第1章相交线与平行线 几何模型专练 2024-2025学年浙教版七年级数学下册

2024-2025学年浙教版七年级下学期第1章 （几何模型专练） 几何模型1：M型模型（也称“猪蹄模型”） 图 一 几何模型2：鸡翅模型 图三 几何模型3：折鸡翅模型 图四 几何模型4：多个M型模型 几何模型5：铅笔头模型 图二 几何模型6：多个铅笔头模型 一、解答题 1．（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 2．北京冬奥会的国家跳台滑雪中心场馆（雪如意）坐落在河北省的张家口市，其侧面可近似看作如图所示的图形．若，求的度数．    3．【感知】（1）如图①，，，，求的度数； 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在【探究】的条件下，的平分线和的平分线交于点，直接写出的度数． 4．已知，点E是平面内一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 5．如图，已知，，，求的度数． 6．课本再现 (1)如图1，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐角，第二次拐角的度数是多少？ 变式探究 (2)如图2，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐角，第二次拐角，第三次拐角为，若与平行，求的度数． 7．如图，已知，点分别在直线上，点在和之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若，是的平分线，求的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，连接，若，，和的平分线交于点，求的度数． 8．（1）问题情境：如图①，，，．求的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完； 如图②，过点作，∴． ∴． ∵．∴．…… 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图③，，点在射线上运动，，． ①当点在、两点之间时，，，之间有何数量关系？请说明理由； ②当点在、两点外侧时（点与点不重合），请借助备用图画出图示，并直接写出，，之间的数量关系． 9．（1）已知：如图1，直线，求证：； （2）如图2，如果点在与之内，线段的左侧，其它条件不变，这三个角之间有怎样的数量关系？并加以证明； （3）如图3，如果点在与之外，其他条件不变，请直接写出这三个角之间有怎样的数量关系． 10．综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 11．已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 12．小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 13．（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 14．已知：直线，直线分别交、于点、． (1)如图1，的平分线与的平分线交于点，试说明与的位置关系； (2)如图2，点为直线、间一点，作的平分线，与的平分线交于点，试探究与的关系． 15．已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 16．已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 17．已知：CD，点E、F分别在、上，M为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为 ． 18．已知直线，点和点分别在直线和上，点在直线之间，连接． (1)如图，若，，则 ； (2)如图，若点是直线下方一点，连接与直线交于点，连接，分别是的角平分线，已知，．求的度数？ (3)如图，连接，点在点右侧且在直线上，过点在下方作，垂足为点，若，，平分．将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为秒，直接写出与的任意一条边平行时的值． 19．感知发现：（）在学习平行线中，“启智”兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程； 探索思考：（）那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是“启智”兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：．请你写出证明过程； 综合与实线：（）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．“启智”兴趣小组的同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图．已知两直线且，在直角中，，，．“启智”兴趣小组的同学们发现，说明理由； 实践探究：（）如图，当时，是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论． 20．如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版七年级下学期第1章 （几何模型专练） 几何模型1：M型模型（也称“猪蹄模型”） 图 一 几何模型2：鸡翅模型 图三 几何模型3：折鸡翅模型 图四 几何模型4：多个M型模型 几何模型5：铅笔头模型 图二 几何模型6：多个铅笔头模型 一、解答题 1．（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 【答案】（1），理由见详解；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线之后，将分散的角集中起来，是解决问题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质即可求出得，，问题得解； （2）根据（1）中的结论，即可得到结果． 【详解】解：（1），理由如下： 过点作， ． 又， ， ， ， 即， （2）根据（1）中的结论， 可得出． 过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 即． 2．北京冬奥会的国家跳台滑雪中心场馆（雪如意）坐落在河北省的张家口市，其侧面可近似看作如图所示的图形．若，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查利用平行线的性质求角的度数，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键． 过点作．根据平行线的性质得出得出，结合图形即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作，   ， ． ， ， ， ， ． 3．【感知】（1）如图①，，，，求的度数； 【探究】（2）如图②，，，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在【探究】的条件下，的平分线和的平分线交于点，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的性质与判定可求解； （2）过点作，根据，，进而根据平行线的性质即可求的度数； （3）过点作，在（2）的条件下，根据的平分线和的平分线交于点，可得的度数． 【详解】解；（1）如图，过点作， （两直线平行，内错角相等）， ∵， ， 两直线平行，同旁内角互补． ， ， ， 即； （2）如图，过点作， ， ∵， ， ． ； （3）如图，过点作， 是的平分线，是的平分线， ，， ∵， ， ． ． 4．已知，点E是平面内一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质求角度．熟练掌握平行线的判定与性质，并正确的添加辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点E作，则，，，根据，计算求解即可； （2）如图2，过点E作，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点E作． 图1 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：如图2，过点E作， 图2 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 5．如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作，则，由平行线的性质可得，，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如答图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ． 6．课本再现 (1)如图1，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐角，第二次拐角的度数是多少？ 变式探究 (2)如图2，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐角，第二次拐角，第三次拐角为，若与平行，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平行的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等即可求解； （2）过点B作，根据两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补即可求解． 【详解】（1）解：因为拐弯前后的两条路互相平行，第一次拐角为， 所以． （2）解：如图，过点B作． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 7．如图，已知，点分别在直线上，点在和之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若，是的平分线，求的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，连接，若，，和的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识． （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义即可解答； （2）过点G作，则，根据平行线的性质得到，即可得出结论； （3）过点G作，过点P作，则，由平行线的性质推出，，得到，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）如图，过点G作，则， ∴，， ∴； （3）如图，过点G作，过点P作，则， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 8．（1）问题情境：如图①，，，．求的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完； 如图②，过点作，∴． ∴． ∵．∴．…… 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图③，，点在射线上运动，，． ①当点在、两点之间时，，，之间有何数量关系？请说明理由； ②当点在、两点外侧时（点与点不重合），请借助备用图画出图示，并直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）①，理由见解析；②当点在、两点之间时，；当点在射线上时， 【分析】（1）根据平行线的性质证明即可， （2）①过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出； ②分类讨论：当点在、两点之间时，；当点在射线上时，． 【详解】解：（1）剩余过程：∴， ∴， ∴， ①，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴； ②分类讨论： 当点在、两点之间时，； 过点作交于， 当点在射线上时，． 过点作交于， 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定的应用，添加辅助线是解题的关键． 9．（1）已知：如图1，直线，求证：； （2）如图2，如果点在与之内，线段的左侧，其它条件不变，这三个角之间有怎样的数量关系？并加以证明； （3）如图3，如果点在与之外，其他条件不变，请直接写出这三个角之间有怎样的数量关系． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点P作，则，由平行线的性质可得，再根据角的和差关系可得答案； （2）过点P作，则，同理可得，再根据平角的定义即可得到结论； （3）过P作，则，由平行线的性质可得， 再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图所示，过点P作， 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）过P作，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）25°；（2）垂直，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补． （1）先得出，根据平行线的性质得出，，进而得出，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的性质得出，进而得出，再推出，得出，证得结论； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴；  （2）与的位置关系是垂直． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 11．已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵， ， ，， ， 故答案为：80； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ∵， ， ，， ， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∴． 12．小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点构造平行线： （1）过点作，利用平行线的性质和角的和差关系即可得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结果； （3）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：成立．理由： 如图，过点作． ， ， ，， ． （2）如图，过点作． ， ． ， ． 平分， ， ． 平分，， ， ， ． （3）如图，过点作． ， ． 平分，平分， ，， ，， ，， ． 13．（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）C；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质及角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及等式的的性质求解即可； （2）过点作，再根据平行线的性质与判定求解； （3）利用（1）（2）的结论及角平分线的定义求解． 【详解】解：（1）， ，， ， 故选：C； （2）． 理由：过点作，点在点的左侧， ． ， ， ， ； （3）． 理由：，分别平分和， ，． 由（1）可得， ， 即． 由（2）可得， ． 14．已知：直线，直线分别交、于点、． (1)如图1，的平分线与的平分线交于点，试说明与的位置关系； (2)如图2，点为直线、间一点，作的平分线，与的平分线交于点，试探究与的关系． 【答案】(1)互相垂直 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论， （1）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，根据角平分线的定义得，，推出，可得结论； （2）如图，过点作，过点作交于点，设，，，，则，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，根据角平分线的定义得，，推出，根据平行线的性质进一步推出，可得结论； 解题的关键是通过作辅助线构造平行线并熟练掌握平行线的性质。 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴与的位置关系为：互相垂直； （2）与的关系：。 理由：如图，过点作，过点作交于点，设，，，，则， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴ ， ∴。 15．已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是： （1）过G作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，即可求解； （2）过P作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，由（1）可得：，则可得出，根据角平分线的定义得出，，则可求出，然后把代入求解即可； （3）设，，则，根据角平分线定义求出，由（2）知：，，，过E作，设与相交于O，由（2）同理可求，代入求解即可． 【详解】（1）解：过G作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴； （3）解：设，，则， ∵平分， ∴， 由（2）知：，，， 过E作，设与相交于O， 由（2）同理可求， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∴的度数为． 16．已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论； （3）如图，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理可得，， ，， ， 平分，平分， ，， ， 作，同理可得，； （3）解：如图，过点作， 设， ， 平分， ， ， ，， ， ， 平分， ， 作，同理可得，． 17．已知：CD，点E、F分别在、上，M为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)60° (3) 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）过M向左作，利用平行线的性质得到，，然后利用角的和差解题即可； （2）设直线、交于点G，由（1）得，，，过F作，则有，然后根据解题即可； （3）设，则有，过点T向右作，可得，由（1）得，可以求出，进而计算，即可求比值． 【详解】（1）过M向左作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）设直线、交于点G， ∵平分， ∴， 设 ∵， 由（1）得，， ∴， 由（1）得，， ∴， 过F作，则，， ∴， 于是得，，解得， ∴. （3）设， ∵平分， ∴， 过点T向右作， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴. 18．已知直线，点和点分别在直线和上，点在直线之间，连接． (1)如图，若，，则 ； (2)如图，若点是直线下方一点，连接与直线交于点，连接，分别是的角平分线，已知，．求的度数？ (3)如图，连接，点在点右侧且在直线上，过点在下方作，垂足为点，若，，平分．将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为秒，直接写出与的任意一条边平行时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）如图，作，可得，再利用平行线的性质即可求解； （）由角平分线的定义得，，进而由（）得，即得，得到，如图，作，得，又由平行公理的推论得，即得到，最后利用角的和差关系即可求解； （）利用角平分线可得，进而由平行线的性质可得，即得，又由垂直得，过作与的一条边平行，再分，，三种情况分别画出图形解答即可求解； 本题考查了平行线性质，平行公理的推论，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别是的角平分线， ∴，， 由()可得，， ∴， 解得， ∴， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作与的一条边平行，由题意知，分，，三种情况， 当即时，如图①， ∴， ∵， ∴，此情况不成立； 当，即时，如图②， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴； 当，即时，如图③， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴； 综上，当与的一条边平行时，的值为或． 19．感知发现：（）在学习平行线中，“启智”兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程； 探索思考：（）那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是“启智”兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：．请你写出证明过程； 综合与实线：（）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．“启智”兴趣小组的同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图．已知两直线且，在直角中，，，．“启智”兴趣小组的同学们发现，说明理由； 实践探究：（）如图，当时，是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）证明见解析；（），证明见解析． 【分析】（）过点作，由平行公理的推论得，即得，，据此即可求证； （）过点作，由平行线的性质可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定可得； （）由（）可得，再把代入即可求证； （）过点作，过点作，同理（）可得，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可求解； 本题考查了平行线的性质和判定，平行公理的推论，邻补角的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：过点作， ，， ∴， ，， ， （）证明：过点作， ， ， ，， ， ， ∵， ∴； （）证明：如图，由（）可得，， ∵， ， ； （）解：，理由如下： 如图所示，过点作，过点作， 同（）可得， ，，，，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键 （1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得． （3）利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$