精品解析：山西省阳泉市2024-2025学年高三上学期期末数学试题

阳泉市2024~2025学年度 第一学期期末教学质量监测试题 高三数学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题的答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定两个集合中元素，再根据交集的定义求解， 【详解】因为，所以. 故选：A． 2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得. 【详解】， 故. 故选：C. 3. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：B. 5. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】由，可得，所以， 因为在上单调递增，又， 由，可得，所以，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦定理求的外接圆半径，再求点到平面的距离，设三棱锥外接球半径为，根据勾股定理列方程求出，进一步计算球的表面积. 【详解】如图： 在中，， 由余弦定理：, 所以，所以外接圆半径为，即. 在直角三角形中，，，所以. 设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，， 解得：. 所以球的表面积为：. 故选：A 7. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上的投影为点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设抛物线上点设，根据向量数量积的坐标表示，配方后求最值即可. 【详解】由抛物线可知，焦点为， 设，则， 则， 所以， 当时，的最小值是， 故选：B 8. 已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数，把自变量为负数的等价到相反数来比较，利用对数运算估计和比较对数值的大小，再利用函数在区间上单调递减，就可以比较各选项. 【详解】因为，所以. 因为， 所以，即， 又， 所以，又在区间上单调递减， 所以， 即. 故选:A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．） 9. 随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（ ） A. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长 B. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元 C. 逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大 D. 2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图表中的数据分析判断. 【详解】对A：从2017-2023年中国新能源汽车市场规模数据看新能源汽车市场规模逐年增长，故A正确； 对B：数据从小到大排列为1.6，2.8，3.0，3.4，6.0，9.9，11.5，共7个数据，其中位数为第4个数据3.4，故B正确； 对C：2021年增长是为，2022年增长1.6，2023年增长6.9，2024年增长4.7， 从增长量上看并不是逐年增加，故无法预计2025年的增长量最大，故C错误； 对D：从数据上看，市场规模前期增长缓慢，后期增长较快，故可用指数型函数模型进行拟合，故D正确； 故选：ABD 10. 已知函数满足，函数图象上距原点最近的最高点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 为函数图象的一条对称轴 D. 为函数图象的一个对称中心 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据题意可得，，，，进而可得，进而根据其图象和性质可得. 【详解】 由函数图象上距原点最近的最高点坐标为， 可得，，， 由得，得，又，故， 故由得， 由，得，故， 故， 故，故A错误； ，故B正确； 由得函数的对称轴为， 当得，故C正确； 由得函数的对称中心为， 令得，故D错误， 故选：BC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 是函数的极值点 C. 过原点仅有一条直线与曲线相切 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导根据导函数即可得出函数的单调性以及极值，进而判断A、B项；设出切点坐标，根据已知列出关系式，构造函数，根据导数研究函数的性质得出函数零点的个数，即可判断C项；根据函数的单调性，得出，整理即可构造，利用导函数求出函数的最小值，即可得出D项. 【详解】对于A项，由已知可得， 令，则. 解可得，，所以在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值， 所以，恒成立，即恒成立， 所以函数在上单调递增，故选项A正确； 对于B项，由A可知，在上单调递增，故B项错误； 对于选项C，设切点的坐标为， 根据导数的几何意义可知，切线的斜率， 所以过的切线方程为. 又切线经过原点，所以有， 整理为. 令，有， 当时，，有；当时，，有. 所以恒成立，函数单调递增. 又由，， 根据零点存在定理可得函数在区间内有且仅有一个零点. 故过原点仅有一条直线与曲线相切，选项C正确； 对于D选项，若，有， 由函数单调递增， 有，. 令，有． 令，有 （当且仅当时取等号）， 可得恒成立，所以函数单调递增. 又由， 所以时，，，所以在上单调递减； 时，，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值， 所以，故成立，选项D正确． 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线与曲线相切，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，列式即可求解. 【详解】设切点坐标为，由得， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：， 即， 所以，所以，所以. 故答案为：. 13. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，恰好构成等比数列的前三项，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据化简得到，再根据，，构成等比数列即可求解. 【详解】①， ∴当时，②， ①②得，即. ∵数列各项均为正数， ，即数列是公差为1的等差数列. ∵，，恰好构成等比数列的前三项， ，解得，. 故答案为：5. 14. 在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果. 【详解】每次跳跃的路径对应的向量为， 因为求跳跃次数的最小值，则只取， 设对应的跳跃次数分别为，其中， 可得 则，两式相加可得， 因为，则或， 当时，则次数为； 当，则次数为； 综上所述：次数最小值为10. 故答案为：10. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知△ABC的内角的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，. （1）求cosC； （2）若，，求b. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及面积公式可求得； （2）由正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和正弦公式变形可求得，然后由正弦定理求得边b． 【小问1详解】 由已知， 由余弦定理，得， 得，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得， 则，又 所以，又， 所以，即 又，所以， 由，得， 所以， 由正弦定理：. 16. 习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战略，形成了“一村一品一业”的新格局．同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影响．根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量X（单位：吨）的分布列如下： X 10 12 P 0.5 0.5 紫长茄今年的平均统一收购价格Y（单位：万元／吨）的分布列如下： Y 0.5 0.6 P 0.8 0.2 （1）某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚1亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量不低于34吨的概率； （2）紫长茄今年每亩种植成本约1.5万元，设Z表示该村紫长茄今年平均每亩的利润（单位：万元），求Z的分布列和数学期望． 【答案】（1）0.5 （2）万元，Z的分布列为 Z 3.5 4.5 5.7 P 0.4 0.5 0.1 【解析】 【分析】 （1）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布概率公式求结果； （2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率,列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果. 【详解】（1）设事件A表示一个大棚亩产量为12吨，事件A发生的次数为，因为每个大棚产量相互独立，所以 这三个大棚总产量不低于34吨的概率 （2）设事件B表示亩产量为10吨，事件C表示市场价格为0.5万元／吨，则， 每亩利润Z的所有可能取值为：， ， ， ， 所以Z的分布列为 Z 3.5 4.5 5.7 P 0.4 0.5 0.1 利润Z的数学期望（万元）． 【点睛】本题主要考查独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识；考查运算求解能力、数学建模能力与应用意识；考查转化与化归、概率与统计思想. 17. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） 证明：由三棱柱的性质可知． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为为的中点，且是等边三角形，所以． 因为平面，且， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接．由题意可得两两垂直，故以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， 故． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交椭圆C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）设直线PQ：，证明：直线PQ过定点． 【答案】（1） （2）（i）设，，，由（1）知，， 显然，， 而，则． ， 又，即， ∴为定值． （ii）由消去x，得，① ， 由①得，，又， 则 ， 解得（舍）或，满足， 因此直线PQ的方程为，∴直线PQ过定点． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上的点和离心率即可求解； （2）（i）根据两点斜率公式即可代入化简求解，（ii）联立直线与椭圆的方程，可得韦达定理，即可结合化简求解定点. 【小问1详解】 由椭圆C过点得， 又离心率为，即，则，∴． ∴椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 19. 已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，且为“2数列”，求． （2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． （3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）， （3） 因为为“数列”，所以， 即对任意的恒成立， 因为，，所以． 再结合，，，反复利用， 可得对任意的，． 设函数，则． 由，得． 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，，即． 又，所以． 可得，，，， 累加可得， 即，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据“2数列”的定义计算即可； （2）根据题意得到，然后结合“数列”的定义列方程得到，最后写通项即可； （3）根据“数列”的定义得到，然后构造函数得到，最后利用累加法证明即可. 【小问1详解】 由，且为“2数列”，得，即， 则， ， ， ． 【小问2详解】 设数列的公比为， 由，得， 即， 则． 两式相减得， 即． 因为是首项为2的“数列”，所以， 即， 所以， 即对任意的恒成立． 因为，， 则，即， 解得，． 又由，即，得，所以． 检验可知符合要求，故数列的通项公式为． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题为数列的新定义题型，准确理解“数列”的含义，紧扣题意将问题转化为熟悉的数学知识进行求解，同时构造函数，利用导数研究函数的单调性是证明不等式的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳泉市2024~2025学年度 第一学期期末教学质量监测试题 高三数学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题的答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在轴上的投影为点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．） 9. 随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（ ） A. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长 B. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元 C. 逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大 D. 2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合 10. 已知函数满足，函数图象上距原点最近的最高点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 为函数图象的一条对称轴 D. 为函数图象的一个对称中心 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 是函数的极值点 C. 过原点仅有一条直线与曲线相切 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若直线与曲线相切，则实数的值为______. 13. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，恰好构成等比数列的前三项，则______． 14. 在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知△ABC的内角的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，. （1）求cosC； （2）若，，求b. 16. 习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战略，形成了“一村一品一业”的新格局．同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影响．根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量X（单位：吨）的分布列如下： X 10 12 P 0.5 0.5 紫长茄今年的平均统一收购价格Y（单位：万元／吨）的分布列如下： Y 0.5 0.6 P 0.8 0.2 （1）某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚1亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量不低于34吨的概率； （2）紫长茄今年每亩种植成本约1.5万元，设Z表示该村紫长茄今年平均每亩的利润（单位：万元），求Z的分布列和数学期望． 17. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交椭圆C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）设直线PQ：，证明：直线PQ过定点． 19. 已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，且为“2数列”，求． （2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． （3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $