精品解析：新疆维吾尔自治区和田地区墨玉县2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

墨玉县2024-2025学年第一学期第二次月考试卷 九年级数学科目 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的根，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 长度相等两条弧是等弧 B. 直径是同一个圆中最长的弦 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 过三点能确定一个圆 6. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径，截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 6 7. 国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富道路．某地区2018年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2020年底贫困人口减少至1万人．设2018年底至2020年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到′′，边′′与交于点（′不在上），则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 已知：如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=130°，过D点的切线PD与直线AB交于P点，则∠ADP的度数为（     ） A. 45° B. 40° C. 50° D. 65° 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0)．下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是( ) A. ①②④ B. ③④ C. ①③④ D. ①② 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则c的值是______． 12. 在中，圆心O在坐标原点上，半径为6，点P的坐标为，则点P在______（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）． 13. 已知点与点关于原点对称，则_____． 14. 如图，圆锥底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于________．（结果保留π） 15. 如图，是⊙O的直径，弦交于点E，，，则的度数为________． 16. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式_________________________________． 三、解答题（本题共5小题，共52分） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 关于一元二次方程． （1）求证：不论取何值，此方程总有两个实根； （2）若此方程的两个根互为相反数，求的值． 19. 如图，四边形是内接于，是直径，的延长线与相交于点P，其中，． （1）求证：是切线； （2）若点D是圆弧的中点，则________． 20. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． （1）请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）怎样围才能使矩形场地的面积为？ （3）当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？ 21. 综合与探究 问题情境：如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接． （1）探究发现：证明：无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上； （2）探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明； （3）探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 墨玉县2024-2025学年第一学期第二次月考试卷 九年级数学科目 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可； 【详解】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 若是一元二次方程的根，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入一元二次方程即可得到答案. 【详解】解： 是一元二次方程的根， 故选： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解使方程的左右两边相等是解题的关键. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k的性质解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h，k)，对称轴是x=h． 4. 把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据二次函数图象平移的方法即可得出结论． 【详解】解：把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 平移后抛物线的解析式为． 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 直径是同一个圆中最长的弦 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 过三点能确定一个圆 【答案】B 【解析】 【分析】根据等弧的定义，弦的定义分别判断即可； 【详解】在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故A错误； 直径是同一个圆中最长的弦，故B正确； 此弦不能是直径，故C错误； 三点不能共线，故D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理及推论，准确理解相关定义是解题的关键． 6. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径，截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（ ） A 16 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出BC的长，进而可得出答案． 解答：∵截面圆圆心O到水面的距离OC是6， 【详解】∴OC⊥AB， ∴AB=2BC， 在Rt△BOC中，OB=10，OC=6， ∴BC===8， ∴AB=2BC=2×8=16． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，作OC⊥AB，构建直角三角形是解题的关键． 7. 国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2018年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2020年底贫困人口减少至1万人．设2018年底至2020年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等量关系为：2018年贫困人口下降率年贫困人口，把相关数值代入计算即可． 【详解】根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键． 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到′′，边′′与交于点（′不在上），则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得′，′，结合三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到′′， ′，′， ′′′． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形外角的性质，熟练掌握旋转和三角形外角的性质进行角度的转化是解题的关键． 9. 已知：如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=130°，过D点的切线PD与直线AB交于P点，则∠ADP的度数为（     ） A. 45° B. 40° C. 50° D. 65° 【答案】B 【解析】 【分析】连接BD，OD，由圆内接四边形的对角互补，AB是直径知∠DAB=180°-∠C=50°，∠ADB=90°，所以可求∠ABD=40°；再根据PD是切线，继而可得到∠ADP=∠ODB，即可得答案． 【详解】连接BD，OD， ∵∠DAB=180°-∠C=50°，AB是直径， ∴∠ADB=90°，∠ABD=90°-∠DAB=40°， ∵PD是切线， ∴∠PDO=90°， ∴∠PDO=∠AOB， ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠OBD=40°， ∴∠ADP=∠BOD=40°． 故选B． 【点睛】本题利用了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0)．下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是( ) A. ①②④ B. ③④ C. ①③④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据二次函数图象开口向下，可得a＜0，由二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，可知c＞0，由对称轴是直线x=，可得，因此可知b=﹣a＞0，即abc＜0．故①正确； 由①中知b=﹣a，可得a+b=0，故②正确； 把（2，0）代入解析式，即4a+2b+c=0．故③错误； 由（-2，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（3，y1），可得y1<y2．故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选A． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则c的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】把代入，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入得：，解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12. 在中，圆心O在坐标原点上，半径为6，点P的坐标为，则点P在______（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆内 【解析】 【分析】先根据两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系． 【详解】解：∵点P的坐标为（4，3）， ∴OP==5， ∵半径为6， 而6＞5， ∴点P在⊙O内． 故答案：圆内． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r． 13. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，先根据关于原点对称的点的坐标特点求出a、b的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点与点关关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】先计算母线长，再根据侧面积等于计算即可． 【详解】∵，高， ∴， ∴侧面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，熟练掌握勾股定理，圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 15. 如图，是⊙O的直径，弦交于点E，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BC，利用圆周角性质求出∠DCB，利用直径所对的圆周角为90°求出∠ACB，利用三角形内角和求出∠ABC，再利用外角的性质可求出； 【详解】解：连接BC，则∠DCB= ∵是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-40°-90°=50° ∴∠AEC=∠ABC+∠ECB=50°+30°=80° 故答案为： 【点睛】本题考查了圆周角的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题关键是灵活运用圆和三角形的性质解决问题． 16. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式_________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵每件衬衫降价2元，商场平均每天可多售出4件， ∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出件， ∵原来每件的利润为40元，现在降价x元， ∴现在每件的利润为元， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共5小题，共52分） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解： 方程化为： ，， ∴ ∴，． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，此方程总有两个实根； （2）若此方程的两个根互为相反数，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（3m＋2）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系和相反数的定义得到3m−2＝0，从而得到m的值． 【小问1详解】 证明：△ 不论取何值，方程总有两个实数根； 小问2详解】 解：根据题意得， 解得． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．也考查了判别式． 19. 如图，四边形是内接于，是直径，的延长线与相交于点P，其中，． （1）求证：是切线； （2）若点D是圆弧的中点，则________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，首先根据圆内接四边形的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质得到，然后得到，即可得到是切线； （2）如图所示，连接，首先根据三角形外角的性质得到，然后根据同弧所对的圆心角相等得到，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 如图所示，连接 ∵四边形是内接于， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵点C在上 ∴是切线； 【小问2详解】 如图所示，连接 ∵ ∴ ∵点D是圆弧的中点， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，切线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． （1）请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）怎样围才能使矩形场地的面积为？ （3）当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？ 【答案】（1），； （2）当，时面积等于； （3）当x为时，矩形的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据矩形的性质，得出，根据面积公式列式计算，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，因为，则函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，∵，且篱笆长为以及宽建造一扇门， ∴， ∴， ∵墙的长度不超过44， ∴， 即； 【小问2详解】 解：依题意，， ，（舍） 当，时面积等于； 【小问3详解】 解：∵， ∴函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值， 则在取值范围之内， 把代入，解得， 答：当x为时，最大值为． 21. 综合与探究 问题情境：如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接． （1）探究发现：证明：无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上； （2）探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明； （3）探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：______． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据切线的性质得到，再证明得到，加上，所以，然后根据折叠的性质可判断将沿折叠，点一定落在直径上； （2）由于是等腰三角形且对称轴经过点，则根据折叠的性质得到，再证明，接着根据切线的性质得到，则可计算出，然后证明四边形为矩形，则，从而得到； （3）先根据正三角形的性质得到，，再计算，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，，则，从而得到． 【小问1详解】 证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， 无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上； 【小问2详解】 解：． 理由如下：是等腰三角形且对称轴经过点， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ； 【小问3详解】 解：为正三角形， ，， ， ， ，， ， ， 而， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$