专题03 三角形中的特殊模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题03.三角形中的特殊模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 1 模型2.风筝（鹰爪）模型 8 模型3.角内（外）翻模型 12 15 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 例2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则 ． 例3.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 例4．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数． 例5．（2023·江苏南京·七年级校联考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（______）∴，（等式性质） ∵，∴， ∴．（______） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题： ①如图①，在凹四边形中，，，求______； ②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______； ④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______； ⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数． 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 例2．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 例3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 模型3.角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1．（2024·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 例2．（2024·江苏泰州·七年级校考期中）在△ABC中，∠B＝33°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1—∠2的度数是 例3．（2024春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？      1．（23-24八年级上·江苏·期中）如图三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则与之间的关系是（     ）      A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁·期末）如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）如图，将沿折叠，使、与边分别相交于点、，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（    ） A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形中，，，，则的度数是 （含的式子表示）． 6．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）如图把三角形沿折叠，使点B落在点处．，，则 度．    7．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图：的度数为 ． 8．（2024·北京·八年级校考期中）如图，△中沿将四边形翻折，使点、点分别落在点和点处，再将△AEF沿AF翻折，使点落在点处，若，，则的度数为 ． 9．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，D是上一点将沿B折叠，使C点落在边上的点处，则 °． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数． 11．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 12．（2023·成都市·七年级专题练习）箭头四角形 模型规律 如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B． 因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝________．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝________． ③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝________度． （2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD=4，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD，∠BCD=120°，求四边形OBCD的面积． 13．（2022春·广东清远·七年级统考期末）（1）如图①，在四边形中，，，．直接写出与，，之间的关系． （2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算的度数． （3）如图③，在中，设，和的平分线，交于点O，过B作的平行线交的延长线于点，试用含的代数式表示的度数． 14．（2023春·山东·七年级校联考期中）实验探究：（1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边DE、分别经过点、，且，已知，则 ； ②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，那么 ； （2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决下列问题：①如图4，平分，平分，若，，求度数．②如图5，，的等分线相交于点，若，，则的度数为 ．    15．（2023春·江苏南京·七年级统考期中）如图，在和中，．点F与A位于线段所在直线的两侧，分别延长、至点、．    【特殊化思考】若时，请尝试探究： （1）当在内部时，请直接写出、与的数量关系为__________； （2）当在外部时，请直接写出、与的数量关系为__________； （3）若平分，平分．无论点在内部（如图③）还是外部（如图④）时，都有，请选择一幅图进行证明；    【一般化探究】若时，请尝试探究： （4）若射线、分别是，的等分线（为大于2的正整数），且，．当时，直接写出与需满足的条件：__________． 16．（2023·吉林白城·八年级统考阶段练习）[题目]如图①，∠BAC内部有一点D．连接BD，CD．着∠A=68°，∠ABD= 16°．∠ACD=24°，求∠BDC的大小； [应用]如图②，在五角星中，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=____度； [扩展]如图③，在∠BAD内部有两个向上突起的角，若∠ABE= 20°，∠ECF =45°，∠ADF =15°，∠A=70°，则∠BEC+∠CFD = 度． 17．（2023·浙江·八年级期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点， 研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由． 研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由． 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.三角形中的特殊模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 1 模型2.风筝（鹰爪）模型 8 模型3.角内（外）翻模型 12 15 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理 (2)见解析 【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理， 故答案为：三角形的内角和定理； （2）连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ，，即． 例2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则 ． 【答案】 【详解】如下图所示，连接BC，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠3=∠5，∠4=∠6， 又∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 例3.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 【详解】（1）∵，∴ ∵，∴，∴ ∵，∴ （2）过点作，交、于、，则， 由（1）知 ∵， ∴ 即（几何证明中后一问常常要用到前一问的结论） 例4．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）=++，理由见详解；（2）21° 【详解】解：（1）=++，理由如下：连接CD并延长到点E， ∵∠ADE＝∠ACD＋∠A，∠BDE＝∠BCD＋∠B， ∴∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠A＋∠BCD＋∠B，∴=++． （2）由第（1）题可得：=++，∴∠ADB-∠ACB=∠A+∠B=66°+24°=90°， ∵平分，平分，∴∠EDO-∠BCO=（∠ADB-∠C）=×90°=45°， ∵∠DOE=∠BOC，∴∠EDO+∠E=∠BCO+∠B， ∴∠B-∠E=∠EDO-∠BCO=45°，∴∠E=∠B-45°=66°-45°=21°． 例5．（2023·江苏南京·七年级校联考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（______）∴，（等式性质） ∵，∴， ∴．（______） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题： ①如图①，在凹四边形中，，，求______； ②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______； ④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______； ⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数． 【答案】（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤ 【详解】（1）∵，（三角形内角和180°） ∴，（等式性质） ∵， ∴， ∴．（等量代换） 故答案为：三角形内角和180°；等量代换． （2）如图，延长交于， ， ， 由三角形外角性质可知，，，∴． （3）①如图①所示，连接BC，根据（1）中结论，得， ∴，∴； ②如图②所示，连接BC， 根据（1）中结论，得，∴， ∵与的角平分线交于点，∴，, ∴， ∵，，∴，∴，∵，∴； ③如图③所示，连接BC，根据（1）中结论，得， ， ∵，，∴， ∵与的十等分线交于点，∴，, ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； ④如图④所示，设与的交点为点， ∵平分，平分，∴，， ∵，，∴, ∴, ∴，即； ⑤∵，的角平分线交于点，∴， ∴． 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，故①正确，②不正确； ∵多边形的外角和是，∴，故③④不正确，故答案为：①． 例2．（2023·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2） 【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：． 理由：连接，延长到． ，， ． （2）如图3中，结论：． 理由：连接．，， ，． [拓展延伸]①如图4中，，，， 、的外角平分线相交于点，， ，故答案为：25． ②，，，，故答案为：20． ③，． （2）如图5中，结论：．理由：设，． 则有．②①可得，， 即，故答案为：． 例3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2) (3)猜想，理由见解析(4)，理由见解析 【详解】（1）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，，∴ ∵，∴，∴； （2）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，∴ ∵，∴，∴； （3）解：猜想，理由如下：设交于M， 由三角形的外角的性质知：，， ，即； （4）解：，理由如下：设交于M， 由三角形的外角的性质知：，， ，，即， 模型3.角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1．（2024·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【详解】由折叠的性质可知 ∵ ∴ ∴故选C 例2．（2024·江苏泰州·七年级校考期中）在△ABC中，∠B＝33°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1—∠2的度数是 【答案】66° 【详解】解：如图，由折叠的性质得：∠D＝∠B＝33°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D， ∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+66°，∴∠1﹣∠2＝66°．故答案为：66°． 例3．（2024春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？      【答案】（1），（2）；（3）；（4）位置不改变，． 【详解】（1）结论： 理由：连接，         沿折叠A和重合，∴ ∵， ∴． （2） 理由：连接， 沿折叠A和重合，∴ ∵， ∴； （3）如图，延长，交于点Q，延长，交于点，则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ∴，∴，∵，∴； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ∴，，    由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即∴， ∴， ∴，∴，∴． 1．（23-24八年级上·江苏·期中）如图三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则与之间的关系是（     ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，，∵三角形的顶点落在折叠后的四边形内部， ∴，即， ∴，∴．故选：B． 2．（23-24七年级下·辽宁·期末）如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，折叠的性质计算求解即可． 【详解】解：如图，∵，，， 由折叠的性质可得，；，故选：D． 3．（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）如图，将沿折叠，使、与边分别相交于点、，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由翻折得：，， ，，， ，， ，，， ，，，故选：B． 4．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（    ） A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 【答案】D 【详解】解：∵∠6是△ABC的外角，∴∠1+∠4=∠6①， 又∵∠2是△CDF的外角，∴∠6=∠2-∠3②，由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3．故选D． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形中，，，，则的度数是 （含的式子表示）． 【答案】 【详解】解：延长交于点，如图， ，，是的外角，， 是的外角，，．故答案为：． 6．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）如图把三角形沿折叠，使点B落在点处．，，则 度．    【答案】 【详解】解：如图，设与交于点F，    ∵，，由折叠可得，，∴， 又∵，，∴，∴．故答案为：28． 7．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图：的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示：∵ ∴故答案为： 8．（2024·北京·八年级校考期中）如图，△中沿将四边形翻折，使点、点分别落在点和点处，再将△AEF沿AF翻折，使点落在点处，若，，则的度数为 ． 【答案】85°/85度 【详解】解：根据题意，在中，，∴，∴， 由折叠的性质，则，在中，， ∵，∴， ∴，∴；故答案为：85° 9．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，D是上一点将沿B折叠，使C点落在边上的点处，则 °． 【答案】40 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形三角和定理求出，再由折叠的性质得出，，，再由三角形内角和求出，即可得出，最后根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，，∴， 由折叠的性质可得出：，，， 在中，， ∴，∴，故答案为：40． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析(2) 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，等量代换思想解答即可；（2）根据，，得到，根据，得到，计算的度数． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下：∵是由翻折得到，∴， ∵，∴，∴． （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∴． 11．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20(2)54(3)；理由见解析 【分析】（1）连接，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出、，即可得出，根据，，，即可得出答案； （2）根据翻折得出，，根据三角形内角和得出，在根据，列出关于的方程，解方程即可得出答案； （3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出，，根据，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，连接，并延长到点E， 则、，∴，即， ∵，，，∴，故答案为：20； （2）解：∵将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处， ∴，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴． （3）解：；理由如下：如图3，由（1）知， ∵平分，∴， ∵平分，∴，∵，， ∴ 即． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 12．（2023·成都市·七年级专题练习）箭头四角形 模型规律 如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B． 因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝________．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝________． ③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝________度． （2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD=4，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD，∠BCD=120°，求四边形OBCD的面积． 【答案】（1）①2α；②85°；③(m+n)；（2） 【分析】（1）①由∠A+∠B+∠C=∠BOC=α，∠D+∠E+∠F=∠DOE=α可得答案； ②由∠BEC=∠EBF+∠ECF+∠F，∠F=∠ABF+∠ACF+∠A且∠EBF=∠ABF，∠ECF=∠ACF知∠BEC=∠F-∠A+∠F，从而得∠F=，代入计算可得； ③由∠BOC=∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C=（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C=∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC=（∠ABO+∠ACO）+∠BAC知∠ABO+∠ACO=（∠BO1000C-∠BAC），代入∠BOC=（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC=×（∠BO1000C-∠BAC）+∠BO1000C，据此得出∠BO1000C=（∠BOC+∠BAC）=∠BOC+∠BAC，代入可得答案； （2）由∠OAB=∠OBA，∠OAD=∠ODA知∠BOD=∠BAD+∠ABO+∠ADO=2∠BAD，结合∠BCD=2∠BAD得∠BCD=∠BOD，连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定得到四边形OBCD为菱形，再由含120°角的菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α， 在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α； ②如图3，∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF， ∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，∴∠F＝， ∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°； ③如图3，由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO， ∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO， ∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C， ∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC， 则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC）， 代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C， 解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC， ∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°+n°； 故答案为：①2α；②85°；③（m+n）； （2）如图5，连接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA， ∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD， ∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∴△OBC≌△ODC（SSS）， ∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO， ∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC， 又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形． 又∵BC＝CD=4，∠BCD=120°，∴OC=4，BD=,∴S菱形OBCD=． 【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质∠BOC=∠A+∠B+∠C及其运用，全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点． 13．（2022春·广东清远·七年级统考期末）（1）如图①，在四边形中，，，．直接写出与，，之间的关系． （2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算的度数． （3）如图③，在中，设，和的平分线，交于点O，过B作的平行线交的延长线于点，试用含的代数式表示的度数．    【答案】（1）；（2）（3） 【分析】（1） 延长交于点D，利用外角的性质可得，，从而得到；（2）连接，利用（1）中得出的结论可知：，，两式相加即可得解；（3）利用角平分线得到，再根据，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下：延长交于点D，如图①：       ∵是的外角，∴． ∵是的外角，∴，∴， 即与之间的关系为； （2）连接，如图②：根据图②中的条件，利用（1）中得出的结论可知： ，， ∴，即； （3）在中，， ∵和的平分线、交于点O，∴， ∴． ∵，∴， ∴ 即用含的代数式表示的度数为 【点睛】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 14．（2023春·山东·七年级校联考期中）实验探究：（1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边DE、分别经过点、，且，已知，则 ； ②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，那么 ； （2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决下列问题：①如图4，平分，平分，若，，求度数．②如图5，，的等分线相交于点，若，，则的度数为 ．    【答案】（1）①；②；（2）；理由见解析；（3）①；② 【分析】（1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D=180°，然后把∠D=90°代入计算即可；（2）根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠DBC+∠DCB+∠D=180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，即可求得∠A+∠ABD+∠ACD=180°-（180°-∠BDC）=∠BDC， （3）应用（2）的结论即可解决问题①②． 【详解】解：（1）动手操作：①如图1中，∵,∴，      ∴，，∴；故答案为：； ②如图2中，在中，∵，而，∴； 在Rt中，∵，即， 而，∴．故答案为； （2）猜想：；证明：如图3中，连接，         在中，∵，∴； 在中，∵， 即，而， ∴，即：． （3）灵活应用：①如图4中，由（2）可知，， ∵，，∴， ∵平分，平分，∴，∴； ②如图5中，由（2）可知：，， ∵,, ∴，, ∴，∴，故答案为． 15．（2023春·江苏南京·七年级统考期中）如图，在和中，．点F与A位于线段所在直线的两侧，分别延长、至点、．    【特殊化思考】若时，请尝试探究： （1）当在内部时，请直接写出、与的数量关系为__________； （2）当在外部时，请直接写出、与的数量关系为__________； （3）若平分，平分．无论点在内部（如图③）还是外部（如图④）时，都有，请选择一幅图进行证明；    【一般化探究】若时，请尝试探究： （4）若射线、分别是，的等分线（为大于2的正整数），且，．当时，直接写出与需满足的条件：__________． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理及平角的定义得到，再根据，即可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及平角的定义得到，再根据，即可得出结论；（3）选图3证明，根据角平分线的定义及（1）中的结论得出，再根据平行线的性质与判定证明即可；（4）先根据平行公理的推论得到，再根据平行线的性质及角平分线的定义即可得出与的关系． 【详解】解：（1）在中，， 在中，，， ，， ，， ，，故答案为：； （2）在中，， 在中，，， ，， ，， ，，故答案为：； （3）选择图③，证明：如图，过点作，，          平分，平分，，， 由（1）知， ，， ，，，； 选择图④，证明：如图，设与交于点， 平分，平分，，， 同（2）可得：， ，，， 是的一个外角，， 即，，； （4）证明：，只能在内部，如图，过点作， ，，连接，，， 又，， 又，，，， ， 又，， ， ，，， 即．故答案为：． 16．（2023·吉林白城·八年级统考阶段练习）[题目]如图①，∠BAC内部有一点D．连接BD，CD．着∠A=68°，∠ABD= 16°．∠ACD=24°，求∠BDC的大小； [应用]如图②，在五角星中，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=____度； [扩展]如图③，在∠BAD内部有两个向上突起的角，若∠ABE= 20°，∠ECF =45°，∠ADF =15°，∠A=70°，则∠BEC+∠CFD = 度． 【答案】∠BDC= 108°；180；150． 【详解】解：（1）连接BC．∵三角形内角和是180°∴∠A+∠ABC+∠ACB= 180° 又∵∠ABD= 16°，∠ACD = 24°，∠A=68°∴∠DBC+∠DCB = 72° 又∵∠D+∠DBC +∠DCB = 180°∴∠BDC= 108°． （2）连接BC，∵∠ODE+∠OED=180°-∠DOE ∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC ∠DOE=∠BOC ∴∠ODE+∠OED=∠OBC+∠OCB 又∵三角形内角和是180°∴∠A+∠ABE+∠ACD=180°-∠OBC-∠OCB ∴∠A+∠ABE+∠ACD=180°-∠ODE-∠OED ∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=180° （3）由（1）的结论可知∵∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠AEC ∠CFD=∠CAD+∠ADF +∠ACF ∴∠BEC+∠CFD =∠BAC+∠ABE+∠AEC+∠CAD+∠ADF+∠ACF ∠BEC+∠CFD=∠A+∠ABE+∠ADF +∠ECF =150° 17．（2023·浙江·八年级期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点， 研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由． 研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由． 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由． 【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由见解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由见解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由见解析 【详解】解：（1）∠BDA′=2∠A；根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A； （2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°， ∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°， ∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E， ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得， ∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A； （3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由：如图3，DA′交AC于点F， ∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′， ∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′， ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$