热点12 空间中的平行与垂直（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点12 空间中的平行与垂直 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第17题，考察线面平行的证明 2023年，第16题，考察线面垂直的证明 2024年，第8题，考察线线、线面、面面垂直 2024年，第17题，考察线面平行的证明、线面垂直的性质 该内容依旧是北京高考数学的热门考点，预计会继续考査平行、垂直关系，并要求学生能够加以证明，一般为解答题的第(1)问，难度属于中档 题型1直线与平面平行的判定 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤：①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；②证明已知直线平行于找到(作出的)直线；③由判定定理得出结论 1．（2024·北京西城·三模）如图.在四棱锥P-ABCD中.平面.底面ABCD为菱形.E.F分别为AB.PD的中点. (1)求证：平面； 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． 3．（2024·北京通州·二模）如图，几何体ABCDE中，，四边形ABDE是矩形，，点F为CE的中点，，． (1)求证：平面ADF； 4．（2024·上海虹口·二模）如图，在三棱柱中，，为的中点，，. (1)求证：平面； 5．（2024·北京西城·一模）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． (1)求证：平面； 题型2线面平行证明线线平行 运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行. 1．（2024·北京海淀·三模）如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． (1)证明：； (2)证明：； 2．（2024·北京顺义·三模）如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形，，，，. (1)判断AD是否平行于平面CEF，并证明； 3．（2024·北京·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，． (1)设平面平面，求证：； 4．（2024·北京丰台·二模）在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点． (1)证明：为的中点； 5．（2024·北京房山·一模）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，．    (1)求证：； 题型3面面平行证明线线、线面平行 （1）利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交. （2）两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 1．（2024·北京大兴·三模）如图（1），在中，，，将沿折起到的位置，E，F分别为，上的动点，过作平面，交于点Q，使得平面，如图（2）. (1)证明：； 2．（2024·北京昌平·二模）如图，在棱长均为2的四棱柱中，点是的中点，交平面于点． (1)求证：点为线段的中点； 3．（2023·北京丰台·二模）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，． (1)求证：； 4．（2023·北京顺义·一模）如图，在长方体中，，，E是的中点，平面与棱相交于点F． (1)求证：点F为的中点； 5．（2022·北京·模拟预测）如图，三棱柱中，面面，．过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点． (1)求证：四边形为平行四边形； 题型4空间平行关系的探索性问题 1．（2022·23高三上·北京海淀·期末）如图，三棱柱中，侧面底面，分别为棱的中点. (1)求证：； (2)求三棱柱的体积； (3)在直线上是否存在一点，使得平面.若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 2．（2023·北京朝阳·二模）如图，在五面体ABCDEF中，面是正方形，，，，且． （1）求证：平面； （3）设M是CF的中点，棱上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由． 3．（2025·广东茂名·一模）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到. (1)线段上是否存在点，使得平面，并说明理由； 4．（2025·云南昆明·模拟预测）如图1，在△ABC中，将沿EF折起，使点A到达点位置，连接，得到四棱锥.如图2. (1)若平面平面，在线段上是否存在一点P，使得，如果存在，指出点P的位置；如果不存在，说明理由； 5．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，，，分别是，上的点，且，现将四边形沿向上折起成直二面角，设. (1)若，在边上是否存在点，满足，使得平面？若存在，求出；若不存在，说明理由. 题型5线面垂直的性质定理及判定定理 1.利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论； 2.要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论. 1．（2024·北京顺义·三模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，．    (1)求证：平面； 3．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； 4．（2024·北京·三模）如图，四边形ABCD为菱形，，把沿着BC折起，使A到位置. (1)证明：； 5．（2024·北京顺义·二模）在直三棱柱中，，D，E分别为棱，的中点.    (1)求证：； 题型6面面垂直的判定定理 要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直 1．（2024·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面平面； 2．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在三棱锥中，，，，.    (1)证明：平面平面； 3．（2021·北京西城·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点．    (1)求证：平面PBC⊥平面PAC； 4．（2023·北京丰台·三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面平面； 5．（2025·福建厦门·一模）如图，在三棱柱中，，，．    (1)证明：平面平面； 题型7面面垂直的性质定理 1.若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直的性质定理时,注意三点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线. 2.先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 2．（2024·北京朝阳·一模）如图，在三棱锥中，侧面底面，，.    (1)求证：； 3．（2024·北京平谷·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点； (1)若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点； 4．（2023·北京通州·三模）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.    (1)证明：. 5．（2023·北京东城·二模）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点. (1)设为的中点，求证：； 题型8空间垂直关系的探索性问题 1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．    (1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由； (2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比． 2．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； 3．（2024·黑龙江·二模）如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）. (1)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由； 4．（2023·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 5．（2023·贵州铜仁·二模）如图，在直三棱柱中，，． (1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程； 1．（2022·23高三上·北京海淀·期末）设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·北京·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下面结论中正确的是 .（填序号）    ①存在点，使得平面平面 ②存在点，使得平面 ③对任意点的面积都不等于 ④分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点， 3．（2023·北京大兴·三模）如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论:    ①存在点，存在点，满足∥平面； ②任意点，存在点，满足∥平面； ③任意点，存在点，满足； ④任意点，存在点，满足. 其中所有正确结论的序号是 . 4．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，矩形，，平面，，，，，平面与棱交于点. 再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知. (1)求证：； 5．（2024·北京海淀·二模）在三棱锥中，为的中点. (1)如图1，若为棱上一点，且，求证：平面平面； 6．（2024·北京朝阳·二模）如图，六面体是直四棱柱 被过点 的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为2的正方形，    (1)求证: ； 7．（2024·北京东城·二模）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面. (1)求证：； 8．（2024·北京东城·一模）如图，在五面体中，底面为正方形，.    (1)求证：； 9．（2024·北京·模拟预测）如图所示，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，为的中点.    (1)证明： 10．（2024·北京·模拟预测）如图，在直三棱柱中，已知，分别和的中点. (1)求证：平面； (2)判断与是否垂直，并说明理由； 11．（2023·北京西城·模拟预测）如图在几何体中，底面为菱形，，，，. (1)判断是否平行于平面，并证明； 12．（2022·山东青岛·一模）如图①，在梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题.      (1)证明：； 13．（2023·北京大兴·三模）如图，在三棱锥中，和都是等边三角形，点为线段的中点.    (1)证明:； 14．（2024·北京·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，，，．    (1)若平面，证明：平面； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点12 空间中的平行与垂直 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第17题，考察线面平行的证明 2023年，第16题，考察线面垂直的证明 2024年，第8题，考察线线、线面、面面垂直 2024年，第17题，考察线面平行的证明、线面垂直的性质 该内容依旧是北京高考数学的热门考点，预计会继续考査平行、垂直关系，并要求学生能够加以证明，一般为解答题的第(1)问，难度属于中档 题型1直线与平面平行的判定 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤：①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；②证明已知直线平行于找到(作出的)直线；③由判定定理得出结论 1．（2024·北京西城·三模）如图.在四棱锥P-ABCD中.平面.底面ABCD为菱形.E.F分别为AB.PD的中点. (1)求证：平面； 【详解】（1）取PC中点M，连接FM，BM. 在中，因为M，F分别为PC，PD的中点， 所以，. 在菱形ABCD中，因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 因此. 又因为， 所以. 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. 3．（2024·北京通州·二模）如图，几何体ABCDE中，，四边形ABDE是矩形，，点F为CE的中点，，． (1)求证：平面ADF； 【详解】（1）连结BE交AD于G，连结FG． 因为四边形ABDE是矩形，所以点G为BE的中点． 因为点F为CE的中点，所以FG是的中位线． 所以，又平面ADF，平面ADF， 所以平面ADF． 4．（2024·上海虹口·二模）如图，在三棱柱中，，为的中点，，. (1)求证：平面； 【详解】（1）连接，交于点，连接， 为的中点，在平行四边形中为的中点， 是的中位线，可得， 平面，平面， 平面； 5．（2024·北京西城·一模）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． (1)求证：平面； 【详解】（1） 如图，连接，设，连接． 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 题型2线面平行证明线线平行 运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行. 1．（2024·北京海淀·三模）如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． (1)证明：； (2)证明：； 【详解】（1）因为直线平面平面， 且平面平面，所以； （2）过作，垂足为， 由题意知：为矩形，可得， 由，则为等边三角形，且F为线段BC的中点，则， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 可得平面ABCD，且平面， 所以. 2．（2024·北京顺义·三模）如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形，，，，. (1)判断AD是否平行于平面CEF，并证明； 【详解】（1）不平行于平面，理由如下： 取中点， 因为，所以 则四边形为平行四边形，所以， 又，所以不平行于， 假设平面， 因为平面平面，平面 所以，与不平行于矛盾， 所以假设不成立，即不平行于平面； 3．（2024·北京·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，． (1)设平面平面，求证：； 【详解】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，则， 而平面平面，于是平面， 又平面，且平面平面，所以. 4．（2024·北京丰台·二模）在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点． (1)证明：为的中点； 【详解】（1）如图，连接，，在正四棱柱中， 由与平行且相等得是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面平面， 所以，是中点， 所以是的中点； 5．（2024·北京房山·一模）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，．    (1)求证：； 【详解】（1）因为平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以； 题型3面面平行证明线线、线面平行 （1）利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交. （2）两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 1．（2024·北京大兴·三模）如图（1），在中，，，将沿折起到的位置，E，F分别为，上的动点，过作平面，交于点Q，使得平面，如图（2）. (1)证明：； 【详解】（1）因为，所以，， 又因为、平面，， 所以平面，而平面，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以． 2．（2024·北京昌平·二模）如图，在棱长均为2的四棱柱中，点是的中点，交平面于点． (1)求证：点为线段的中点； 【详解】（1） 连接，因为交平面于点，平面， 所以平面，所以平面平面. 因为平面平面，平面平面， 所以，因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，因为点是的中点，所以点是线段的中点. 3．（2023·北京丰台·二模）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，． (1)求证：； 【详解】（1）因为平面平面，，，，四点共面， 且平面平面，平面平面， 所以. 4．（2023·北京顺义·一模）如图，在长方体中，，，E是的中点，平面与棱相交于点F． (1)求证：点F为的中点； 【详解】（1）证明：方法1：因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 所以， 连接， 因为，， 所以四边形是平行四边形. 所以，. 因为是的中点， 所以点为的中点. 方法2：连接. 因为，， 所以四边形是平行四边形. 所以 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面ACE，平面平面， 所以. 所以. 因为是的中点， 所以点为的中点. 5．（2022·北京·模拟预测）如图，三棱柱中，面面，．过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点． (1)求证：四边形为平行四边形； 【详解】（1）在三棱柱中，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，于是得， 而平面平面，平面平面，平面平面，则， 所以四边形为平行四边形. 题型4空间平行关系的探索性问题 1．（2022·23高三上·北京海淀·期末）如图，三棱柱中，侧面底面，分别为棱的中点. (1)求证：； (2)求三棱柱的体积； (3)在直线上是否存在一点，使得平面.若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)在直线上存在点，使得平面，证明见解析. 【详解】（1）证明：三棱柱中， 侧面底面，， 又因为侧面底面，底面， 所以平面，又因为平面， 所以； （2）连接 ,因为三棱柱中，所以. 因为，所以.又因为，且. 所以△是边长为2的正三角形.因为是棱的中点，所以， 又因为，，所以. 因为，底面， 所以底面.所以三棱柱的体积为 ； （3）在直线上存在点，使得平面. 证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为.连接. 因为，所以，故 由于为棱的中点，所以，故有 又为棱的中点，故为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面， 故在直线上存在点，使得平面. 此时，.                    2．（2023·北京朝阳·二模）如图，在五面体ABCDEF中，面是正方形，，，，且． （1）求证：平面； （3）设M是CF的中点，棱上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由． 【详解】解：（1） 证明：正方形中，， 又，，平面，所以平面； （3），平面，平面，平面， 又平面平面，平面，. 分别取DC，AB上点N，G，使得CN=BG=1，又，故四边形CNGB是平行四边形，，又NG在平面ADE外，BC在平面ADE内，平面ADE， 取DC中点H，则DH=EF=2，又，故四边形EFDH是平行四边形，， 又，M是CF的中点，故MN是中位线，，又MN在平面ADE外，DE在平面ADE内，平面ADE， 因为MN，NG相交于平面MNG内，所以平面MNG平面ADE，又平面MNG， 故此时平面ADE，. 3．（2025·广东茂名·一模）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到. (1)线段上是否存在点，使得平面，并说明理由； 【详解】（1） 存在，且为中点，证明如下： 取中点，连接， 因为为中点，所以，， 又平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 4．（2025·云南昆明·模拟预测）如图1，在△ABC中，将沿EF折起，使点A到达点位置，连接，得到四棱锥.如图2. (1)若平面平面，在线段上是否存在一点P，使得，如果存在，指出点P的位置；如果不存在，说明理由； 【详解】（1）在线段上存在一点P，使得， 在线段上取点P，使，在线段上取点Q，使，连接， 则，，且，而， 于是，四边形是平行四边形，， 而平面，平面，则平面，又平面，平面平面， 所以，此时点是线段上靠近点的三等分点. 5．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，，，分别是，上的点，且，现将四边形沿向上折起成直二面角，设. (1)若，在边上是否存在点，满足，使得平面？若存在，求出；若不存在，说明理由. 【详解】（1）存在，使得平面，此时. 证明如下： 当时，过作，与交于，连接， 则，又，得，因为， 所以且，所以四边形为平行四边形， 得，又平面，平面， 所以平面. 题型5线面垂直的性质定理及判定定理 1.利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论； 2.要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论. 1．（2024·北京顺义·三模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，因为且为的中点，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 在中，因为且， 所以，且， 因为四边形为矩形，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 设，在直角中，可得， 在直角中，可得， 因为，所以， 即，解得， 所以多面体的体积 . 故选：A. 2．（2024·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，．    (1)求证：平面； 【详解】（1）如图，连接AC，因平面，平面，则，. 又，则. 注意到，则为等腰直角三角形，其中，. 所以，又因为，平面，， 所以平面； 3．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； 【详解】（1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. 4．（2024·北京·三模）如图，四边形ABCD为菱形，，把沿着BC折起，使A到位置. (1)证明：； 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为四边形ABCD为菱形，且， 所以，为等边三角形， 所以，又面， 所以面，又面， 所以； 5．（2024·北京顺义·二模）在直三棱柱中，，D，E分别为棱，的中点.    (1)求证：； 【详解】（1）证明：连接，    因为，E为中点，所以， 因为是直三棱柱的侧棱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面； 因为平面， 所以. 题型6面面垂直的判定定理 要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直 1．（2024·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面平面； 【详解】（1）如图：    因为，，所以为等边三角形，， 又，所以，又， 所以. 因为，所以为直角三角形，所以. 又，，为平面内的两条相交直线， 所以平面，平面，所以平面平面； 2．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在三棱锥中，，，，.    (1)证明：平面平面； 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以，所以， 又，，面，面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 3．（2021·北京西城·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点．    (1)求证：平面PBC⊥平面PAC； 【详解】（1）取的中点，连接，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形. 因为，，所以四边形是正方形， 则，，所以， 得到，所以. 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面.因为平面，平面平面. 4．（2023·北京丰台·三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面平面； 【详解】（1）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以，所以， 所以平面平面. 5．（2025·福建厦门·一模）如图，在三棱柱中，，，．    (1)证明：平面平面； 【详解】（1）方法1：取的中点，连接，，      因为，所以，且， 因为，，为的中点，所以， 所以，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 方法2：设为在底面的射影，则平面， 因为，所以 射影为底面的外心，又为直角三角形，所以恰为斜边的中点， 因为平面，所以平面平面． 题型7面面垂直的性质定理 1.若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直的性质定理时,注意三点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线. 2.先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 2．（2024·北京朝阳·一模）如图，在三棱锥中，侧面底面，，.    (1)求证：； 【详解】（1）取中点，连接、， 由，，故、， 又、平面，， 则平面，又平面，故； 3．（2024·北京平谷·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点； (1)若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点； 【详解】（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM，如图： 因为，所以， 所以，N，Q，M四点共面． 因为直线平面，平面，平面平面， 所以．所以四边形是平行四边形． 所．所以为的中点． 4．（2023·北京通州·三模）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.    (1)证明：. 【详解】（1）证明：因为，O为BD的中点， 所以， 又因为平面平面BCD，平面平面，平面ABD， 所以平面BCD． 又因为平面BCD， 所以. 5．（2023·北京东城·二模）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点. (1)设为的中点，求证：； 【详解】（1）由题设知 因为平面 平面，平面 平面，， 所以平面． 因为平面， 所以. 因为为等边三角形，是的中点， 所以. 因为，平面， 所以平面． 所以. 题型8空间垂直关系的探索性问题 1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．    (1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由； (2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比． 【答案】(1)存在，点M的位置见解析 (2) 【详解】（1）因为四棱台的上、下底面都是正方形，且底面ABCD， 所以可以以为坐标原点，分别为轴建立如图所示坐标系， 则 ， 假设在底面内存在点M，满足平面CPQ，则可设， 有，则，即， 所以，， 故在底面内存在点，满足平面CPQ. （2）设，因为点T在平面CPQ内，所以可设， 则， 所以，所以，则， 连接，， 设平面CPTQ将四棱台分成上、下两部分的体积分别为， ， ，， 取的中点，连接，则，， 又平面，平面，所以平面， ， 所以， ， ，所以， 所以所求的上、下两部分的体积比为.    2．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； 【详解】（1）当点为中点时，平面平面， 证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以. 在正方形中，，所以， 在正方形中，，因为，所以， 因为面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 3．（2024·黑龙江·二模）如图，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE将折起，使得点A到点P位置，，N是棱BC上的动点（与点B，C不重合）. (1)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面平面，若存在，求；若不存在，说明理由； 【详解】（1）存在，； 理由如下：由，，，平面， 所以平面，又平面， 故，又，平面，故平面， 又平面,故平面平面，又平面平面， 平面，作，则平面，又平面， 故平面平面，由题意，不妨设， 则中，由等面积得，所以， 则，所以. 4．（2023·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且点为棱的中点 【详解】（1）证明：取的中点，连接、、， 因为且，故四边形为平行四边形，所以，且， 因为为的中点，则且， 因为、分别为、的中点，所以，且， 所以，且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为、分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. （2）解：当点为的中点时，平面平面，    因为四边形为矩形，则，因为，则， 因为四边形为菱形，则， 因为，则为等边三角形， 因为为的中点，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面， 因此，当点为的中点时，平面平面. 5．（2023·贵州铜仁·二模）如图，在直三棱柱中，，． (1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程； 【详解】（1）取棱BC的中点D，连接，AD．在等腰直角△ABC中，， 又，平面，故平面． 又平面，故平面平面，这两个平面的交线为． 在中，作，则有平面； 1．（2022·23高三上·北京海淀·期末）设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，则由平面平行的性质定理：得； 但当，时，可能有，也可能有相交， 如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面， 另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（2023·北京·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下面结论中正确的是 .（填序号）    ①存在点，使得平面平面 ②存在点，使得平面 ③对任意点的面积都不等于 ④分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点， 【答案】①②③ 【详解】在棱长为1的正方体中，连接，，连，如图，    对于①，正方体的对角面是矩形，则， 而平面，平面，则有平面，同理平面， 又平面，于是平面平面， 当为直线与平面的交点时，有平面平面，①正确； 对于②，平面，平面，则，而， 平面，因此平面，平面， 则，同理，又平面， 于是平面，当为直线与平面的交点时，平面，②正确； 对于③，由于平面，平面，则，令，而， 则，当且仅当时取等号， 因此的面积，所以对任意点，的面积都不等于，③正确； 对于④，由于平面平面，则在平面上的正投影图形 的面积与在平面的正投影图形面积相等， 显然点在平面上的投影在线段，投影长为， 于是投影图形面积为， 点到平面的距离为，于是， 由，，解得，所以存在点，使得，④错误. 故答案为：①②③ 【点睛】关键点睛：涉及动点的图形面积问题，设出变量建立函数关系是求解的关键. 3．（2023·北京大兴·三模）如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论:    ①存在点，存在点，满足∥平面； ②任意点，存在点，满足∥平面； ③任意点，存在点，满足； ④任意点，存在点，满足. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【详解】对①，当，分别为，的中点时，取中点，连接，则根据中位线的性质可得， 又平面，平面，故平面，同理平面，又，平面，故平面平面. 又平面，故平面.故①正确.    对②，当在时，∥平面不成立，故②错误； 对③④，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，. 设，，则，其中，故， 则当时，即. 故对任意的，存在满足条件，即任意点，存在点，满足.故③正确； 当，即在点时，若，则，不满足，即不在上，故④错误.    故答案为：①③ 4．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，矩形，，平面，，，，，平面与棱交于点. 再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知. (1)求证：； 【详解】（1）因为，平面，平面，故平面， 由矩形可得，平面，平面,故平面, 又 ，且平面，平面，故平面平面， 又因平面，故平面， 因平面，平面平面 所以，即； 5．（2024·北京海淀·二模）在三棱锥中，为的中点. (1)如图1，若为棱上一点，且，求证：平面平面； 【详解】（1）连接. 因为为的中点，所以. 又平面,所以平面. 因为平面 所以平面平面. 6．（2024·北京朝阳·二模）如图，六面体是直四棱柱 被过点 的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为2的正方形，    (1)求证: ； 【详解】（1）连接，直四棱柱，， 则点在平面内. 因为平面，且平面， 所以， 又底面为正方形，所以，又， 所以平面，平面， 故； 7．（2024·北京东城·二模）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面. (1)求证：； 【详解】（1）因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以； 8．（2024·北京东城·一模）如图，在五面体中，底面为正方形，.    (1)求证：； 【详解】（1）证明：底面为正方形,则，又平面，平面， 则平面，又平面平面，平面，故. 9．（2024·北京·模拟预测）如图所示，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，为的中点.    (1)证明： 【详解】（1）证明：正方形沿对角线折起后的不变关系为. 连接，，如下图：    因为，所以，同理得， 又因为平面且， 所以平面， 因为平面，所以. 10．（2024·北京·模拟预测）如图，在直三棱柱中，已知，分别和的中点. (1)求证：平面； (2)判断与是否垂直，并说明理由； 【详解】（1） 由于是对角线的中点. 设的中点为，则分别是的中点，故， 这就说明是平行四边形，故平行于， 而在平面内，不在平面内， 故平行于平面； （2） 记的中点为，由于，故， 又由于该三棱柱是直三棱柱，且，故平行于. 而垂直于平面，故垂直于平面， 而均在平面内，故两两垂直. 现在以为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，， 故，，从而， 这就说明垂直于； 11．（2023·北京西城·模拟预测）如图在几何体中，底面为菱形，，，，. (1)判断是否平行于平面，并证明； 【详解】（1）不平行于平面，理由如下： 取中点，    因为，所以 则四边形为平行四边形，所以，又，所以不平行于， 假设平面，因为平面平面， 平面 所以， 与不平行于矛盾，所以假设不成立，即不平行于平面； 12．（2022·山东青岛·一模）如图①，在梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题.      (1)证明：； 【详解】（1）在题图①中，因为，， 又E为AB的中点，所以，，所以四边形是平行四边形， 即，同理可得； 取的中点为，连接，如下图所示：    则易知，又，所以可得； 又，平面，所以平面； 又平面，即可得； 13．（2023·北京大兴·三模）如图，在三棱锥中，和都是等边三角形，点为线段的中点.    (1)证明:； 【详解】（1）证明：连接，，    因为和都是等边三角形，故，所以，同理得：， 又因为，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以. 14．（2024·北京·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，，，．    (1)若平面，证明：平面； 【详解】（1）证明：∵，，，即， ∴，即， ∵平面，平面， ∴， ∴，又平面，平面， ∴平面； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$