精品解析：湖南省汨罗市新市教育集团2024-2025学年九年级上学期第三次核心素养监测数学试题

2024年下期新市集团第三次核心素养检测 九年级数学科 时量：120分钟总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 关于反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A. 它的图象分布在第一、四象限 B. 它的图象过点 C. 当时，的值随的增大而增大 D. 当时，的值随的增大而减小 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 4. 下列说法中正确的是（ ）． A. 想了解某河段的水质，宜采用全面调查 B. 想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查 C. 数据1，1，2，2，3的众数是3 D. 一组数据的波动越大，方差越小 5. 已知中，，，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. k≥2 B. k≥﹣2 C. k＞﹣2且k≠0 D. k≥﹣2且k≠0 8. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，，那么的余弦值是 ___________． 12. 某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则在这300个灯泡中估计有_____个为不合格产品． 13. 关于的方程有两个相等的实数根，是一个锐角，则_____. 14. 如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为__________． 15. 如图，在东西方向的海岸边上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行____海里． 16. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线平行于轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是_____. 三.解答题（第17-19题每题6分，第20.21题8分，第22.23题9分，第24.25题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1） （2） 19. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果这个方程的两个根为、，且，求的值． 21. 第七届全国学生“学宪法、讲宪法”活动开展以来，全国各地师生积极响应．某校为了解本校学生对宪法知识的了解情况，对八年级学生进行了知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表： 分数段 频数 频率 9 a 36 0.4 27 0.3 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）表中___________，___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）根据以上数据，如果90分以上（含90分）为优秀，若该学校八年级学生有900名，请你估算一下该学校八年级学生成绩优秀的人数． 22. 如图，反比例函数和一次函数的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为，过点A作轴于点B，的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求的度数． （3）当时，x的取值范围为______________． 23. 某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346） 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为____________； （2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式． ①当x为多少时？销售总利润达到10000元． ②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形中，点 E、 F分别是 、上的两点，连接、 ，，则的值为 ； 【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接、 ，且，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，点E为 上一点，连接，过点 C作的垂线交的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期新市集团第三次核心素养检测 九年级数学科 时量：120分钟总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 关于反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A. 它的图象分布在第一、四象限 B. 它的图象过点 C. 当时，的值随的增大而增大 D. 当时，的值随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质．反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大；根据这个性质选择则可． 【详解】解：反比例函数中， 该函数图象位于二、四象限，故选项A不符合题意； 当时，，即它的图象过点，故选项B不符合题意； 当时，的值随的增大而增大，故选项C符合题意； 当时，的值随的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 3. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键． 4. 下列说法中正确的是（ ）． A. 想了解某河段的水质，宜采用全面调查 B. 想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查 C. 数据1，1，2，2，3的众数是3 D. 一组数据的波动越大，方差越小 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据全面调查和抽样调查的定义，众数的定义，方差的性质进行判断即可． 【详解】解：A、想了解某河段的水质，宜采用抽样调查，故本选项不正确，不符合题意； B、想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查，故本选项正确，符合题意； C、数据1，1，2，2，3的众数是1和2，故本选项不正确，不符合题意； D、一组数据的波动越大，方差越大，故本选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全面调查和抽样调查，方差，众数，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 5. 已知中，，，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义和勾股定理，根据勾股定理先算出，再根据三角函数的定义分别得到答案即可；解决此题的关键是要熟练应用三角函数的定义． 【详解】解：中，， ∵，， ∴， ∴，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 6. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 又点在函数的图象上，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 7. 若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. k≥2 B. k≥﹣2 C. k＞﹣2且k≠0 D. k≥﹣2且k≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据当时，方程是一元一次方程有实数根，当时，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，然后求出两不等式组的公共部分，两种情况合并即可． 【详解】解：根据题意得：①当时，方程是一元一次方程，此时﹣4x﹣2＝0，方程有实数解； ②当时，此方程是一元二次方程，可得 k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0， 解得k≥-2且k≠0． 综上，当时，关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 8. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 9. 我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．首先表示出四月份借出图书本，五月份借出图书本，然后根据四、五月份共借出图书本列出方程即可． 【详解】解：设四、五月份借出的图书每月平均增长率为，则四月份借出图书本，五月份借出图书本， 根据题意列出的方程是， 故选：B． 10. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可. 【详解】解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线， ∴∠MBC＝∠C =45°,BM=AM=MC ∵DB＝DE, ∴∠DBE＝∠DEB 即∠DBM+45°＝∠CDE+45°. ∴∠DBM＝∠CDE. ∵EF⊥AC, ∴∠DFE＝∠BMD=90° 在△BMD和△DFE中 ∴△BMD≌△DFE 故①正确. 由① 可得∠DBE＝∠DEB，∠MBC＝∠C ∴△NBE∽△DCB， 故②错，对应字母没有写在对应的位置上. ∵△BMD≌△DFE， ∴BM=DF, ∵BM=AM=MC， ∴AC=2BM, ∴AC＝2DF. 故③正确 易证△EFC∽△ABC,所以=, ∴EFAB＝CFBC 故④正确 故选C. 【点睛】本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质， 掌握基础知识是解题的关键. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，，那么的余弦值是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦值等于锐角的邻边比斜边即可求得． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余弦的定义，熟记余弦的定义是解题的关键． 12. 某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则在这300个灯泡中估计有_____个为不合格产品． 【答案】 【解析】 【分析】先求解样本的频率，再利用样本估计总体即可得到答案. 【详解】解： 从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格， 样本的频率 这300个灯泡中估计有（个）， 故答案为： 【点睛】本题考查的是频率的计算，利用样本估计总体，掌握利用样本估计总体是解题的关键. 13. 关于的方程有两个相等的实数根，是一个锐角，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，特殊三角函数值．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，由特殊三角函数值即可求解此题． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵是锐角， ∴． 故答案为：． 14. 如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为__________． 【答案】1：9 【解析】 【详解】分析：根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9，问题得解． 详解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵AD：DB=1：2， ∴AD：AB=1：3， ∴S△ADE：S△ABC=1：9． 故答案为1：9． 点睛：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 15. 如图，在东西方向的海岸边上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行____海里． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于，根据平行线的性质得出，，根据甲船速度可求出的长，利用的余弦函数可求出的长，利用的余弦函数求出即可得答案；本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键． 【详解】如图，过点作于， ∴， ∴，， ∵甲货以4海里/小时的速度，行驶2小时， ∴， ∴， ∴， ∴乙货船每小时航行（海里）， 故答案为： 16. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线平行于轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是_____. 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义．用反比例函数比例系数k的代数式分别表示的面积，利用求解即可． 【详解】解：如图设与y轴交于点C， 由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 三.解答题（第17-19题每题6分，第20.21题8分，第22.23题9分，第24.25题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，特殊三角函数值，零指数幂，负指数幂等知识点，解决此题的关键是要熟练运用特殊三角函数值． 根据运算顺序，先去绝对值，算负指数幂的结果，零指数幂的结果，代入特殊三角函数值，逐一得到结果即可． 【详解】原式， ， ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（1）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． （1）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答； （2）根据因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 令或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 令或， 解得：，． 19. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果这个方程的两个根为、，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再代入化简可得一个关于的方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， 这个方程根的判别式， 解得． 【小问2详解】 解：方程的两个根为、， ， ， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题关键． 21. 第七届全国学生“学宪法、讲宪法”活动开展以来，全国各地师生积极响应．某校为了解本校学生对宪法知识的了解情况，对八年级学生进行了知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表： 分数段 频数 频率 9 a 36 0.4 27 0.3 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）表中___________，___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）根据以上数据，如果90分以上（含90分）为优秀，若该学校八年级学生有900名，请你估算一下该学校八年级学生成绩优秀的人数． 【答案】（1），18 （2）见解析 （3）该学校八年级学生成绩优秀的人数约为180人． 【解析】 【分析】（1）根据已知频数和频率的分数段即可计算调查的总人数，然后根据某个分数段的频率计算该分数段的频数，或者根据频数计算频率； （2）根据表中数据绘制条形图即可； （3）使用样本中的优秀率估计总体学生的优秀人数即可． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：（人）， ∴，， 故答案为；18； 【小问2详解】 解：补全的频数分布直方图如下图所示， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴该学校八年级学生成绩优秀的人数约为180人． 【点睛】本题主要考查频数分布表，频数以及频率的定义，理解样本与总体、频数与频率之间的区别与联系是求解本题的关键． 22. 如图，反比例函数和一次函数的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为，过点A作轴于点B，的面积为1． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求的度数． （3）当时，x的取值范围为______________． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由的面积为1，点A的横坐标为1，求点A的纵坐标，确定反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求D点坐标，利用“两点法”求一次函数解析式； （2）由一次函数解析式求C点坐标，再求，在中，求的值，再求的度数； （3）当时，的图象在的上面，由此求出x的取值范围． 【小问1详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 把A点坐标代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， 设直线解析式为， 将A、D两点坐标代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 由直线可知，， 则，， ∴在中，， ∴； 【小问3详解】 由图象可知，当时，x的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数比例系数k的几何意义，解直角三角形，解题关键是由已知条件求交点坐标，根据交点坐标求反比例函数、一次函数的解析式，利用解析式，形数结合解答题目的问题． 23. 某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346） 【答案】中原福塔CD的总高度约为389m． 【解析】 【分析】设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，从而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用锐角三角函数，可得到tan∠DEC=，即可求解． 【详解】解：如图，设AC为xm，则CD=（x+120）m， 在Rt△ACB中，∠ABC=45°， ∴BC=AC=x， ∴CE=x+20， 在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°， 即≈1.346， 解得：x≈269.0， ∴CD=x+120=389.0≈389米， 答：中原福塔CD的总高度约为389m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键． 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为____________； （2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式． ①当x为多少时？销售总利润达到10000元． ②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 【答案】（1）； （2）①，；②当时，销售总利润达到最大，最大总利润． 【解析】 【分析】（1）设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量,即可得出关于y的二次函数； ①令，解之取其正值即可； ②利用二次函数的最值求解即可. 【详解】解：（1）； （2）①由题意可得：， 令，即 ， 解得，. ∴当x为10或者40时，销售总利润达到10000元； ②， ∴当时，取得最大总利润， 此时 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、得到二次函数关系式是解题的关键. 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形中，点 E、 F分别是 、上的两点，连接、 ，，则的值为 ； 【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接、 ，且，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，点E为 上一点，连接，过点 C作的垂线交的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求的值； 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到； （2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值． （3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进幼儿可求出． 【详解】（1）设与的交点为G， ∵四边形正方形，， ， ， ， ，， ． 在和中 ， ， ， ． 故答案为：1 （2）∵四边形是矩形， ， ， 则， ， ∴． （3）如图，过点F作， 则，， ， ∴四边形是矩形, ， 又， ， 则, ， ， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质等知识．采用类比的数学思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $