精品解析：安徽省亳州市利辛县2024-2025学年九年级上学期校际调研三数学试卷

利辛县九年级校际调研三 数学（试题卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 如图，已知直线，被一组平行线，，所截，交点分别为，，和，，，，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 4. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，在此函数图象上有，，三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等腰中，，，D是上一点，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为( ) A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果锐角满足，则的大小是________． 12. 已知点P是线段的黄金分割点（），若，则______． 13. 如图，正方形的边在x轴的正半轴上，，．反比例函数的图象与边交于点E，与边交于点F．已知，则等于________ 14. 如图，矩形中，，，点为对角线上的一个动点，过点作交于． （1）当时，的长为__________； （2）长的最小值为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求值，并写出此抛物线的对称轴． （2）求抛物线与轴的交点坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称； （2）在所给的网格中画出以点O为位似中心的位似图形．，与的位似比为，并写出点的坐标． 18. 某综合实践研究小组为了测量广场上空气球离地面的高度，已知水平面，该小组利用自制简易测角仪在水平面上点处分别测得气球的仰角为，为，已知，求气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，，是边上的高，点E为线段上一点（不与点C，点D重合），连接，作与的延长线交于点F，与交于点G，连接． （1）求证：； （2）求证：； 20. 如图，已知一次函数与反比函数图象在第一、三象限分别交于点，，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，x的取值范围． 六、（本题满分12分） 21. 如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） （1）求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） （2）由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 七、（本题满分12分） 22. （1）如图，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连接交于点，求证：； （2）如图，在（）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 利辛县九年级校际调研三 数学（试题卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 2. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 根据最大线段最小线段的乘积等于其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：、∵， ∴，，，是成比例线段； 、∵， ∴，，，不是成比例线段； 、∵， ∴，，，不是成比例线段； 、∵， ∴，，，不是成比例线段； 故选：． 3. 如图，已知直线，被一组平行线，，所截，交点分别为，，和，，，，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，充分利用勾股定理和解直角三角形计算三角形的边或角．也考查了坐标与图形性质．作轴于，如图，先利用勾股定理计算出，然后在中利用正弦的定义求解． 【详解】解：作轴于，如图， 点的坐标为， ，， ， 在中，． 故选：C． 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． 根据题意得出，然后结合三角形相似的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、∵，， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴，原选项不符合题意； 、当，，不能证明，原选项符合题意； 故选：． 6. 已知函数，，在此函数图象上有，，三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意可得，二次函数开口向下，再求出二次函数的对称轴，再结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵函数，， ∴，二次函数开口向下， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，在等腰中，，，D是上一点，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及解直角三角形，过D作于E，根据，可设，，根据三角形内角和定理以及等角对等边等可得出，则，根据勾股定理求出，则可求x的值，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过D作于E， ∵， 设，则， ∵在等腰中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理等知识点，设大厅两层之间的距离为米，根据坡度的概念用表示出扶梯的铅直高度，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案，熟练掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解决此题的关键． 【详解】解：设大厅两层之间的距离为米， 扶梯的坡度, 扶梯的水平宽度为米, 由勾股定理得：, 大厅两层之间的距离为米， 故选：． 9. 如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证，利用相似三角形性质得到，即，在直角三角形ABD中易得，从而解出DC，得到△ABC的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可 【详解】 易证 即 由题得 解得 的高易得： 故选B 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC的长度 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可得a，b，c的符号及a与b的关系，从而判断①，由及对称轴可得点B坐标，从而判断②③④，由时y取最小值可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与y轴交点在x轴下方， ， ，①错误； 如图，设抛物线对称轴与x轴交点为，则， ， ，即点B坐标为， 时，， ，②错误； ， ，③正确； 当时，，④错误； 时，y取最小值， ，即，⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与方程及不等式的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果锐角满足，则的大小是________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的余弦值是解题的关键．因为，所以． 【详解】解：锐角满足， ， 故答案为： ． 12. 已知点P是线段的黄金分割点（），若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，分母有理化，根据点P是线段的黄金分割点（），得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，正方形的边在x轴的正半轴上，，．反比例函数的图象与边交于点E，与边交于点F．已知，则等于________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上的点的坐标特征，正方形的性质，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据正方形的性质得到，而，则，可得到E点坐标为，从而确定，再根据F点的纵坐标为4，且F在反比例函数上，得到F点的横坐标为6，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，且，． ∴， ∵， ∴， ∴E点坐标为， 把E点坐标代入反比例函数， 得， ∴ 又∵F点的纵坐标为4，且F点在反比例函数的图像上， ∴，解得 ∴F点的横坐标为6， ∴． 故答案为：2． 14. 如图，矩形中，，，点为对角线上的一个动点，过点作交于． （1）当时，的长为__________； （2）长的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）连接AF交BD于点G，首先证明出，然后得到AF是BE的垂直平分线，得到，然后证明出，最后根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据题意得到当点F与点B重合时，EF长最小，根据勾股定理求出BD的长度，然后证明出，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接AF交BD于点G， ∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴AF是BE的垂直平分线 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （2）如图，过点E作MN⊥BC，则MN⊥AD， ∵∠AEF=∠AME=∠FNE=90°， ∴∠FEN+∠AEM=∠MAE+∠AEM=90°， ∴∠FEN=∠MAE， ∴， ∴， ∵tan∠DBC=， ∴ ∵ ∴， ∴当最小时，EF长最小 ∴当点F与点B重合时，EF长最小， 在矩形ABCD中 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算，将特殊角三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 16. 已知，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求的值，并写出此抛物线的对称轴． （2）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1），对称轴为直线 （2）与x轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将代入函数解析式，求出函数解析式即可得到答案； （2）令解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：将代入二次函数中， 得， 解得， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）可知，二次函数为， 当时，， 即， 解得， 故与x轴的交点坐标为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）在所给的网格中画出以点O为位似中心的位似图形．，与的位似比为，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，点的坐标是 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、位似变换，熟练掌握轴对称的性质与位似变换的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据位似变换的性质作图即可，再写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； 【小问2详解】 解：如图：即为所求，点的坐标是． ． 18. 某综合实践研究小组为了测量广场上空气球离地面的高度，已知水平面，该小组利用自制简易测角仪在水平面上点处分别测得气球的仰角为，为，已知，求气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题，作，可得，进一步得，根据即可求解. 【详解】解：如图所示：作， 设， ∵, ∴ ∴ ∵， ∴ 解得： 即：气球离地面的高度为m 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，，是边上的高，点E为线段上一点（不与点C，点D重合），连接，作与的延长线交于点F，与交于点G，连接． （1）求证：； （2）求证：； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）由相似三角形的性质可得，从而得出，结合得出，即可得证． 【小问1详解】 证明：，， ， 又， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ， ， 又， ， ，即． 20. 如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于点，，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）记一次函数的图象与y轴交点为C，则，再由计算即可得解； （3）根据函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， 反比例函数的表达式为， 将代入得， 解得， ， 将，代入，得， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，记一次函数的图象与y轴交点为C， 令，则， ， 由图可知； 【小问3详解】 解：由图可知在x轴正半轴时，在A点右侧，有， ， 取值范围为． 六、（本题满分12分） 21. 如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，） （1）求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数） （2）由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 【答案】（1）62海里 （2）0.08小时 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线交延长线于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出和的长，进而可得S的长，再除以时间，即可求出的速度． （2）过点作于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出, , 的长，再分别求出潜艇和救援船到达M点所用的时间，再求出它们的差即可． 【小问1详解】 解：过点作的垂线交延长线于点， 由题意可知：，， 在中，，， ， 在中，， ， ， （海里）． 答：游艇每小时航行62海里． 【小问2详解】 解：过点作于点． 由题意可知：，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， （小时）． 答：游艇到达处，再过0.08小时救援船就能到达处． 七、（本题满分12分） 22. （1）如图，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连接交于点，求证：； （2）如图，在（）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（）利用相似三角形的判断与性质即可求解； （）利用相似三角形的判断与性质得出，由（）知，，设，则，，然后代入即可求解； 本题考查了相似三角形判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴； （）∵，恰好将三等分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）知，， 设，则，， 由得，， ∴（负值舍去）， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价为90元 （3）最大利润是10000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式； （2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量值； （3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：； 答：与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该玩具销售单价为90元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得：； ∵，， ∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000； 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$