精品解析：山东省青岛市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

青岛市2025年高二年级调研检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设分别是双曲线的左、右焦点，若C上存在一点W满足，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载了一种名为“刍甍”的空间几何体．如图，几何体中，四边形矩形，，，和都是正三角形，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是、的等差中项，直线，点为圆上任意一点，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列中，公差d，为其前n项和，，则（ ） A. B. C. D. 最大值为30 10. 曲线C的方程为，M为曲线C上任意一点，则（ ） A. 点在曲线C上 B. 点M横坐标的范围是 C. 若，则 D. 设是曲线C上不同两点，若，则 11. 长方体中，，E为棱CD上一点，，F是平面ABCD内一动点，，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在不与重合的点，使得平面 C. 棱上存在两定点，使得 D. 点的轨迹截直线所得弦长为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则_________ 13. 已知数列的前n项和，则__________． 14. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是__________，的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，且. （1）求的长度； （2）求证：平面. 16. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l方向向量为． （1）求直线l的一般式方程； （2）已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 17. 如图，在三棱锥中、底面ABD，．动点C在平面ABD内、且点A，C在直线BD两侧． （1）若四边形ABCD为正方形，求直线PC与平面PAB所成角大小； （2）若点C到平面PBD的距离为、求的面积的最小值． 18. 记数列的前n项和为． （1）证明：数列是等比数列； （2）数列满足：其中且． （i）求，并证； （ii）求． 19. 圆锥曲线有着丰富的光学性质．从抛物线的焦点F处出发的光线照射到抛物线上点，经反射后的光线平行于抛物线的轴．若点P在第一象限、直线l与抛物线相切于点P． （1）已知点，求切线l的方程； （2）过原点作切线l的平行线，交PF于点S，若． （i）求抛物线的方程； （ii）过准线上点N作圆的两条切线，且分别与交于两点和两点．是否存在圆M，使得当点N运动时，为定值？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛市2025年高二年级调研检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求直线的斜率，再求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的斜率为1，即， 又，所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程． 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 故选：C. 3. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意依次计算可判断选项正误. 【详解】由题： .则ACD错误，B正确. 故选：B 4. 已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底向量的定义以及向量共面的判定定理逐项分析判断即可. 【详解】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量， 对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误； 对于B：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误； 对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误； 对于D：假设，，共面， 则， 可得，方程组无解， 可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确； 故选：D. 5. 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程中表示椭圆的特征列式求解. 【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得，解得， 所以m的取值范围是. 故选：B 6. 设分别是双曲线的左、右焦点，若C上存在一点W满足，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直角三角形边与角的关系，可求得与，再结合双曲线的定义，即可得到与的关系，从而求得离心率. 【详解】因为且，结合双曲线的定义可知：， 所以，所以. 故选：C 7. 《九章算术》中记载了一种名为“刍甍”的空间几何体．如图，几何体中，四边形矩形，，，和都是正三角形，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二面角平面交点的定义，结合等边三角形以及等腰梯形的性质，根据锐角三角形定义，可得答案. 【详解】分别取、的中点为、，在平面内分别过、作的垂线， 垂足分别为、，如下图： 因为四边形为矩形，则且， 又因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则且， 因为，则， 因，则，故、、、四点共面， 在等边中，为的中点，则，同理可得， 所以，为二面角的平面角， 由等边与等边的边长都为，且、分别为、的中点， 则， 在等腰梯形中，因为，，， 则四边形为矩形，则，， 在和中，，， 所以，，则， 在中，， 所以平面与平面的夹角余弦值为. 故选：A. 8. 已知是、的等差中项，直线，点为圆上任意一点，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质可得直线所过定点，利用圆上点到定点的距离最大值，可得答案. 【详解】因为是、的等差中项，则，整理可得，则， 直线的方程可化为， 由可得，所以，直线过定点， 由圆，则圆心为，半径为， 当时，圆心到直线的距离取最大值， 圆心到直线所过定点距离为， 圆上任意一点到直线的距离最大值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列中，公差为d，为其前n项和，，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为30 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式，即可判断. 【详解】A.，故A正确； B，故B错误； C.，故C错误； D.因为数列的公差为，所以数列单调递减，且，所以的最大值为，故D正确. 故选：AD 10. 曲线C的方程为，M为曲线C上任意一点，则（ ） A. 点在曲线C上 B. 点M横坐标的范围是 C. 若，则 D. 设是曲线C上不同两点，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将点代入计算可得A正确，解不等式可知B正确，取特殊值可知存在点使得，C错误，分别对和分类讨论，利用两点间距离公式计算即可得，可知D正确. 【详解】对于A，将点代入可得，显然等式成立， 即点在曲线C上，所以A正确； 对于B，易知，即，解得，即B正确； 对于C，设，则， 显然当时，， 即存在点使得，因此C错误； 对于D，由，且， 当或时，， 当，此时， 当，此时； 若，即异号时，； 当时，不妨设，即，解得； 又，所以； 此时，即此时 当时， 不妨设， 可得， ； 所以 综上可知，，即D正确. 故选：ABD 11. 长方体中，，E为棱CD上一点，，F是平面ABCD内一动点，，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在不与重合的点，使得平面 C. 棱上存在两定点，使得 D. 点的轨迹截直线所得弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建系，设，由，得到点F的轨迹方程，进而逐个判断即可. 【详解】如图建系，易知， 设，则：， 由，可得：， 化简可得：， 对于A，若平面，易得 又，可得：， 联立，消去可得：，有解， 所以存在点F，使得平面， 对于B，由长方体性质可知，，要使得平面， 则必有,， 所以，联立， 可得或，此时点与重合，故B错误； 对于C:由化简可得：， 即点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上，且， 所以棱CD上存在两定点M，N，使得，故C正确； 对于D：在坐标平面中，直线的方程为：， 联立，可得：， ， 所以点的轨迹截直线所得弦长为，故D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列方程求. 【详解】因为，，， 所以，解得：. 故答案为：. 13. 已知数列的前n项和，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求数列的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】当时，， 当时，，当时，， 所以， ， 所以. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是__________，的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】利用焦半径公式表示，利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可得到答案. 【详解】 ①由题意得，，设，，，  则，，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，解得， ∴. ②∵，∴， ∵，∴，即， ∵，当且仅当时等号成立， ∴，即， ∴，即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线综合问题，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，且. （1）求的长度； （2）求证：平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用基底表示向量，再根据数量积公式，即可求解； （2）根据线面垂直的判断定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【小问1详解】 设， 由于，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，同理可证， 又因平面． 所以平面. 16. 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． （1）求直线l的一般式方程； （2）已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）三种选择均可确定直线斜率，然后由点斜式可得直线方程. （2）设圆心C的坐标为，由（1）可得，然后由可得圆心坐标，进而可得半径，即可得答案. 【小问1详解】 若选①与直线平行，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选②与直线垂直，则直线l的斜率k满足，解得 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选③直线l的方向向量为，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 综上，直线方程为： 【小问2详解】 设圆心C的坐标为，因为C在上， 所以① 因为A，B是圆上两点，所以有 即②.由①②得 所以圆心C坐标为，圆的半径 综上，所求圆的标准方程是 17. 如图，在三棱锥中、底面ABD，．动点C在平面ABD内、且点A，C在直线BD两侧． （1）若四边形ABCD为正方形，求直线PC与平面PAB所成角的大小； （2）若点C到平面PBD的距离为、求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，设点，求得平面的法向量，利用点面距得到，设C点到直线PB的距离为，表达出，求出的最小值，进而求出三角形面积最小值. 【小问1详解】 底面ABD，平面， 所以，， 因为，四边形ABCD为正方形，所以， 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，，， 设平面PAB的一个法向量为，则， 所以，解得，令，则，故， 直线PC与平面PAB的所成角为， 所以， 所以直线PC与平面PAB的所成角的大小为； 【小问2详解】 过A作直线平面ABCD，又， 以A为原点，AB，AD，AW所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，设点， 可得，，， 设平面PBD的一个法向量为，则， 所以，解得，令，则，得， 设点C到平面PBD的距离为d， 则， 所以或， 因点A，C在直线BD两侧，故，故舍去， 直线PB的单位方向向量为， 设C点到直线PB的距离为， 其中 则 ， 当且仅当时取等号， 综上，的面积 18. 记数列的前n项和为． （1）证明：数列是等比数列； （2）数列满足：其中且． （i）求，并证； （ii）求． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i），证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义，即可证明数列是等比数列； （2）（i）由（1）可得，利用递推关系可求，先证明构成等差数列，求出，再证明即可证明； （ii）记的和为，可得，再利用错位相减法可得答案. 【小问1详解】 因为①，②， 两式相减得：，即； 又因为，所以， 所以数列是首项为1，公比为2的等此数列 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得，则 对于且， 当时，；当时，， 所以构成等差数列，其公差为，首项为，共有项． 所以 因为，得， 所以， 所以； （ii）记的和为， 所以 所以， 两式相减得： 综上 19. 圆锥曲线有着丰富的光学性质．从抛物线的焦点F处出发的光线照射到抛物线上点，经反射后的光线平行于抛物线的轴．若点P在第一象限、直线l与抛物线相切于点P． （1）已知点，求切线l的方程； （2）过原点作切线l的平行线，交PF于点S，若． （i）求抛物线的方程； （ii）过准线上点N作圆的两条切线，且分别与交于两点和两点．是否存在圆M，使得当点N运动时，为定值？并说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由点P可得抛物线方程，然后设切线方程为，将切线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0可得斜率； （2）（i）法1，利用抛物线光学性质可得，然后由几何知识可得，即可得答案；法2，将切线方程设为，类似于（1）可得，注意到，然后由几何知识可得，即可得答案；法3，类似于法2可得切线斜率为，设直线l，PF的倾斜角分别为，经计算可得，然后由几何知识可得；法4，类似于法2可得，通过将过原点与切线平行的直线方程与直线PF的方程联立可得点S坐标，然后由结合两点间距离公式可得关于p的表达式，化简后可得答案； （ii）由（i）设，将方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，可得关于的表达式，然后由切线到圆心距离为1可得，代入表达式可得答案. 【小问1详解】 因为在抛物线上，所以，所以抛物线为 设切线方程为，与抛物线联立得：， 所以，所以 所以切线方程为： 【小问2详解】 （i）（法1）如图，因由光学性质可知轴， 因为入射角等于反射角，所以， 所以，所以， 所以，所以抛物线方程为 （法2）设切线l的方程为： 与抛物线方程联立得， 由，整理，即 如图，因为，所以，又因为， 所以，所以，即， 所似抛物线方程为 （法3）点在第一象限，同法2，求得 设直线l，PF的倾斜角分别为， 计算可得： 即，即，所以抛物线方程为 （法4）同法2，求得，所以过原点与切线平行的直线为： 直线PF的方程为：，解得点S的坐标为 因为，由两点距离公式可得 整理得，注意到：， 进一步整理可得：，所以，所以抛物线方程为 （ii）由（i）可得抛物线方程为：，则准线方程为： 设，， 将方程与抛物线方程联立，消去x并化简可得：， 又，则由韦达定理可得，同理可得. 则. 又与圆相切，则到圆心的距离为1， 则， 同理有， 则为方程的两根， 由韦达定理可得：. 则 注意到当时，切线中有一条与x轴平行，不合题意，则. 要使为定值，则，又，则. 故存在圆，使得当点N运动时，为定值. 【点睛】关键点睛：抛物线问题存在大量相等的线段或相等的角，解决问题时可合理利用，对于定值问题，常用思路是找到定值关于所设参数的表达式，然后证明表达式与参数无关. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $