精品解析：新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2024-2025学年高二上学期期末数学试题

克州2024－2025学年度第一学期期末质量监测试卷 高二年级•数学 时间：120分钟 满分：100分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共计24分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，空间四边形中，，，，，点在上，且，点中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 曲线方程表示一个圆的充要条件为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的通项公式为，那么是它的（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 5. 在等比数列中，，，则公比的值为（ ） A. B. 或1 C. －1 D. 或－1 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C. 平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D. 平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 7. 已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，部分选对得部分分（选对一个得2分，2个得4分），选错或不答的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则下列结论能成立的有（ ） A. 点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆 B. 点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆 C. 点的轨迹与圆相交 D. 点的轨迹与圆相切 11. （多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共计12分. 12. 已知各项不为0等差数列中，，数列 为等比数列，且，则 的值为 __________ ． 13. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为__________. 14. 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________． 四、解答题：本大题共5小题，共计49分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 16. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：. （2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 17. 已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为． （1）求轨迹方程，并说明轨迹表示什么图形？ （2）设点，，过点A且斜率为的动直线与轨迹交于两点，直线的斜率分别为，求证：为定值. 18. 已知等差数列满足，． （1）求数列通项公式及其前项和； （2）记数列的前项和为，若，求的最小值． 19. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 克州2024－2025学年度第一学期期末质量监测试卷 高二年级•数学 时间：120分钟 满分：100分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共计24分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求直线的倾斜角. 【详解】由， 所以直线的斜率为：. 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故选：B 2. 如图，空间四边形中，，，，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】连接，如下图所示： 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为点在上，且，则， 因此， 故选：B. 3. 曲线方程表示一个圆的充要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用计算即可. 【详解】表示圆的充要条件是，即. 故选：C． 【点睛】本题考查圆的一般方程，本题也可以采用配方来做，是一道容易题. 4. 已知数列的通项公式为，那么是它的（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据题意得到，再解方程即可. 【详解】由题知：，，解得或（舍去）. 故选：A 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题. 5. 在等比数列中，，，则公比的值为（ ） A. B. 或1 C. －1 D. 或－1 【答案】B 【解析】 【分析】把已知条件用和公比表示后求解． 【详解】由题意，解得或． 故选：B． 【点睛】本题考查求等比数列的公比，解题方法是基本量法．属于基础题． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C. 平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D. 平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义逐项分析点的轨迹. 【详解】待求轨迹的点记为， A：因为，所以的轨迹是线段，故正确； B：因为，此时的轨迹不存在，故错误； C：因为，所以的轨迹是线段的垂直平分线，故错误； D：因为，所以， 所以的轨迹是以为焦点的椭圆，故正确； 故选：AD. 7. 已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义确定的值，可得双曲线的标准方程. 【详解】不妨设点第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 8. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解. 【详解】设异面直线与所成的角为， 则根据异面直线上两点的距离公式可得：， 即，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于， 所以面与平面的夹角为. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，部分选对得部分分（选对一个得2分，2个得4分），选错或不答的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量共面的基本定理，结合基底的性质判断各项向量是否共面即可. 【详解】对于A，有，所以，，共面； 对于B，有，所以，，共面； 对于C，假设，，共面，则有，即，由题意不共面，所以，无解， 故假设不成立，所以，，不共面； 对于D，，所以 ，，共面. 故选：ABD. 10. 已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则下列结论能成立的有（ ） A. 点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆 B. 点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆 C. 点的轨迹与圆相交 D. 点的轨迹与圆相切 【答案】ABC 【解析】 【分析】明确点的轨迹，可以判断AB的真假；根据两圆的位置关系的判定方法，可以判断CD的真假. 【详解】设，则，设，则， 所以 整理得：. 所以点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆. 对A：若，则点的轨迹方程为：， 所以所以点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆.故A正确； 对B：若，则点的轨迹方程为：， 所以所以点的轨迹是以为圆心，半径是的一个圆.故B正确； 因为，所以圆与点的轨迹相交，故C正确，D错误. 故选：ABC 11. （多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等比数列的公比，可知，A正确；由于不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系；根据题意可知等差数列的公差为负，所以可判断出C不正确，D正确． 【详解】对A，等比数列的公比，和异号， ，故A正确； 对B，因为不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系，故B不正确； 对C D ，和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又， ，故D正确，一定是负数，即 ，故C不正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共计12分. 12. 已知各项不为0等差数列中，，数列 为等比数列，且，则 的值为 __________ ． 【答案】16 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质得到，根据等比数列的下标和性质 可得答案. 【详解】等差数列中,，故原式等价于， 解得或 ,舍去， 故，数列是等比数列，所以=16. 故答案为：16. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的性质，是基础的计算题. 13. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即可求解. 【详解】由题意可知， 根据点到平面的距离为. 故答案为： 14. 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________． 【答案】2（满足皆可） 【解析】 【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求e值. 【详解】解：，所以C的渐近线方程为, 结合渐近线的特点，只需，即， 可满足条件“直线与C无公共点” 所以， 又因为，所以， 故答案为：2（满足皆可） 四、解答题：本大题共5小题，共计49分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； 【小问2详解】 因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 16. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：. （2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，证明即可； （2）设，求出平面的一个法向量，满足即可求出，即可得出. 【详解】（1）证明：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）. 设，则，，，，， 故，，，. 因为，所以. （2）假设在棱上存在一点，使得平面，此时. 又设平面的法向量， 所以，得，取，得平面的一个法向量. 要使平面，只要，有，解得. 又平面，所以存在点，满足平面，此时. 【点睛】利用向量解决位置关系的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 17. 已知轨迹上任一点与定点的距离和到定直线的距离的比为． （1）求轨迹的方程，并说明轨迹表示什么图形？ （2）设点，，过点A且斜率为的动直线与轨迹交于两点，直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1），轨迹是长轴长，短轴长分别为的椭圆； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程，化简可得曲线的方程，再根据方程说明曲线的形状即可. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理，表示出，化简即可. 【小问1详解】 设是点到定直线的距离， 由题意，动点的轨迹就是集合， 则， 化简得，即， 所以轨迹是长轴长，短轴长分别为的椭圆. 【小问2详解】 设直线的方程为，如图： 与联立得，， 设，，则， 所以 . 所以为定值. 18. 已知等差数列满足，． （1）求数列的通项公式及其前项和； （2）记数列的前项和为，若，求的最小值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的值，进而可求得等差数列的通项公式及其前项和； （2）求得，利用裂项相消法可求得，然后解不等式，即可求得满足条件正整数的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为．依题意有，解得， 所以，； （2）由（1）得， 所以． 因为，即，所以． 又，所以的最小值为． 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 19. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解； （2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 所以该抛物线的方程为； （2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法 设，则， 所以， 由在抛物线上可得，即， 据此整理可得点的轨迹方程为， 所以直线的斜率， 当时，； 当时，， 当时，因为， 此时，当且仅当，即时，等号成立； 当时，； 综上，直线的斜率的最大值为. [方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法 同方法一得到点Q的轨迹方程为． 设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为． [方法三]：轨迹方程+换元求最值法 同方法一得点Q的轨迹方程为． 设直线的斜率为k，则． 令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为． [方法四]：参数+基本不等式法 由题可设． 因为，所以． 于是，所以 则直线的斜率为． 当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为． 【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值； 方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解； 方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值； 方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$