精品解析：山西省忻州地区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期期末双减教学成果展示 九年级数学（人教版A） （本试卷共8页，满分120分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．） 1. 年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，下列说法中正确是（　　） A. 该函数的图像分布在第一、三象限 B. 点在函数图像上 C. y随x的增大而增大 D. 若点和在该函数图像上，则 4. 电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是的中点．若∠D＝110°，则∠AEB的度数是( ) A. 30° B. 35° C. 50 D. 55° 6. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球的个数约为（ ） A. 8 B. 14 C. 17 D. 20 7. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 8. 如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，点P到的距离是，则点P到的距离是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为_____． 12. 在直角坐标系中，点A（－7，）关于原点对称的点的坐标是_______． 13. 某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为________（答案请按同一形式书写）． 14. 如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径作弧，与交于点，与交于点．若，则图中阴影部分面积为_______．（结果保留） 15. 铅球是利用人体全身力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一，是集力量和技术于一体的运动，绝对力量和完美技术都是取得好成绩的因素，铅球行进高度和铅球行进曲线都影响着铅球投掷的成绩．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是，此运动员投掷时，铅球的最大行进高度是_________m． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）用没有刻度的直尺作出关于点的同向位似图形，且位似比为； （2）画出绕点顺时针旋转得到的． 18. 元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B，《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数图像交于两点，一次函数的图像与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式： （2）根据函数的图像，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 20. 如图，是的直径，点C在的延长线上，，，交的延长线于点E． （1）求证：与相切： （2）若，，求的长， 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 22. 如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 23. 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高； （3）如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末双减教学成果展示 九年级数学（人教版A） （本试卷共8页，满分120分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．） 1. 年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形．把一个图形绕某一个点旋转后，可以与原图形重合，这个图形就是中心对称图形；把一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项符合题意； C选项：既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案． 【详解】解：方程即为， 在方程的两边都加上，得， 即． 故选：A． 3. 已知反比例函数，下列说法中正确的是（　　） A. 该函数的图像分布在第一、三象限 B. 点在函数图像上 C. y随x的增大而增大 D. 若点和在该函数图像上，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得． 【详解】解：A、，函数的图像在第一、三象限，选项说法正确，符合题意； B、因为，所以点不在函数图像上，选项说法错误，不符合题意； C、，在每个象限内，y随着x的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； D、，在每个象限内，y随着x的增大而减小，因为，则，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质． 4. 电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．根据正五边形的对称性，用除以5计算即可得解． 【详解】解：旋转的角度可以是， 故选：B． 5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是的中点．若∠D＝110°，则∠AEB的度数是( ) A. 30° B. 35° C. 50 D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ABC=180°-∠D=70°，根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC=180°-∠D=70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠ABC=35°， 故选B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球的个数约为（ ） A. 8 B. 14 C. 17 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】用黑球的个数除以摸到黑球频率得出球的总个数，继而得出答案． 【详解】解：由题意知，袋中球的总个数约为（个）， 所以袋中红球个数约为（个）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 7. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 8. 如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，点P到的距离是，则点P到的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了中心投影与三角形相似，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，作于E，交于F，如图，则，利用可得，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出P到的距离． 【详解】解：作于E，交于F，如图， 由题意得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点P到的距离是． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标． 【详解】解：与位似，原点是位似中心， 而，， 与的位似比为， ， 点的坐标是为，，即． 故选：C． 10. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律是：左加右减、上加下减，按照“左加右减、上加下减，根据抛物线平移的方向和距离，可以得到平移后的二次函数的解析式． 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 得到的二次函数的解析式是， 整理得：． 故选： D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的总面积即可得． 【详解】由图形知， S①＝S②， ∴阴影部分的面积为正方形面积的一半， ∴蚂蚁停在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何概率.解题的关键是熟练掌握几概率的公式.用阴影区域表示所求事件（A）；计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 12. 在直角坐标系中，点A（－7，）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（7，-1） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数得出答案即可． 【详解】点（-7，1）关于原点对称的点是（7，-1）． 故答案为：（7，-1）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数是解题的关键． 13. 某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为________（答案请按同一形式书写）． 【答案】 【解析】 【分析】设，则老师在黑板上写的文字大小为，根据比例线段和相似图形的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：如图：，，令， 设，则老师在黑板上写的文字大小为， ∵， ∴， 解得：， ∴老师在黑板上写的文字大小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了成比例线段和相似图形的性质，解题的关键是根据题意得出教科书上的字与黑板上的字相似，根据相似图形对应边成比例求解． 14. 如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径作弧，与交于点，与交于点．若，则图中阴影部分面积为_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不规则图形的面积，连接，证明是等边三角形，得到，，过D作于H，求得，由求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 过D作于H，则， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 铅球是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一，是集力量和技术于一体的运动，绝对力量和完美技术都是取得好成绩的因素，铅球行进高度和铅球行进曲线都影响着铅球投掷的成绩．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是，此运动员投掷时，铅球的最大行进高度是_________m． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的函数和性质，把二次函数一般形式化成顶点式即可得出答案． 详解】解：∵， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y取的最大值，最大值为3． 则铅球的最大行进高度是， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 配方得，即， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ，． 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）用没有刻度的直尺作出关于点的同向位似图形，且位似比为； （2）画出绕点顺时针旋转得到的． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了位似变换和旋转变换，理解位似图形和图形旋转的本质是解题的关键． （1）找到位似中心，把原来的三角形三边作关于位似中心对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的图形； （2）将原三角形的三个顶点分别与原点相连，并过原点作相应连线的垂线，变化过程中旋转前后对应线段长度不变，即可得出对应的图形． 【小问1详解】 解：将原来的三角形三边关于点作对应的放大倍即可得到对应的图形，所作图形如下所示 即为所求； 【小问2详解】 将原三角形的三个顶点分别与原点相连，并过原点分别作的垂线且长度分别与之对应相等，即可得出对应的图形，如下图所示 即为所求． 18. 元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B，《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 【答案】小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为 【解析】 【分析】本题考查了列树状图或列表法进行求概率，先把所有情况列出来，再把满足条件的情况除以总情况数，即可作答． 【详解】依题意，列树状图如下： 共有9种等可能情况，满足小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的情况有3种， 则小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于两点，一次函数的图像与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式： （2）根据函数图像，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据，求出的面积，设 ，构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， 把A、B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：连接，由题意， ， 设， 由题意， 解得， ∴或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． 20. 如图，是的直径，点C在的延长线上，，，交的延长线于点E． （1）求证：与相切： （2）若，，求的长， 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】(1) 连接，然后根据圆的性质和已知可以得到，即可证得与相切； （2）由已知可以得到，再根据三角形相似的性质和已知条件即可求出AD的值． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵； ∴， 即 ∴是切线. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆切线的判定方法、三角形相似的判定和性质是解题关键． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 22. 如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 23. 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高； （3）如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出的取值范围______． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，选的点，，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中解析式中求解y值即可； （3）求出时对应x值，再结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，，代入中，得 ，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，当时，， ∵绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶， ∴小华的身高为米； 【小问3详解】 解：当时，由得或， ∵绳子甩到最高处时超过她的头顶， ∴， 结合函数图象得：． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，将实际问题转化为二次函数问题求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$