精品解析：辽宁省大石桥市第二初级中学2024-2025学年八年级上学期期中质量测试数学试卷

八年级数学期中考试卷 试卷总分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C.   D.   2. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 7cm B. 9cm C. 12cm或者9cm D. 12cm 3. 如果点和点关于轴对称，则的值是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 0 4. 元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 5. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用一条宽相等足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（　　　） A. 90° B. 108° C. 120° D. 135° 8. 电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于( ) A. B. C. D. 9. 表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、（，，）表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数；②；③的最小值是36；其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 如图，点P、Q分别是边长为4cm等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( ) A 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题3分） 11. ()2 016×(－1.25)2 017 =_______________. 12. 如图，已知在中，，，是过点A的直线，，，垂足分别是D、E，若，，则____． 13. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是________边形． 14. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 15. 如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是___________． 三、解答题 16. 计算： （1） （2）先化简，再求值，，其中，． 17. 图1是一个平分角仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于轴对称的的各顶点坐标； （2）请画出关于轴对称的； （3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标______． 19. 阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图3中的证明； （2）如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； （3）如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 20. 如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． 求证：．     21. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 22. 【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 23. 阅读与思考 （1）【特例呈现】 如图1所示，数学活动课上，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．请利用图2证明这个命题． 已知：如图2，在等腰中，，点为中点，于点，于点． 求证：． （2）【一般探索】 在动手操作探究过程中，小明又发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形外部一点，满足点到等腰三角形的两顶点的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图3所示．请补全已知，并证明． 已知：在等腰中，，于点，于点， ． 求证：． （3）【问题拓展】 小明继续探究：利用已有学习经验，尝试改变条件和结论位置，提出猜想：对于平面上的一点，若满足点到一个三角形的两顶点的距离相等，且点到边所在直线的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．小明认为这个猜想一定成立，但他的同学小强认为这个猜想不一定成立，你同意谁的想法？若同意小明的想法，请画图并说明理由；若同意小强的想法，请画出反例． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学期中考试卷 试卷总分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C.   D.   【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．该图是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 7cm B. 9cm C. 12cm或者9cm D. 12cm 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，分别从若2cm为腰长，5cm为底边长与若2cm为底边长，5cm为腰长去分析求解即可求得答案． 【详解】若2cm为腰长，5cm为底边长， ∵2+2=4＜5，不能组成三角形， ∴不合题意，舍去； 若2cm为底边长，5cm为腰长， 则此三角形的周长为：2+5+5=12cm． 故选D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用． 3. 如果点和点关于轴对称，则的值是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵和点关于x轴对称， ∴，， 则． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 4. 元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【详解】解：3名同学站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人的距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 5. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定理或定理即可得． 【详解】解：在和中，已有， 要使，只需增加一组对应边相等或对应角即可， 即需增加的条件是， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选择：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 6. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 7. 如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（　　　） A. 90° B. 108° C. 120° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案． 【详解】解：正五边形的内角和=， ∴∠BAE=， 故选：B． 【点睛】此题考查正多边形内角和公式及求正多边形一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键． 8. 电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意及幂的运算法则即可求解． 【详解】依题意得= 故选A． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则． 9. 表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、（，，）表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数；②；③的最小值是36；其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法、单项式乘以单项式，数字类规律探究，理解题意是解答的关键．先根据前几个变化规律得到，再逐一分析各说法即可求解． 【详解】解：由题意，第一组数组为， 第二组数组为， 则第三组数组为，第四组数组为， ， ， ， ， ， 此次类推，n为正数， ， 为正整数， 为偶数，故①不符合题意； ， ， ，故②不符合题意； ，n为正整数，表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组， 当，时最小， 的最小值为，故③符合题意， 故选：B． 10. 如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ． ②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP； ③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°； ④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论． 【详解】①在等边△ABC中，AB=BC． ∵点P、Q的速度都为1cm/s， ∴AP=BQ， ∴BP=CQ． 只有当CM=CQ时，BP=CM． 故①错误； ②∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA， 又∵点P、Q运动速度相同， ∴AP=BQ， 在△ABQ与△CAP中， ∵， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）． 故②正确； ③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变． 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP， ∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°． 故③正确； ④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm， 当∠PQB=90°时， ∵∠B=60°， ∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=， 当∠BPQ=90°时， ∵∠B=60°， ∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=， ∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形． 故④正确． 正确的是②③④， 故选C． 【点睛】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题3分） 11. ()2 016×(－1.25)2 017 =_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可. 【详解】原始= 故填：. 【点睛】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算法则是关键. 12. 如图，已知在中，，，是过点A的直线，，，垂足分别是D、E，若，，则____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据，得，根据证， 可求得，，再利用线段的和差可求得． 详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定与性质，解题的关键时掌握并灵活运用这些知识点． 13. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是________边形． 【答案】6##六 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和定理的应用，根据边形内角和定理，列方程解答即可，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为，由内角和公式可得： ， ， 故答案为：6． 14. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 15. 如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有 ，此时， ∴， 此时只有， ∴， ，此时， ∴， 此时只有， ∴； ，此时，， ∴， 此时只有， ∴； 综上所述，度数可以为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 16. 计算： （1） （2）先化简，再求值，，其中，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 当，时，原式． 17. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【小问1详解】 解：是的平分线 理由如下：在和中，， ∴ ∴， ∴平分． 【小问2详解】 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于轴对称的的各顶点坐标； （2）请画出关于轴对称的； （3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标______． 【答案】（1）点，， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求解即可； （2）根据轴对称的性质，画出； （3）画出，连接，与轴的交点即为所求． 【小问1详解】 解：与关于轴对称， 点，，． 【小问2详解】 如图，即为所求． 【小问3详解】 如图，点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 19. 阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图3中的证明； （2）如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； （3）如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）由题意知，是等边的对称轴，如图1，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； （3）由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据，即，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； 【小问2详解】 解：∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 20. 如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． 求证：．     【答案】证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．由得到，根据得到，则，由，得到，即可证明，得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 【答案】（1）30°；（2）4． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形性质即可求解． 【详解】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 【点睛】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含30°角的直角三角形的性质． 22. 【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析（3）的最小值是3 【解析】 【分析】（1）对称的性质得到，，，，，推出，设，等边对等角，三角形外角的性质，推出即可； （2）采用小明的方法：连接，易得是等边三角形，证明是等边三角形，推出，即可得出结论． （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，垂直平分线的性质，角平分线平分角，推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，取得最小值为的长，进一步求出结果即可． 【详解】（1）∵A、E两点关于l对称 ∴，，，，， ∵， ∴， 设，则 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，此时取得最小值； ∵点E在垂直平分线上 ∴． ∴ ∵BD平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 当C、D、H三点共线时最短，此时 中， ∴ ∴的最小值是3． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．综合性强，难度较大，属于压轴题，掌握相关知识点，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 23. 阅读与思考 （1）【特例呈现】 如图1所示，数学活动课上，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．请利用图2证明这个命题． 已知：如图2，在等腰中，，点为中点，于点，于点． 求证：． （2）【一般探索】 在动手操作探究过程中，小明又发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形外部一点，满足点到等腰三角形的两顶点的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图3所示．请补全已知，并证明． 已知：在等腰中，，于点，于点， ． 求证：． （3）【问题拓展】 小明继续探究：利用已有学习经验，尝试改变条件和结论位置，提出猜想：对于平面上的一点，若满足点到一个三角形的两顶点的距离相等，且点到边所在直线的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．小明认为这个猜想一定成立，但他的同学小强认为这个猜想不一定成立，你同意谁的想法？若同意小明的想法，请画图并说明理由；若同意小强的想法，请画出反例． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分的性质或证明即可求解； （2）运用垂直平分线的性质或全等三角形的判定和性质即可求解； （3）运用直角三角形的斜边直角边的判定方法进行证明即可． 【小问1详解】 证明方法一：如图所示，连接， 点为中点， ， ， 为的角分线， ，， ； 方法二：， ， ， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 证明：方法一：如图所示，连接， 当时， ，， ∴， ∴， 点在的垂直平分线上， ，， ， 故答案为：，证明方法如上； 方法二：由（1）得，， 当时， ， ，， ， 在和中， ， ， ∴， 故答案为：，证明方法如上． 【小问3详解】 解：同意小强的想法，证明如下， 如图所示，点是外的一点，，于点，延长线于点，且， ∴在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∴，即不是等腰三角形， ∴小强的想法是对的，即同意小强的想法． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$