根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：分， 即小明的学期综合评价成绩为85分； 【小问2详解】 解：， 所以小勇该学科不能被评为“优秀”． 21. 某校组织学生到天乐湖实践基地参加劳动实践活动．该基地有以下四个项目：A．种玉米，B．除草，C．采茶叶，D．包饺子，学生随机选择（每个学生必须选择一个，而且只能选择一个）． （1）甲同学从四个项目中随机选取一个，选到A项目的概率为 ； （2）用列表法或画树状图法求乙同学与丙同学都选到D项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到A项目的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及乙同学与丙同学都选到D项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到A项目的结果有1种， ∴选到A项目的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中乙同学与丙同学都选到D项目的结果有1种， ∴乙同学与丙同学都选到D项目的概率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出的外心，点的坐标为________； （2）在平面直角系中，以点为位似中心，在轴上方作出的位似，且与位似比为； （3）若将扇形做成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为________． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】（）分别作线段的垂直平分线，相交于点，点即为所求，进而根据图形可写出点的坐标； （）根据位似图形的性质作图即可； （）根据勾股定理及其逆定理可得，即可得的长，进而可得底面半径． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求，由图可得，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：由勾股定理得，，，， ∴， ∴， ∴的长为， 设该圆锥的底面半径为， 则， 解得， ∴该圆锥的底面半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外心，坐标与图形，作位似图形，勾股定理及其逆定理，弧长公式，掌握以上知识点是解题的关键． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根； （2）已知的一边为3，另两条边的长恰好是该方程的两个根，求a的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或或或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）首先求出方程的解为，，然后根据题意分两种情况讨论，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵ ∴无论a取任何实数，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴或 解得， ∵的一边为3，另两条边的长恰好是该方程的两个根， ∴当3是斜边时， 解得； 当是斜边时， 解得； 综上所述，或或或． 24. 如图，已知在中，，，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． （1）当________时与相似； （2）当的面积等于时，求t的值． 【答案】（1）或 （2）或3 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，根据题意表示出，分当时，当时，两种情况讨论即可； （2）过点P作于点D，证明，求出， 再根据，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∵， ∴， 设运动时间为t秒，则， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得： ∴秒或秒后，与相似； 【小问2详解】 解：如图，过点P作于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴ 解得或3． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 25. 如图，已知中，，以为直径作，交与点，过点作交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）与相切， 理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、全等三角形的判定和性质、圆周角定理、求不规则图形面积、扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定定理、不规则图形面积求法是解题的关键． （1）连接，如图所示，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 26. 定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． （1）下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； （2）若方程是“同步方程”，求的值； （3）若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 【答案】（1）①② （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握新定义，正确应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据新定义同步方程的概念，逐一验证三个方程，得到结果； （2）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到，从而得到a的值； （3）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到结果． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ②∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是“同步方程”， 故答案为：①②； 【小问2详解】 解：∵是“同步方程”， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故或； 【小问3详解】 解：∵为“同步方程”， ∴，， ∴， ∴． 27. 如图，正方形中，点在的延长线上，且，点为边上的一个动点，连接交于点，连接交点． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若． ①求证：； ②求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； （2） ①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点. 【解析】 【分析】（）根据正方形的形性质可得，即得，进而由，可得，即可求证； （）①由得，进而可得，得到，再根据线段垂直平分线的性质得，得到，由平行线的性质得，即得到，即可证，即可求证；②由得，即可得，进而由得到，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，黄金分割点等，掌握以上知识点是解题的关键． 28. 如图，在中，，，，点P是斜边上的一个动点，过点C、P的⊙O分别交直角边于点M、N，连接． （1）当点P运动到的位置时． ①如图1，若⊙O与相切，则线段MN的长为________； ②如图2，连接，若，求线段的长； （2）如图3，若点P运动到的中点时，则线段的最小值为________；线段的最大值为________； （3）在点P的运动过程中，线段的取值范围为________． 【答案】（1）①，②5 （2）5， （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）①根据切线的性质可得：是⊙O的直径，则，根据三角形的面积公式即可得解； ②如图2，由①可知，是⊙O的直径，证明是的中位线，即可解答； （2）当是直径时，的值最小，当在边上时，的值最大，即可解答； （3）在点P的运动过程中，要求的取值范围，就是求的最大值和最小值，由（2）得：当是直径时，的值最小，当在边上时，的值最大，即可解答； 【小问1详解】 ①∵⊙O与相切， ∴是⊙O的直径， ∴是⊙O的直径 故答案为： ②如图2，由①可知，是⊙O的直径， 是中位线， 【小问2详解】 ∵点P运动到的中点，， ， 如图3，当是直径时，的值最小，此时, 如图4，当M与C重合时，的值最大，此时为直径，连接, , 过点P作于Q， ∵， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， ， 综上，线段的最小值为5，线段的最大值为； 故答案为：5， 【小问3详解】 当点P与A重合时，的值最大，此时M与C重合，N与A重合，此时 ∴线段的取值范围为： 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学业质量监测试题 九年级数学 2024.11 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲，乙，丙，丁名同学三次数学成绩的平均分都是分，方差分别是，，，，则这名同学三次数学成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 在下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三个正方形的边长分别为1、3、5，若在该图形中进行撒豆子试验，则豆子落在阴影区域中的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线、与，分别相交于点、、和、、．已知，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 如图，是上的点，且．在这个图中，仅用无刻度的直尺画出下列度数的圆周角：，能画出的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程的两根之积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形是由①、②、③三种型号的直角三角形卡纸各2块拼成的，每块卡纸互不重叠也无缝隙，已知直角三角形卡纸①、②、③都相似，且①与②，②与③的相似比都为k，若直角三角形卡纸①、②、③的面积分别为a、b、c，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 《义务教育课程标准（2022年版）》明确规定把学生学会炒菜纳入了劳动教育课程．若九（2）班第一小组5名学生会炒菜的种数依次为：4，3，2，5，2，则这组数据的中位数是________． 10. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 11. 若点在的内部，，则的半径可能是_______．（填上一个符合要求的数字） 12. 如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 13. 如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形． 球的半径为， 瓶内液体的最大深度， 则截面圆中弦的长为_____________． 14. 如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为______． 15. 如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 _______． 16. 如图，P是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．则________．（填“”、“”、“”号） 17. 如图，P为的内心，经过点P的线段分别与相交于点D、点E．若，，则点P到的距离为______． 18. 如图，已知点A、B的坐标分别为、，点P为坐标平面内的一个动点，若，点Q为线段的中点，连接，则的最大值为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”．下表是小明和小勇两位同学某学科的成绩． 学生 平时作业/分 期中检测/分 期末考试/分 小明 90 76 89 小勇 92 80 94 （1）若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算小明的学期综合评价成绩； （2）若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按的比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小勇该学科能否被评为“优秀”． 21. 某校组织学生到天乐湖实践基地参加劳动实践活动．该基地有以下四个项目：A．种玉米，B．除草，C．采茶叶，D．包饺子，学生随机选择（每个学生必须选择一个，而且只能选择一个）． （1）甲同学从四个项目中随机选取一个，选到A项目的概率为 ； （2）用列表法或画树状图法求乙同学与丙同学都选到D项目的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出的外心，点的坐标为________； （2）在平面直角系中，以点为位似中心，在轴上方作出的位似，且与位似比为； （3）若将扇形做成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为________． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根； （2）已知的一边为3，另两条边的长恰好是该方程的两个根，求a的值． 24. 如图，已知在中，，，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． （1）当________时与相似； （2）当的面积等于时，求t的值． 25. 如图，已知中，，以为直径作，交与点，过点作交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 26. 定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． （1）下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； （2）若方程是“同步方程”，求的值； （3）若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 27. 如图，正方形中，点在的延长线上，且，点为边上的一个动点，连接交于点，连接交点． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若． ①求证：； ②求证：点是线段的黄金分割点． 28. 如图，在中，，，，点P是斜边上的一个动点，过点C、P的⊙O分别交直角边于点M、N，连接． （1）当点P运动到的位置时． ①如图1，若⊙O与相切，则线段MN的长为________； ②如图2，连接，若，求线段的长； （2）如图3，若点P运动到的中点时，则线段的最小值为________；线段的最大值为________； （3）在点P的运动过程中，线段的取值范围为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $