专题01 将军饮马模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题01 将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 1 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 5 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 9 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 12 15 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2023·厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作E关于直线AG的对称点，连接，交于点C，连接，则点C所在的木杆c应优先选择． ∵点E与点关于对称，∴，∴， 由两点之间线段最短可知此时的值最小．故选C． 例2．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：连接，过点作， ，，，，，，， 当、、三点共线且时，的最小值为， ，，即的最小值为，故答案为：． 例3．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，面积是24，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【详解】解：连接，．∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，∴，解得， ∵是线段的垂直平分线，∴点C关于直线的对称点为点A，∴， ∵，∴的长为的最小值， ∴的周长最短．故选：D． 例4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（    ）    A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如图，作于，交于，连接，， 在中，，，是等边三角形， ，，，，    点关于的对称点为点，，， 当、、在同一直线上且时，的值最小，为， 的最小值是，故选：B． 例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值 ．    【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作交于点，如图所示：    则，∴， ∵点E别是上的动点，∴时，有最小值 ∵，∴故答案为： 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （3）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）∵自来水厂到两村的距离相等，即MA=MB， ∴M在AB的垂直平分线上，如图：厂址应该选在M处； （2）由题意可知，若自来水厂到两村的输水管用料最省，即AN+BN最小， 如图，A′为点A关于CD的对称点，连接A′B，与CD交于点N，则厂址应该选在点N处； （3）若最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图， 可知P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大； 例2．（2024·贵州黔东南·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=3， AC=4， BC=5， EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点，则|PA-PB|的最大值为_______________ 【答案】3 【详解】解：如图所示，延长BA交直线EF于点P，此时|PA-PB|=AB=3最大，故答案为：3． 例3．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；    由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形，∴， ∴∴是等边三角形 ∴即：的最大值为故选：A． 例4．（2024·湖北·八年级期中）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ． 【答案】123° 【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB， ∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°， 又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°， ∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∵，∴， ∴，∵周长， ∴当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形，∴， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小6，故选C． 例2．（2024·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F． 此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF． ∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP， 同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP． ∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α． 又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4， ∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A． 例3．（2024·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM． ∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF， ∵FM+EN+EF≥MN，∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为MN=2CD， ∵CD⊥AB，∴•AB•CD=•AB•AC，∴CD===2.4， ∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：C． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（2024·广东·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ ∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH，、关于y轴对称， ∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴， ∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°， ∵轴，B、关于AG对称，∴,， ∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M， ∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴， ∴，同理可得,即．故选：B． 例2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，，， 的最小值为的长． ，，，，，， ，△为等边三角形，， 即 的值最小为3；故答案为：3 1．（2024·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作N关于BD的对称点，连结N，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则 ∵BD平分 ∠ABC ，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=， ∴根据两点之间线段最短可得CM+MN 的最小值为，即C点到线段AB某点的连线， ∴根据垂线段最短，CM+MN 的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度， ∵△ABC 的面积为 10 ，∴，∴CE=5，故选B． 2．（2024·广东七年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 【答案】A 【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D， ∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小， ∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4， ∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A． 3.（2024•绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 【答案】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°， ∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故选：B． 4．（2024·山东临沂市·八年级期末）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【详解】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，∴AD=4， ∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于直线EF对称，∴EF与AD的交点P即为所求， 如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值， 即PB+PD的最小值为4，故选：B． 5．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵，∴，， ∴．∴，故选：B． 6．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图所示，在边长为4的正三角形中，分别为的中点，点P是上一个动点，连接，则的周长的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：根据题意可得， 要使的周长最小，而一定，只要使最短即可，连接交于， ∵等边、、分别为、、的中点， ∴是中位线，∴，∴， ∴、关于对称，∴，∴， 当三点共线，即和重合时，此时最小，即的周长最小，， 最小值是：．故选：C． 7．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，已知，平分，，在上找一点M，在上找一点N，则的最小值是（   ）    A．40 B．32 C．24 D．20 【答案】D 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点，连接，，则，    ∴， 当，M，N在同一直线上且时，有最小值，且等于线段的长， 又∵∴， ∴中， ，∴的最小值等于20，故选：D． 8．（23-24八年级上·河南许昌·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点C为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A．4 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【详解】解：连接，      ∵是等腰三角形，点D是边的中点，∴， ∴，解得， ∵的周长，又是定值，∴当最小时，的周长最小， ∵是线段的垂直平分线，∴点C关于直线的对称点为点A，∴， ∴当A、G、D三点共线时，最小，最小值为的长， ∴的周长最短．故选：C． 9．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若分别是上的动点，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】过 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于 ，如图：    ∵ 平分 于点 于 ，∴， ∴ 是 最小值，此时 与 重合， 与 重合， ∵三角形 的面积为 ，∴，∴， 即 的最小值为 6 ；故选：D 10．（2024·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，，之间的关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接AP，∵直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，∴PA=PC，． ∵,∴． 由图可知CD为定值，当A、P、D在同一直线上时，最小，即为的长，∴此时最小． ∵D是边BC的中点，AB=AC，∴AD为的平分线，∴． ∵，即，∴．故选C 11．（2024·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）． 【答案】50 【详解】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即， ∴， ∵，∴， ∵，，∴ ， ∴ ．故答案为：50． 12．（2024·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________． 【答案】2 【解析】作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″, 由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R, △PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2, 所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等边三角形,所以,PP′=OP′=2．故答案为:2. 13．（2024·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______． 【答案】5 【分析】作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5． 【详解】解：如图， 作点关于射线的对称点，连接、，B'P． 则，，，． ∵ ，∴，∴ 是等边三角形，∴， 在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5． ∴的最大值是5．故答案为：5． 14．（2024·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 【答案】3 【详解】解：连接PC，∵在等边中，，P是的中线上的动点， ∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴=CP-PE， ∵在中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE， ∵E是边的中点，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3． 15．（23-24成都市七年级期末）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为1，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接， 则：， ∴，∴为等边三角形，∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，的周长最小，为的长，即为的长， ∴当最小时，的周长最小，过点作，过点作， ∴，， ∴，，∴点在平行于且距离等于的直线上， ∴当为与的交点时，的长度最小，此时， ∴周长的最小值为；故答案为：． 16．（2024·清远市八年级期中）如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________． 【答案】 【详解】解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″， 由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′， ∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F， ∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G， ∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，∴2∠AOB+∠GDF=180°，故答案为2∠AOB+∠GDF=180°． 17．（2023·安徽·合肥市八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ___． 【答案】5 【详解】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，∴CM＝MP，NP＝DN， ∴PM+PN+MN＝CM+MN+DN≥CD，∴当C、M、N、D点共线时，△PMN的周长最小， ∵∠BOA＝30°，OP＝OC＝OB，∴∠COD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OP， ∵P（5，0），∴OP＝5，∴CD＝5，∴△PMN的周长最小值为5，故答案为：5． 18（2023·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______． 【答案】30°##30度 【详解】如图连接BP．∵为等边三角形，∴AD为BC的垂直平分线，∴BP=CP， 　 ∵△PCE的周长=PE+CP+CE= PE+BP+CE，∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小， ∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图． 又∵点E为中点，AD为高，为等边三角形，∴P点即为等边角平分线的交点， ∴CP平分，∴．故答案为： 19．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：如图，作点分别关于，的对称点，，连接，交，于点，， 连接，． 此时，的周长最小，最小值为线段的长．∵，∴． ∵，∴是等边三角形， ∴，∴的周长的最小值为2． 20．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 【答案】16 【详解】解：连接交于，如图，    ∵点B关于直线的对称点是E， ∴， 当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大， 由得，∴， ∴面积的最大值为．故答案为：． 21．（2024·江苏·仪征市八年级阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线成轴对称的； （2）在直线上找出一点P，使得的值最大；（保留作图痕迹并标上字母P） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4 【分析】（1）分别作出△ABC的顶点关于直线l的对称点，顺次连接可得； （2）作射线A1C，与直线l的交点即为点P； 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，点P即为所求，此时|PA-PC1|的值最大； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01.将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 1 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 5 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 9 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 12 15 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2023·厦门·统考一模）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆，，，，，．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆，和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 例3．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，面积是24，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 例4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（    ）    A．5 B．6 C．8 D．9 例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值 ．    模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （3）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 例2．（2024·贵州黔东南·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=3， AC=4， BC=5， EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点，则|PA-PB|的最大值为_______________ 例3．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 例4．（2024·湖北·八年级期中）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 例2．（2024·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 例3．（2024·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 例1．（2024·广东·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 例2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 1．（2024·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·广东七年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 3.（2024•绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 4．（2024·山东临沂市·八年级期末）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 5．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图所示，在边长为4的正三角形中，分别为的中点，点P是上一个动点，连接，则的周长的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，已知，平分，，在上找一点M，在上找一点N，则的最小值是（   ）    A．40 B．32 C．24 D．20 8．（23-24八年级上·河南许昌·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点C为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A．4 B．9 C．11 D．13 9．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若分别是上的动点，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2024·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，，之间的关系是（       ） A． B． C． D． 11．（2024·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）． 12．（2024·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________． 13．（2024·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______． 14．（2024·福建福州·八年级期中）如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 15．（23-24成都市七年级期末）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为1，则周长的最小值为 ． 16．（2024·清远市八年级期中）如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________． 17．（2023·安徽·合肥市八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ___． 18（2023·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______． 19．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，为内一点，，分别为，上的动点，连接，，，且，则的周长的最小值为 ． 20．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 21．（2024·江苏·仪征市八年级阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线成轴对称的； （2）在直线上找出一点P，使得的值最大；（保留作图痕迹并标上字母P） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$