精品解析：辽宁沈阳市重点高中五校联考2025-2026学年高一下学期期末调研数学试卷

2025－2026学年度（下）期末调研试题 高一年级数学试卷 命题：五中     校对：五中 时间：120分钟    分数：150分 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1－11题58分） 第二部分：非选择题型（12－19题92分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，若，则的值是（ ） A. B. C. -3 D. 3 2. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（ ）． A. B. 或 C. D. 或 4. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 若，则（ ）. A. B. C. D. 6. 如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱柱中，是棱上靠近的三等分点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若复数满足，则的最大值为3 D. 若（，），则 10. 已知函数 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于点 对称 B. 的图像关于直线 对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在 上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11. 已知正四棱柱中，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的半径为 D. 三棱锥的内切球的半径为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量、满足，，，则_______． 13. 已知函数的一个零点是，则的最小值是_______． 14. 圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根. （1）设、满足方程，求，； （2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16. 已知正四棱柱中，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）在线段上是否存在点P，当时，平面面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由． 17. 已知函数． （1）若，函数为偶函数，求的最小值； （2）若在上恰有4个零点，求的取值范围； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 18. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知， ． （1）求角B； （2）若M是△ABC内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由； （3）若D是△ABC中AC上的一点，且满足，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，，分别是棱，上的点（含端点）． （1）证明：平面； （2）若为棱的中点，且二面角的正切值为，求； （3）设点是边上的点（含端点）， （i）连接，求与面所成角的正弦值的取值范围（直接写结果）； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（下）期末调研试题 高一年级数学试卷 命题：五中     校对：五中 时间：120分钟    分数：150分 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1－11题58分） 第二部分：非选择题型（12－19题92分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，若，则的值是（ ） A. B. C. -3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算可求解. 【详解】因为，所以，又因为，，所以， 解得. 故选：A. 2. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算先计算，进而得，最后求复数的模即可. 【详解】由题意有：，所以， 所以， 故选：B. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（ ）． A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理可得：，解得， 因为，所以， 所以或. 故选：D 4. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质推理判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；利用线线、面面平行关系判断C；利用面面垂直及线面平行关系判断D. 【详解】对于A，由，，得，而，则，A错误； 对于B，由，得存在过的平面且与不重合，则， 由，得存在过的平面，则， 又，因此，又，则，B正确； 对于C，由，，，得与相交或平行，C错误； 对于D，由，，，得与相交、平行或异面，D错误. 故选：B 5. 若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可. 【详解】 可得. 因为 所以. 6. 如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B 7. 在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，再结合三角函数性质求三角形周长的取值范围. 【详解】由余弦定理可得，由正弦定理可得，， 得到，  所以，化简可得，即， 又因为为锐角三角形，得​，， 已知，由正弦定理可得​，则， 而， 所以， ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 则，，所以， 所以. 8. 三棱柱中，是棱上靠近的三等分点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于点，连接，根据得出，可求出的值，利用线面平行的性质得出，可得出，即可得出的值. 【详解】连接交于点，连接， 在三棱柱中，，所以，， 所以，所以，故， 因为平面，平面，平面平面， 所以，故，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若复数满足，则的最大值为3 D. 若（，），则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：令，由此即可验证；对于B：由模长公式以及复数乘法即可验证； 对于C：由复数的几何意义即可验证；对于D：令即可验证. 【详解】对于A：令，所以由复数模长公式有，但这与或矛盾，故A选项不符合题意； 对于B：令，所以，所以， 且，所以，故B选项符合题意； 对于C：令，若复数满足，则有（其中）， 所以，所以， 所以，即当且仅当即当且仅当时，有最大值为3，故C选项符合题意； 对于D：令可知，但这与矛盾，故D选项不符合题意. 故选：BC． 10. 已知函数 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于点 对称 B. 的图像关于直线 对称 C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在 上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图中的信息求出，再根据正弦函数的性质逐项分析. 【详解】由图可知：，的周期， 当时，，， ； 对于A，，错误； 对于B，，正确； 对于C，将向右平移： ，正确； 对于D，的大致图像如下： 欲使得在内方程有2个不相等的实数根，则，正确； 故选：BCD. 11. 已知正四棱柱中，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的半径为 D. 三棱锥的内切球的半径为 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用线线平行的传递性求得为异面直线与所成角，再在中利用余弦定理即可得解判断A，根据线面角的定义证明为直线与平面所成角，解三角形求其余弦即可判断B，对于C，结合条件可得等价于求正四棱柱的外接球半径，结合长方体性质可求半径，由此即可判断，对于D，由条件结合内切球性质求半径即可判断. 【详解】对于A，因为在正四棱柱中，， 所以四边形是平行四边形，则， 所以为异面直线与所成角，     由已知，四边形为正方形，，平面， 在中，，，则， 由余弦定理得，A正确； 对于B，因为平面，所以为直线与平面所成角， 在中，， ，， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为，B错误； 三棱锥的外接球也是正四棱柱的外接球， 正四棱柱的外接球的半径为，C错误， 设三棱锥的内切球半径为，三棱锥的表面积为，体积为， 则， 由， ， 所以 ，所以 ，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量、满足，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由及平面向量数量积的坐标运算可求出，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】因为，所以，即， 因为，，则，解得， 故. 13. 已知函数的一个零点是，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【详解】函数的一个零点是， 所以，， 所以由余弦函数性质可知，或， 解得或， 所以. 14. 圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥侧面展开图的弧度确定圆锥的母线，进而可求锥体和柱体的高，以此分别求体积后相减即可. 【详解】设圆锥的母线长为l，由题意得底面圆的半径， 则，可得，即母线， 所以圆锥的高， 因为是的中点，由三角形相似易得挖去圆柱的底面半径为1， 且圆柱的高，则该圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 则剩下几何体的体积． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根. （1）设、满足方程，求，； （2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数，设，则，再利用方程求解； （2）利用复数的几何意义表示向量，再根据向量与的夹角为钝角，最后利用向量的数量积求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数， 设，则，那么 代入 可得 ， 即， 则有，故. 【小问2详解】 设，则，故与， 那么，， 由于向量与的夹角为钝角， 那么且向量与不共线， 则解得 且， 故实数的取值范围为. 16. 已知正四棱柱中，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）在线段上是否存在点P，当时，平面面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)记和相交于点， 因为为正方形，所以为的中点.又M是的中点， 所以.又平面，平面， 所以平面. (2) 证明：因为为正方形，所以. 因为平面，平面，所以. 又，在平面内，且相交于点， 所以平面.又平面， 所以. (3)在线段上存在点P，当时，平面平面. 【解析】 【分析】(1) 利用线面平行的判定定理证明平面； (2) 利用线面垂直的判定定理证明平面，则有； (3) 先确定的值，再根据面面平行的判定定理证明两平面平行. 【详解】因为四棱柱是正四棱柱，所以底面为正方形，侧棱垂直底面，侧面均为矩形. (1)略 (2)略 (3) 在线段上存在点P，当，即时，平面面. 理由如下： 当时，为的中点. 取的中点，连接，，则有. 连接，因为四边形是矩形，M是的中点，是的中点， 所以，. 在正方形中，有，，. 所以，，四边形为平行四边形. 有，又，所以， 又平面，平面，所以平面. 同理可证：平面. 又，在平面内，且相交于点， 所以平面平面. 17. 已知函数． （1）若，函数为偶函数，求的最小值； （2）若在上恰有4个零点，求的取值范围； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简可得，根据为偶函数，可得，可求的最小值； （2）由题意可得，在上恰有4个零点，可得 ，求解即可； （3）由题意可得，令，不等式对任意的恒成立，可得，计算可求的取值范围. 【小问1详解】 ， 则． 因为为偶函数，所以，解得，所以的最小值为． 【小问2详解】 令，得． 由，得， 因为在上恰有4个零点，所以， 得，故的取值范围为． 【小问3详解】 不等式，即为， 得． 当时，不等式恒成立，符合题意． 当时，函数可看成关于的一次函数， 则依题意得，即， 因为，，所以，解得且． 综上，，则， 即，故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：恒成立问题，通常是通过转化成求函数的最值解决问题，本题转化成一次函数恒成立问题，只需满足在端点处的函数值大于等于0即可. 18. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知， ． （1）求角B； （2）若M是△ABC内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由； （3）若D是△ABC中AC上的一点，且满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当且仅当时等号成立，； （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变形即可求解，或者先利用余弦定理可得，再利用正弦定理边化角即可求解； （2）先利用向量的线性运算将用△的边长表示出来，再利用余弦定理以及基本不等式即可求解； （3）由可知BD平分∠ABC，利用三角形面积公式可得，最后利用正弦定理及三角恒等变形即可求解. 【小问1详解】 法1： ∵，∴， 由正弦定理得, 即， ∴， ∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； 法2： ∵，∴， ∴①， 在△ABC中，由余弦定理得，②， 由①②得，即 ∴由正弦定理得， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； 【小问2详解】 点是△内一动点，， ∴， ∴，∴， 由余弦定理知, 由基本不等式可得，即，， ∴，当且仅当时等号成立， ∴； 【小问3详解】 ∵，∴， ∴， 又∵余弦函数在上单调，∴，即BD平分∠ABC， 又∵，，∴①， 又∵，，∴②， 由①②可得， 所以 ， 又∵，且△为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，，分别是棱，上的点（含端点）． （1）证明：平面； （2）若为棱的中点，且二面角的正切值为，求； （3）设点是边上的点（含端点）， （i）连接，求与面所成角的正弦值的取值范围（直接写结果）； （ii）求的最小值． 【答案】（1）连接，在中，由余弦定理得， ，解得，所以， 所以， 又因为四边形为平行四边形，所以四边形为矩形， 所以，即， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面． （2） （3）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直和勾股定理证明. (2)通过构造线面垂直表示出二面角后再通过三角函数求得各边长, (3)(i)通过确定平面垂线为，证明线段上的点到平面为定值后，通过的范围求正弦值范围. (ii)展开三角形和三角形后，将三角形沿对称构造转化，平面展开后两点线段最短，得最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，过点作，垂足为，连接， 由(1)知，平面，平面，所以， 又，，平面，所以， 又平面，平面， 平面平面， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 则在中，， 因为底面，平面，所以， 在中，， 又为棱的中点，所以， 所以，则，所以， 在中，，所以， 设，在中，由余弦定理得，， 所以． 【小问3详解】 （ⅰ）因为，，，平面，所以平面， 则到平面的距离. 又，平面，所以平面， 所以线段上的点到平面的距离都为. 因此. 因为，， 所以. （ⅱ）将，在同一平面展开，将沿对称得， 点沿对称得， 则，当且仅当，，在同一直线上时，取得最小值， 所以， 当，，在同一直线上，且过点时，取得最小值，如图所示， 则， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $