精品解析：安徽省安庆市怀宁县2024--2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

安徽省安庆市怀宁县2024～2025学年度九年级上学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，务必在“答题卷”上答题． 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分；每小题只有一个正确答案） 1. 如果 ，则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 3. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 底角为两个等腰三角形相似 B. 一个两边长分别是6和4，另一个两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 C. 一个锐角为的两个直角三角形相似 D. 有个角为的两个等腰三角形相似 4. 如图，已知 、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，当时，有最小值，其图象的形状与抛物线相同，开口方向相反，则这个二次函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线y=x-2tx与x轴交于两点，其中一点在x轴正半轴上，且两点间距离为6，若点P（m，n）为抛物线上一动点，作PQ⊥x轴，交一次函数y=kx-6（k＞0）的图象于点Q，当时，的长度随m的增大面增大，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ） A. AB2＝AC2+BC2 B. BC2＝AC•BA C. D. 8. 如图，已知点P是双曲线上的一个动点，连结OP，若将线段OP绕点O逆时针旋转得到线段OQ，则经过点Q的双曲线的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，若，则b的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点，将直线向下平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，， ，则的值为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 已知抛物线的图象开口向下，则a的取值范围是________． 12. 在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离是，则两地的实际距离是_____． 13. 如图所示，点D是边上的中点，点E在边上，且，与相交于点O，则 =________ 14. 如图，在矩形中，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰，连接DF，①如果，，当点F落在矩形的对角线上时，则________②如果，，则最短时长为________ 三、解答题（本题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知 ，且，求的值 16. 如图，在平面直角坐标系中，点原点，，，． （1）以原点为位似中心，相似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请在图中作出（点，，分别为点A，，的对应点）； （2）计算的面积． 17. 某学校教室饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． （1）求y与x的函数解析式； （2）学生饮用水时必须在水从加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以饮用需要等待多长时间？ 18. 已知：如图，在中，于D，E为直角边的中点，过D，E作直线交的延长线于F．求证：． 四、解答题：（本题共2小题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 已知：四边形中，，平分，交于，且，延长线交于，，． （1）求证：； （2）求值． 20. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P是上一动点，求的最小值． 五、解答题：（本题共2小题，每小题12分，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 21. 如图，一次函数图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 22. 国庆期间，某景区游客排队接受检票，景区统计了游客排队情况，发现游客到景区检票口的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为、其中，景区检票口每分钟可检票40人． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）景区检票口排队等待检票的游客人数最多时有多少人？ （3）检票口检票到第4分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客300人，为了减少排队等候时间，在检票口临时增设一个检票口．已知临时新增检票口每分钟可检测27人，增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 六、解答题：（本题共1小题，共14分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 23. 数学兴趣小组在陈老师带领下探究某种类型矩形的性质，如图1是小明同学在边上取了一点E，连接．经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上．据此解决下列问题： （1）求证：； （2）如图2，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省安庆市怀宁县2024～2025学年度九年级上学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，务必在“答题卷”上答题． 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分；每小题只有一个正确答案） 1. 如果 ，则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是银题的关键． 根据比例的基本性质，可分别设出x和y，分别代入各选项进行计算即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴设，， A、，不成立，故此选项符合题意； B、，成立，故此选项不符合题意； C、，成立，故此选项不符合题意； D、，成立，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式的性质． 根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，时随增大而增大，当时，随的增大而减小，判定即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴抛物线开口向下，故A选项不符合题意； ∴对称轴为直线，故B选项符合题意； ∴顶点坐标为，故D选项不符合题意； ∴时随增大而增大，时随增大而减小．故C选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 底角为的两个等腰三角形相似 B. 一个两边长分别是6和4，另一个两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 C. 一个锐角为的两个直角三角形相似 D. 有个角为的两个等腰三角形相似 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形，三角形内角和，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据有两角对应相等的两个三角形相似判定A；根据三边不对应成比例的三角形不相似判定B；根据有两角对应相等的两个三角形相似判定C；根据有两角对应相等的两个三角形相似判定D． 【详解】解：A、底角为的两个等腰三角形，有两底角对应相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； B、一个的斜边为6，直角边为4，则另一直角边为，另一个两直角边长分别是9和6，则斜边为，∵ 两三角形三边不对应成比例，∴两三角形不相似，故此选项符合题意； C、一个锐角为的两个直角三角形，有角和直角两对应角相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； D、有个角为的两个等腰三角形，它们顶角是，底角是，顶角与底角分别 对应相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，已知 、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行线判定方法得到，根据相似三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，于是得到结论． 【详解】解：、，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 5. 已知二次函数，当时，有最小值，其图象的形状与抛物线相同，开口方向相反，则这个二次函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法求解析式的步骤是解题关键． 先由二次函数，当时，有最小值，可设；再由二次函数的图象形状与抛物线相同，开口方向相反，可得，进而求解即可． 【详解】解：二次函数，当时，最小值， ∴设， 二次函数的图象形状与抛物线相同，开口方向相反， ， ． 故选：B． 6. 已知抛物线y=x-2tx与x轴交于两点，其中一点在x轴正半轴上，且两点间距离为6，若点P（m，n）为抛物线上一动点，作PQ⊥x轴，交一次函数y=kx-6（k＞0）的图象于点Q，当时，的长度随m的增大面增大，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数与x轴的交点，二次函数与一次函数的交点等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 先根据抛物线与x轴两交点间距离以及其中一点在正半轴，求出抛物线对称轴，进而确定t的值得到抛物线解析式．然后表示出点的纵坐标，得出的长度表达式．再根据当时的长度随的增大而增大，结合二次函数性质列出关于的不等式求解． 【详解】对于抛物线，令，则，即，解得． 因为抛物线与轴交于两点，其中一点在轴正半轴上，且两点间距离为6，所以，又因为其中一点在正半轴，所以， 那么抛物线的解析式为，其对称轴为直线， 因为点在抛物线上，所以，点在上，且轴，所以点的横坐标为，则点的纵坐标为， 所以， 对于二次函数，其二次项系数，图象开口向下，对称轴为直线， 因为当时，PQ的长度随的增大而增大，所以对称轴， 即，解得． 故选A． 7. 已知如图，点 C 是线段 AB 黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ） A. AB2＝AC2+BC2 B. BC2＝AC•BA C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】黄金分割定义知，，所以AC2=AB． 设AB=1，AC=x， ， 解得：x=． ． 故选：C． 8. 如图，已知点P是双曲线上的一个动点，连结OP，若将线段OP绕点O逆时针旋转得到线段OQ，则经过点Q的双曲线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过P，Q分别作轴，轴，利用AAS得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k的几何意义确定出所求即可． 【详解】解：过P，Q分别作轴，轴， ， ， ， ， 由旋转可得， 在和中， ， ≌， ，， 设，则有， 由点P在上，得到，可得， 则点Q在上． 故选D． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 9. 直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，若，则b的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 先求出点，设，根据，则，求得，再分类讨论，当时，，把代入得 把代入得，得到，求解得；当时，，把代入得因为点B在第二象限内，故不符合题意，舍去．即可求解． 【详解】解：对于 ，令，则， 解得： ∴ ∴ 设， ∵直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B， ∴点B在第二象限， ∴ ∵ ∴ 解得， 当时，， ∴把代入得 把代入得 ∴ 解得或（舍去）， 当时， 把代入得（不符合题意，舍去） ∴， 故选：B． 10. 如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点，将直线向下平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，， ，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，，作于，于，则，由平移性质可知，故有，通过求出，，证明，则，则，然后利用反比例函数比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：连接，，作于，于， ∴， ∴， 由平移性质可知：， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 已知抛物线的图象开口向下，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数，当时，函数图象开口向上，当时函数图象开口向下． 根据抛物线的图象开口向下，得到，求解即可． 【详解】解：∵抛物线的图象开口向下， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离是，则两地的实际距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的应用，设两地的实际距离是，根据比例尺可得，解比例式即可求解，理解比例尺的意义是解题的关键． 【详解】解：设两地的实际距离是， 由题意得，， ∴， ∵， 故答案为：． 13. 如图所示，点D是边上的中点，点E在边上，且，与相交于点O，则 =________ 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，比例的性质等知识点，作的中点为F，连，可得是的中位线，进而得出，利用相似比的转换即可得解，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，作的中点为F，连， ， ∵D是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰，连接DF，①如果，，当点F落在矩形的对角线上时，则________②如果，，则最短时长为________ 【答案】 ①. 20 ②. 【解析】 【分析】①过点作与，证明，得到，，设，则，不规则证明，得，则，求得，则，由勾股定理得，再由求解； ②在上取点G，使，在上取点H，使，作射线，当点E在线段上运动时，点F在射线上运动，所以当时，最小，利用等腰直角三角形的性质与勾股定理求出此时的长即可． 【详解】解：①如图，过点作与， ， ， ， 又， ， ，， 设， ， ∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ∴； 故答案为：20． ②当点F在上时，如图， ∴，， 当点F在上时，如图， 由①知：， ∴，； 在上取点G，使，在上取点H，使，作射线，如图， 当点E在线段上运动时，点F在射线上运动， ∴当时，最小， ∵， ∴ 当时， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短，等腰直角形三角形的性质，勾股定理等知识．掌握矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短是解题的关键． 三、解答题（本题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知 ，且，求的值 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，，，而，那么，易求，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． （1）以原点为位似中心，相似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请在图中作出（点，，分别为点A，，的对应点）； （2）计算的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据位似图形的性质找到点的对应点，再连接即可求作； （）利用割补法计算即可求解； 本题考查了作位似图形，三角形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：的面积． 17. 某学校教室饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． （1）求y与x的函数解析式； （2）学生饮用水时必须在水从加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以饮用需要等待多长时间？ 【答案】（1） （2）从饮水机加热开始，到可以使用需要等待 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的应用，理解题意，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．注意数形结合思想的应用． （1）分两种情况：①当时，②当时，利用待定系数法即可求出与的函数解析式； （2）令（1）中求得的函数解析式，求出的值即为需要等待的时间． 【小问1详解】 解：①当时 根据图象设， 其图象过点，则 解得： ∴， ②当时 ∵整个下降过程中y与通电时间x成反比例关系， ∴可设整个下降过程中水温， 其图象过点， ∴，解得， ∴； 综上，y与x的函数解析式为：． 【小问2详解】 解：依题意，令，得，解得， 答：从饮水机加热开始，到可以使用需要等待10min． 18. 已知：如图，在中，于D，E为直角边的中点，过D，E作直线交的延长线于F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用互余的性质可得，再直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的性质可得，从而可证明． 【详解】证明， ， ， ，即， 又∵E为的中点，， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定等知识，关键是掌握是相似三角形的判定定理． 四、解答题：（本题共2小题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 已知：四边形中，，平分，交于，且，延长线交于，，． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线定义得，即可解决问题； （2）结合（1）得，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得，，则，即可求得，，，从而求得，，，代入即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ， ， ，， ， ∴． 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴． 20. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P是上一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质和判定，抛物线与坐标轴的交点，二次函数求最值． （1）首先求出，，然后证明出得到，然后利用待定系数法求解即可； （2）依据垂线段最短，利用等积法求解即可． 【小问1详解】 当时，， ∴，即， ∵，即 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴即 把点，点代入， 得， 解得： ∴； 【小问2详解】 当时，取最小值， ∵， 则， ， 解得：， ∴的最小值为． 五、解答题：（本题共2小题，每小题12分，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 21. 如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由一次函数解析式求出、的坐标，进而求得点坐标，代入即可求得的值． （2）设，则，由于的值在时，随的增大而增大，随的值的增大而增大，即可得出随的增大而增大．再由点，则当时，，所以当时，S值最小，把代入计算即可求解． 【小问1详解】 解： 一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点， ，． 为线段的中点， ∴， ， 反比例函数的图象过点， ， ∴， 【小问2详解】 解：点是反比例函数的图象上一个动点， 设， ， 设，则， 随增大而增大， 在中，， 时，随的增大而增大， 随的增大而增大． 由（1）知，， ∴当时，， ∴当时，S值最小，最小值为． 即当时，S最小值为3． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，熟知函数的性质是解题的关键． 22. 国庆期间，某景区游客排队接受检票，景区统计了游客排队情况，发现游客到景区检票口的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为、其中，景区检票口每分钟可检票40人． （1）求y与x之间函数解析式； （2）景区检票口排队等待检票的游客人数最多时有多少人？ （3）检票口检票到第4分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客300人，为了减少排队等候时间，在检票口临时增设一个检票口．已知临时新增检票口每分钟可检测27人，增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 【答案】（1） （2）排队等待人数最多时是100人； （3）增设临时检票口检票13分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键． （1）由顶点坐标为，可设，再将代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式； （2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案； （3）设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况，根据题意可列出关于m的方程，求解并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标为， ∴设， 将代入， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设第x分钟时的排队等待人数为w人， 由题意可得： ， ∵， ∴当时，w的最大值为100， 答：排队等待人数最多时是100人； 【小问3详解】 解：设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况， 由题意得： ， 整理得：， 解得：，（舍）． 答：增设临时检票口检票13分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况． 六、解答题：（本题共1小题，共14分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 23. 数学兴趣小组在陈老师带领下探究某种类型矩形的性质，如图1是小明同学在边上取了一点E，连接．经探究发现：当平分时，将沿折叠至，点F恰好落在上．据此解决下列问题： （1）求证：； （2）如图2，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析② 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质可得，从而利用证明结论； （2）①利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明，得，从而解决问题； ②设，则，，代入计算即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，，， 平分， ， ， 将沿折叠至， ， ，， ， 在与中， ， ； 【小问2详解】 ①证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ②解：设， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用设参数表示出各线段的长是解决问题（2）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$