精品解析： 浙江省杭州市西湖区之江实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区之江实验学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A项，不是轴对称图形，故本选项错误； B项，不是轴对称图形，故本选项错误； C项，是轴对称图形，故本选项正确； D项，不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系即可求解. 【详解】A选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 B选项，，，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形 C选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 D选项，，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形 故选B． 【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边. 3. 下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：用来证明命题“，则”是假命题的反例可以是：， ∵ ，但是， ∴C正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可． 4. 下列各组图形中，表示是中边的高的图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，根据三角形高的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、B、C中不是的高，不符合题意； D、是中边的高，符合题意； 故选：D． 5. 下列不等式说法中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴选项B符合题意； ∵， ∴， ∴选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴ ∴选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 6. 如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B. ∠A＝25°，∠B＝75° C. a＝，b＝，c＝ D. a＝6，b＝10，c＝12 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得出，再根据求出最大角，再根据直角三角形的判定即可判断选项；根据三角形的内角和定理求出，即可判断选项；根据勾股定理的逆定理即可判断选项、选项． 【详解】解：．，， 最大角， 不是直角三角形，故本选项不符合题意； ．，， ， 不是直角三角形，故本选项不符合题意； ．，，， ， 是直角三角形，故本选项符合题意； ．，，， ， 不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和等于180°． 7. 如果不等式的解集是，那么m必须满足（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两边同时除以，不等号的方向改变，可得，据此即可求解． 【详解】解：因为的解集是，不等号的方向改变了， 所以， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数． 8. 如图，已知，则下列条件中，能够判定的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可． 【详解】解：∵∠D=∠C=90°，AB=AB， ①、添加，满足AAS，可判定△ABC≌△ABD； ②、添加AD=AC，满足HL，可判定△ABC≌△ABD； ③、添加，满足AAS，可判定△ABC≌△ABD； ④、添加，满足HL，可判定△ABC≌△ABD； 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS． 9. 如图，，点B关于的对称点E恰好落在上．若，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和的运用，解决问题的关键是作出正确辅助线． 连接，过A作于F，依据，，即可得出，再根据三角形内角和，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过点A作于点， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴中，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接DE，证明DE=DC=5，推出AB=10，AD=6，进而求出的面积即可得出结果． 【详解】如图，连接，作于F点， 是边上的高线， 在中，根据“斜中半”定理可知，， ， ，为等腰三角形， 且由勾股定理知：，， ，是边上的中线， ， ，得， ， ，在中，由“三线合一”性质，知G为CE的中点， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识点，解决问题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在中，一个锐角为，则另一个锐角为________度． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中两锐角互余． 根据在直角三角形中两锐角互余求解即可． 【详解】解：另一个锐角为：． 故答案为：65． 12. 若等腰的两条边长为和，则等腰三角形周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形定义，分类讨论，当2cm的边为腰和底时，分别计算其周长即可． 【详解】当2cm的边为腰时，由于，不能构成三角形； 当2cm的边为底时，该等腰三角形的周长为cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 13. 中，三边分别是，，，斜边，则的值为___． 【答案】18 【解析】 【分析】先由勾股定理求得=9，然后求得值． 【详解】解：为直角三角形，斜边， ， ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知直角三角形三边的关系． 14. 如图，，点共线．若，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉全等三角形的判定和性质，判定，得到． 过作于，过作于，由等腰三角形的性质求出，，由余角的性质推出，判定，得到，由勾股定理求出，得到． 【详解】解：过作于，过作于， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 15. 若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组只有两个整数解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组只有两个整数解， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知等边三角形，延长至点A，延长至点C，延长至点B，且，连结，，，则______；若，，请写出a，b，c的关系______． 【答案】 ①. ##60度 ②. 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定定理和性质定理及三角形的三边关系求解． 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，证明是解题的关键． 【详解】解：在等边三角形中，有，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，即：， 故答案为：，． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列不等式（组）： （1）求不等式的解； （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 ， 解：， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），掌握一元一次不等式解集的确定方法是解题的关键． 18. 如图，已知，，． （1）用直尺和圆规、作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹） （2）如果线段的垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2），详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识点， （1）利用尺规根据要求作出图形即可； （2）利用线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可； 解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 【小问1详解】 如图，以点A，B为圆心，以大于线段一半的长度作为半径，画弧，两弧交于点M，N，过M，N作直线， ∴直线即为所求； 【小问2详解】 如图所示， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，， ， （1）求证：． （2）线段与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）相等，见解析 【解析】 【分析】（1）由边边边容易证明全等； （2）由（1）得，再由等角对等边得． 【小问1详解】 证明：在 与 中， ， ∴ 【小问2详解】 解： 理由： ∴ ， 即 ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了边边边判定三角形全等，全等的性质，等腰三角形的判定． 20. 如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的图形； （2）若网格中最小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上找一点，则的最小值为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，三角形的面积，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质即可作出； （2）根据网格即可求的面积； （3）连接交直线于点P，此时的值最小． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：的面积为． 【小问3详解】 解：连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值． 由勾股定理得，， 的最小值为． 故答案为：． 21. 等腰三角形中，于点D，， （1）求的度数； （2）如图2，垂直平分，交于点F，连接，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质,三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，设，则，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 设，则，， ， 解得：， ； 【小问2详解】 证明：连接， ∵垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． （1）求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； （2）若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元 （2）该校共有3种租车方案，方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车；方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车；方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； （3）采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元 【解析】 【分析】（1）设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元，根据“租用3辆型大巴车和2辆台型大巴车，共需费用2100元；4辆台型大巴车比5辆型大巴车的费用多500元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车，根据“型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量，可求出采用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出采用各租车方案所需费用． 【小问1详解】 解：设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元； 【小问2详解】 解：设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 该校共有3种租车方案， 方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车； 方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车； 方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； 【小问3详解】 解：采用租车方案1所需费用（元）； 采用租车方案2所需费用为（元）； 采用租车方案3所需费用为（元）． ， 采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 23. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： （1）________．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，？ （3）当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，2或 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形性质，列代数式，解本题的关键是全等三角形性质的掌握． （1）根据点的运动速度可得的长； （2）根据全等三角形的性质即可得出即可； （3）此题主要分两种情况①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【小问1详解】 解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 故答案案为：； 【小问2详解】 当时，， 理由：，， ， ， ， ， 【小问3详解】 ①当时， ，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 24. 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为________，的度数为________． （2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）16或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （2）证明，结合定义可得结论； （3）如图3中，过点作于点．有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵是智慧三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：如图2中， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是直角三角形， ∴是智慧三角形； ∴是的智慧线 【小问3详解】 解：如图3中，过点作于点． 有两种情形：当时，是智慧三角形． ∵，，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，是智慧三角形． 设， ， ， 解得：（负值舍去）， ． 综上所述，满条件的的面积为16或． 【点睛】本题考查了智慧三角形的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年浙江省杭州市西湖区之江实验学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 3. 下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组图形中，表示是中边的高的图形为（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式说法中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B. ∠A＝25°，∠B＝75° C. a＝，b＝，c＝ D. a＝6，b＝10，c＝12 7. 如果不等式的解集是，那么m必须满足（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知，则下列条件中，能够判定的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，，点B关于对称点E恰好落在上．若，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C D. 10. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在中，一个锐角为，则另一个锐角为________度． 12. 若等腰两条边长为和，则等腰三角形周长为______． 13. 中，三边分别是，，，斜边，则的值为___． 14. 如图，，点共线．若，，，则______． 15. 若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是______． 16. 如图，已知等边三角形，延长至点A，延长至点C，延长至点B，且，连结，，，则______；若，，请写出a，b，c的关系______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列不等式（组）： （1）求不等式的解； （2）解不等式组． 18. 如图，已知，，． （1）用直尺和圆规、作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹） （2）如果线段垂直平分线交于点D，连结，已知，求的度数． 19. 如图，， ， （1）求证：． （2）线段与相等吗？请说明理由． 20. 如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的图形； （2）若网格中最小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上找一点，则的最小值为______． 21. 等腰三角形中，于点D，， （1）求的度数； （2）如图2，垂直平分，交于点F，连接，求证：． 22. 我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． （1）求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； （2）若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 23. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： （1）________．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，？ （3）当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为________，的度数为________． （2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$