专题05 三角形中的特殊模型之高分线模型、双（三）垂直模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题05 三角形中的特殊模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.高分线模型 1 模型2.双垂直模型 5 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 7 11 模型1.高分线模型 三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，于点，平分交于点．若，则的度数为 ． 例2．（23-24八年级上·天津和平·期中）已知：在中，，平分交于点． (1)如图，于点D，若，，求的度数； (2)如图，于点D，若，，求的度数（用含、的式子表示）．    例3．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在中，是的角平分线． (1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个； (2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，． ①求的度数；②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数． 模型2.双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之间的关系。 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 例1．（2024·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠ABF的度数为 ． 例2．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）在非直角三角形ABC中，∠A＝40°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，则∠BHC＝ °． 例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．    模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：． 例2．（23-24七年级下·天津·阶段练习）如图，，则点C到直线的距离是 ． 例3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵（___________）， ∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 1．（2024·安徽淮北·八年级校考期中）将一副直角三角板（）按如图所示的方式摆放，其中顶点C与顶点F重合，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 2．（2024·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（    ） 的面积等于的面积；    ②； ③；        ④．    A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 3．（2024·云南文山·七年级校联考期末）如图，AE，AD分别是的高和角平分线，，，则的度数为（    ） A．40° B．20° C．10° D．30° 4．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的高，是的平分线．，．则等于（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·山东滨州·八年级统考期末）如图所示，在中，、分别是、边上的高，并且、交于点P，若，则等于（       ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏·七年级校联考期末）如图，在中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，，交于G，交于H，下列结论：①；②；③．其中正确的是 ． 7．（2024·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    8．（2024·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，平分，若，，则 ． 9．（2024·江苏八年级校考课时练习）已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角 求证：∠ACD=∠B 证明：∵AC⊥BC（已知） ∴∠ACB=90°（        ） ∴∠BCD是∠DCA的余角 ∵∠BCD是∠B的余角（已知）       ∴∠ACD=∠B（       ） 10．（2024·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式） 解：（1）∵，（已知）， 又∵（______）， ∴（______）． （2）∵（______）， ∴（等式的性质）． ∵（已知）， ∴（垂直定义）． ∴______（等量代换）．    11．（2024·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分． (1)求的度数；(2)求的度数；(3)直接写出，，三个角之间的数量关系． 12．（2024·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，已知的两条高相交于点，，，求的度数． 13．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图所示，在中，已知于D，于E，，，求的大小．    14．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，(1)求证：平分；(2)若，求证：．    15．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在中，分别是的角平分线和高线，，．(1)若，则_______；(2)小明说：“无需给出的具体数值，只需确定与的差值，即可确定的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确．    16．（2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末）如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，． (1)求的长度；(2)求的度数．    17．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，是的角平分线，是的边上的中线． (1)若的周长为13，，，求的长度； (2)若，的面积为10，，求点到的距离．    18．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图所示，在中，分别是上的高，是交点．(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．    12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形中的特殊模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.高分线模型 1 模型2.双垂直模型 5 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 7 11 模型1.高分线模型 三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，于点，平分交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】利用垂直的定义得到，再根据三角形内角和计算出，接着利用角平分线的定义得到，然后计算即可． 【详解】解：，，， 平分，∴， ．故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 例2．（23-24八年级上·天津和平·期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图，于点D，若，，求的度数； (2)如图，于点D，若，，求的度数（用含、的式子表示）． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质求出，即可求解； （）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴； （2）∵，，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，三角形角平分线，三角形的高和直角三角形的两锐角互余，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 例3．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在中，是的角平分线． (1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个； (2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，． ①求的度数；②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数． 【答案】(1)2(2)①；② 【分析】本题考查了三角形三条边的关系， （1）先三角形三边的关系求出的取值范围，再根据的长为偶数求解即可； （2）①过点A作于M，先求出，由角平分线的定义得，进而可求出，求出，进而可求出的度数； ②过点A作于M，由①可知，根据可求出的度数． 【详解】（1）∵，∴，∴， ∵的长为偶数，∴或6，∴符合条件的共有2个，故答案为：2； （2）①如图1，过点A作于M， 在中，， ∵是的角平分线，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴； ②过点A作于M， 由①可知，∵，∴，∴． 模型2.双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之间的关系。 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 例1．（2024·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠ABF的度数为 ． 【答案】15° 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠DAC的度数，从而求得∠AFE的度数，再根据三角形外角性质，即可得解． 【详解】∵AD为△ABC的高线，∴∠ADC=90°，∵∠C=60°，∴∠DAC=90°-∠C=30°， ∵BE为△ABC的高线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-∠FAE=90°-30°=60°， ∵∠AFE是△BFA的外角，∴∠ABF=60°-45°=15°，故答案为：15°． 例2．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）在非直角三角形ABC中，∠A＝40°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，则∠BHC＝ °． 【答案】140或40 【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC＝∠A，从而得解． 【详解】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°， 在△ABD中，∵∠A＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°，∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝50°+90°＝140°； ②如图2，△ABC是钝角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°， ∵∠ACE＝∠HCD，∠A＝40°，∴∠BHC＝∠A＝40°． 综上所述，∠BHC的度数是140°或40°．故答案为：140或40． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论是解题的关键． 例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．    【答案】(1)(2) 【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案； （2）利用等面积法，由代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴； （2）解：∵，，∴， ∵，，，∴． 【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据可得，再根据，即可求证． 【详解】证：∵，∴ 又∵，∴ 又∵，∴∴ 【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质． 例2．（23-24七年级下·天津·阶段练习）如图，，则点C到直线的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离．设点C到直线的距离是h，根据，即可求解． 【详解】解：设点C到直线的距离是h， ∵，∴， ∵，∴，解得：， 即点C到直线的距离是．故答案为： 例3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵（___________）， ∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；(2)见解析；(3)①；②． 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余以及三角形内角和定理填空即可； （2）利用等角的余角相等求出，然后根据对顶角相等可得，等量代换即可证明；（3）①利用等高的两个三角形面积的比等于底的比，求得，，然后根据即可求解；②连接，设，然后用含x的式子分别表示出、和，再根据列式求出x即可． 【详解】（1）证明：∵在中，（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）， 又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（三角形内角和定理），∴，∴． 故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理； （2）证明：∵平分，∴， ∵，∴，，∴， 又∵，∴； （3）解：①∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：；    ②连接，设，则，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴解得：， ∴四边形的面积，故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等高的两个三角形面积的比等于底的比，灵活运用“等高的两个三角形面积的比等于底的比”是解题的关键． 1．（2024·安徽淮北·八年级校考期中）将一副直角三角板（）按如图所示的方式摆放，其中顶点C与顶点F重合，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理和对顶角即可得． 【详解】解：如图所示，    ∵，∴，∴，故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 2．（2024·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（    ） 的面积等于的面积；    ②； ③；        ④．    A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断的面积等于的面积； ②先根据同角的余角相等证得，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角的性质得出，，即可得证； ③先根据同角的余角相等证得再根据角平分线的定义得出，于是推出；④无法证得AH=BH． 【详解】解：∵是的中线，∴， ∴的面积等于的面积，故①正确； ∵是的角平分线，∴， ∵是的高线，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵是的一个外角，∴， ∵是的一个外角，∴，∴，故②正确； ∵CF是的高线，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵是的角平分线，∴，∴，故③正确； 无法证得AH=BH，故④错误；故正确的有①②③ 故选∶B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键． 3．（2024·云南文山·七年级校联考期末）如图，AE，AD分别是的高和角平分线，，，则的度数为（    ） A．40° B．20° C．10° D．30° 【答案】B 【分析】由题意易得∠BAC=80°，∠AEB=90°，则有∠BAD=∠CAD=40°，然后根据三角形内角和可求解． 【详解】解：∵，，AE⊥BC，∴∠BAC=80°，∠AEB=90°， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=40°， 在△AEB中，∠AEB+∠B+∠BAE=180°，∴∠BAE=60°， ∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=60°-40°=20°；故选B． 【点睛】本题主要考查三角形的高线及角平分线、三角形内角和，熟练掌握三角形的高线及角平分线、三角形内角和是解题的关键． 4．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的高，是的平分线．，．则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了高的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据高的定义求出，再根据角平分线的定义求出，进而求出，结合三角形内角和定理求出的度数，问题即可得解． 【详解】解：∵是边上的高，∴， ∵，∴， ∵是的平分线，，∴， ∴， ∴， 又，∴，故选：B． 5．（2024·山东滨州·八年级统考期末）如图所示，在中，、分别是、边上的高，并且、交于点P，若，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据，可得的度数，然后根据可得的度数，最后根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：，， ，，，故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于、三角形外角的性质是解题的关键． 6．（2024·江苏·七年级校联考期末）如图，在中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，，交于G，交于H，下列结论：①；②；③．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理和对顶角相等，可证明①结论正确；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，，可证明②结论正确；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得到，再根据三角形内角和定理和对顶角相等，得出，可证明③结论正确． 【详解】解：设交于点J． ①∵，∴∵，∴， ∵，∴，①结论正确； ②∵平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，②结论正确； ③∵，，∴， ∵，，∴，， ∵，∴，∵, ∴，③结论正确，故答案为：①②③． 7．（2024·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】50或25/25或50 【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，∴ ∵平分∴ 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，∵，∴；       ②当时，如图2，∴， ∵，∴， 综上，的度数为或．故答案为：50或25． 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键． 8．（2024·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，平分，若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】根据角平分线的定义，得到，求出的度数，再利用垂直的定义和三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题．熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键． 9．（2024·江苏八年级校考课时练习）已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角 求证：∠ACD=∠B 证明：∵AC⊥BC（已知） ∴∠ACB=90°（        ） ∴∠BCD是∠DCA的余角 ∵∠BCD是∠B的余角（已知）       ∴∠ACD=∠B（       ） 【答案】垂直的意义；同角的余角相等． 【分析】先根据垂直的意义可得，从而可得是的余角，再根据同角的余角相等即可得证． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的意义）， ∴是的余角， ∵是的余角（已知）， ∴（同角的余角相等）， 故答案为：垂直的意义；同角的余角相等． 【点睛】本题考查了垂直的意义、同角的余角相等，掌握理解同角的余角相等是解题关键． 10．（2024·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式） 解：（1）∵，（已知）， 又∵（______）， ∴（______）． （2）∵（______）， ∴（等式的性质）． ∵（已知）， ∴（垂直定义）． ∴______（等量代换）．    【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；等量代换； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 【分析】根据三角形的外角定理、等量代换、等式的性质、垂直定义等进行填空即可． 【详解】（1）∵，（已知）， 又∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， ∴（等量代换）． （2）∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， ∴（等式的性质）． ∵（已知）， ∴（垂直定义）． ∴（等量代换）． 【点睛】本题考查了三角形的外角定理、等量代换、等式的性质、垂直定义等知识点，解题的关键是熟练相等的性质和定理． 11．（2024·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分． (1)求的度数；(2)求的度数；(3)直接写出，，三个角之间的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得的度数，再由平分，即可求解； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，即可求解； （3）根据，，三个角的度数，即可求解． 【详解】（1）解：在中，．∴． ∵平分，∴； （2）解：∵，∴． ∵，∴． （3）解：∵，∴，∵，∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 12．（2024·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，已知的两条高相交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形高线的定义及可知，再利用直角三角形的性质得到，最后利用三角形的内角和即可解答． 【详解】解：∵的两条高相交于点，∴， ∵，∴，， ∴在中，， 【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 13．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图所示，在中，已知于D，于E，，，求的大小．    【答案】 【分析】利用垂线的定义，可得出，再求出的度数，在中，结合，可得出的度数，再根据平角定义即可得答案． 【详解】证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及邻补角，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 14．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，    (1)求证：平分；(2)若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）证明，，再证明，从而可得结论； （2）先证明，可得，，，从而可得结论． 【详解】（1）证：在中， 在中， ∵，∴，∴，∴CE平分； （2）∵，∴ ∵在中，，而 ∴∴ ∵在中，∴ ∵在中，∴，∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练的证明并求解是解本题的关键． 15．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在中，分别是的角平分线和高线，，．    (1)若，则_______； (2)小明说：“无需给出的具体数值，只需确定与的差值，即可确定的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确． 【答案】(1)(2)小明的说法正确，理由见解析 【分析】（1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用角的和差即可求出； （2）根据（1）的思路求出，即可作出判断． 【详解】（1）∵，，，∴, ∵是的平分线，∴， ∵是高线，，， ∴； （2）∵是的平分线， ．是高线，，， ． 由可知：的度数与的具体数值无关，只和与的差值有关， 故小明的说法正确． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余和角的和差计算，属于基础题目，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键． 16．（2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末）如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，．    (1)求的长度；(2)求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出，根据三角形的面积求出，再求出结果即可； （2）求出，根据三角形的外角性质求，根据角平分线求出，再求出即可． 【详解】（1）解：∵点F是边的中点， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴, ∵为的角平分线，∴， ∴； 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高、三角形的面积等，要灵活运用知识点. 17．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，是的角平分线，是的边上的中线．    (1)若的周长为13，，，求的长度； (2)若，的面积为10，，求点到的距离． 【答案】(1)3(2)4 【分析】（1）首先根据中线的性质得到，然后根据的周长为13，即可求出的长； （2）首先根据三角形的面积公式求出的长度，然后根据角平分线的性质定理即可求解． 【详解】（1）∵是的边上的中线，∴， 又∵的周长为13，，，∴； （2）∵，的面积为10，，∴， ∵是的角平分线，∴点到的距离． 【点睛】本题考查三角形中线的定义和角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握和灵活运用知识点． 18．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图所示，在中，分别是上的高，是交点．(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．    【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据高的定义得，于是利用四边形内角和为可计算出，然后根据对顶角相等得到的度数；（2）设，则，由三角形外角定理可得，，可得，，由三角形内角和定理可得，即，可得，再根据三角形内角和定理可得，代入计算即可算出的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵、分别是边、上的高，∴， 而，∴，∴． （2）设，则，，分别是，上的高，，， ，，，， ，， ， ，，，． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和和四边形内角和，对顶角相等，熟练掌握三角形内角和定理进行求解是解决本题的关键． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$