精品解析：河南省濮阳市2024-2025学年高三下学期一模数学试卷

2025年河南省濮阳市高考数学一模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的概念可求出结果. 【详解】由，得，得，得， 由，得或，得， 所以. 故选：A 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法求出 ，再根据共轭复数和复数减法的概念求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以，， 故选：D 3. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 写出抛物线的准线方程，根据该准线与圆相切求出实数的值. 【详解】由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆，抛物线的准线方程为， 由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也涉及了抛物线的准线方程，考查运算求解能力，属于基础题. 4. 我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（ ） A. 60 B. 72 C. 76 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用等差数列的性质及求和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为， 由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等， 所以每行的数字之和为. 故选：C. 5. 在中， ，，且的面积为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正弦定理角化边可得，再由三角形面积公式可得，最后根据余弦定理求解即可. 【详解】设中角所对的边分别为， 因为，所以由正弦定理可得， 又解得， 所以由余弦定理可得， 因为，所以， 故选：D 6. 已知椭圆的左顶点、上顶点分别为 ，右焦点为，过且与 轴垂直的直线与直线 交于点，若直线 的斜率小于为坐标原点，则直线 的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得，求得直线 的方程，进而求得，由，求得离心率的范围，将直线 的斜率与直线的斜率之比值的范围转化为与离心率的关系，计算即可. 【详解】由已知得，直线 的方程为， 设椭圆的焦距为，由题意设点，则，即， 所以，又， 所以，即， 设直线 的斜率与直线的斜率之比值为， 则，又，所以． 故选:D． 7. 截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥，满足，点 在内部（含边界）运动，且，则点 的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，所以点 的轨迹是以为球心，半径为的球面与内部（含边界）包含的平面相交所得的弧，即点 的轨迹是以正的中心为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧，在平面图形中求出弧长即可. 【详解】 由题意可知，正三棱锥，满足， 可得平面 ，得底面正的边长为，设正的中心为， 由，即， 得，又， 点 在内部（含边界）运动，且， 所以点 的轨迹是以为球心，半径为的球面与内部（含边界）包含的平面相交所得的弧， 即点 的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧， 如图，作 于，圆与 交点为，则， ， 所以，则，所以， 则点 的轨迹在内部（含边界）的弧所对的圆心角为， 则弧长为， 即点 的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为. 故选：A. 8. 表示大于或者等于 的最小整数，表示小于或者等于 的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得 在上单调递减，结合题意得出当时，要单调递减，且，分别代入的值进行判断即可． 【详解】由得 在上单调递减， 当时，， 当时，要递减，且， 对于A，当时，，不合题意，故A错误； 对于B，当时，，不合题意，故B错误； 对于C，当时，，符合题意，故C正确； 对于D，当时，，不合题意，故D错误； 故选：C． 【点睛】方法点睛：对于定义表示大于或者等于 的最小整数，应用与函数中，函数图象不易判断，可将选项中的值代入进行判断可简化问题． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据方差的性质判断即可； 对B，根据正态分布的对称性判断即可； 对C，根据回归直线的性质判断即可； 对D，根据独立性检验的性质判断即可 【详解】对A，由方差的性质可知，若随机变量满足，则，故A错误； 对B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确； 对C，根据回归直线过样本中心点可知C正确； 对D，由可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确 故选：BCD 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B. 【详解】因为，设 对A，知，易知 .选项A正确. 对C，因为，，，所以，，， 于是，选项C正确. 对D，若，则，即，则 . 由知.选项D正确. 对B，取，则，由知， 知，所以，即， ，此时，选项B错误. 故选：ACD. 11. 若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数 恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（ ） A. 是“学步”函数 B. （为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C. 若是的“学步”函数，且时，，则时， D. 若是 的“学步”函数，则在上至少有1012个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，得到，不存在，符合题意；B选项，得到，从而得到充要条件是 ；C选项，化简得到，，借助时，求解；D选项，赋值法结合零点存在性定理得到 在区间上均至少有一个零点，得到 在上至少有1012个零点. 【详解】对于A，是定义在R上的连续函数，且， 不存在，使得，故A错误； 对于B，函数 （为非零常数）是定义在R上的连续函数，且， 当 时，对于任意的实数x恒成立， 若对任意实数x恒成立，则，解得： ， 故函数 （为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 ，故B正确； 对于C，若是的“学步”函数，则，即， 因为时，， 当，，， 又因为，即，即， 所以，故C正确； 对于D，由题意得：， 令得：，所以与异号，即， 由零点存在性定理得： 在上至少存在一个零点， 同理可得： 在区间上均至少有一个零点， 所以 在上至少有1012个零点，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是_________. 【答案】3 【解析】 【分析】将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面积. 【详解】根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示： 则， 故. 又两向量的夹角为锐角， 故， 则该平行四边形的面积为. 故答案为：3. 【点睛】本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基础题. 13. 椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件．椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处．从椭球面镜的焦点射出的两条光线，经椭球面镜上的两点反射后汇聚于焦点，若，且，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用焦半径三角形的性质，即椭圆的几何定义，结合已知的线段比，就可以得到三边关系，从而利用勾股定理得到直角三角形，再解三角形即可得离心率. 【详解】 设椭圆的长轴长为 ，焦距为，短轴长为， 则， 由椭圆的定义得， 所以，因为，所以， 又，所以为椭圆的短轴端点． 设为椭圆的中心，因为， 所以，又在Rt中，， 所以，所以， 故答案为：. 14. 用一张 纸围绕半径为 的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示设圆柱体母线与截面的夹角为，如图②将其中一段圆柱体外包裹的 纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为若的最小正周期为，则__________此时，若再有，则__________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由圆柱的几何特征与三角函数性质求解 【详解】因为的最小正周期为，所以， 若，则的最大值是，最小值是， 则切口的最高点和最低点的竖直方向的距离为， 所以， 是锐角，所以． 故答案为； 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接 ，，因为为弧的中点， 则，为正三角形，于是， 因为平面，，则有平面， 又平面，于是， 而，平面， 因此平面，又平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）由为正三角形，证明，再利用线面垂直的性质得，进而利用线面垂直的判定推理平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，为 轴， 为轴，为 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 设直线与平面所成角为 ，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】关键点睛：第一问的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理，并灵活应用； 第二问的关键是建立空间直角坐标系，确保每个点的坐标准确无误的找到，再借助空间向量求解即可. 16. 假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求： （1）当接收到信号0时，传送的信号是0的概率； （2）在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据贝叶斯公式即可求；（2）由二项分布求. 【小问1详解】 记“传送信号0”， “传送信号1”， “接收信号0”. 可知，，，， 由贝叶斯公式得所求的概率为： ， 即当接收到信号0时，传送的信号是0的概率为. 【小问2详解】 在一次传送中，接收到0的概率为， 每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有， 所以. 17. 已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的动弦 过椭圆C的右焦点F，当 垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M． （1）求点M的坐标． （2）若直线 的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线 与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）证明：如图，由题意可得直线 的方程为，即 ， 设，由题可知， 所以 ，故直线 与 垂直， 联立，消去 得： ， 则，， 所以， 同理，， 所以， 故为定值. 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用 即可求点坐标； （2）先设出点坐标，再求 的斜率，判断直线 与 的关系，联立直线 与椭圆的方程，利用根与系数的关系求弦长，即可证明. 【小问1详解】 ， 解得 ，所以椭圆方程为 ， 又 ，所以右焦点， 当 垂直x轴时，不妨设，根据对称性可知点在 轴上， 且直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立， 消去得： ， 则 ， 化简得 ，解得， 所以直线的方程为， 令，解得，故点的坐标为. 【小问2详解】 略 18. 随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为. （1）试求，的值； （2）设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系； （3）设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和. 【答案】（1）， （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）由欧拉函数的定义，求和的值； （2）由素数的性质和欧拉函数的定义，求，探究与和的关系； （3）求数列的通项，错位相减法求. 【小问1详解】 易得， 不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则， 不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则， 不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则， 所以，. 【小问2详解】 在不大于的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有个， 因此. 由p，q是两个不同的素数，得，， 在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个， 于是， 所以. 【小问3详解】 根据（2）得， 所以， ， 两式相减，得， 所以， 故. 【点睛】方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 19. 已知函数，函数与的图象关于 对称， （1）求的解析式； （2） 在定义域内恒成立，求的值； （3）求证： ，. 【答案】（1） ， . （2） （3）证明：由（2）可知： ，则，即， 则. 又由（2）可知： 在上恒成立， 则在上恒成立且当且仅当时取等， 令，，则， 即 ， 则 ， 综上，，得证. 【解析】 【分析】（1）设图象上任意一点坐标为，利用其对称点在的图象上可得函数的解析式； （2）令 ，可得为的一个极大值点，求得，再证明当 时 ，在恒成立即可； （3）由（2）可知： ，可得，进而可得，利用在上恒成立，令利用可得答案. 【小问1详解】 依题意，设图象上任意一点坐标为， 则其关于 对称的点在图象上， 则， 则， 故 ； 【小问2详解】 令 ， ， 则 在恒成立，又， 且在上是连续函数，则为的一个极大值点， ， ， 下证当 时， 在恒成立， 令 ，， 当， ，在上单调递增， 当， ，在上单调递减， 故 ， 在上恒成立，又 ， 则 时， 恒成立， 综上， ； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需 恒成立即可；2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省濮阳市高考数学一模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前 项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（ ） A. 60 B. 72 C. 76 D. 80 5. 在 中， ，，且 的面积为，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左顶点、上顶点分别为 ，右焦点为，过且与轴垂直的直线与直线交于点，若直线的斜率小于为坐标原点，则直线的斜率与直线 的斜率之比值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ） A. B. C. D. 8. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（ ） A. 是“学步”函数 B. （为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C. 若是的“学步”函数，且时，，则时， D. 若是 的“学步”函数，则在上至少有1012个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是_________. 13. 椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件．椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处．从椭球面镜的焦点射出的两条光线，经椭球面镜上的两点反射后汇聚于焦点，若，且，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为______． 14. 用一张 纸围绕半径为 的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示设圆柱体母线与截面的夹角为，如图②将其中一段圆柱体外包裹的 纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为若的最小正周期为，则__________此时，若再有，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求： （1）当接收到信号0时，传送的信号是0的概率； （2）在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求. 17. 已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M． （1）求点M的坐标． （2）若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线 与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值． 18. 随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为. （1）试求，的值； （2）设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系； （3）设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和. 19. 已知函数，函数与的图象关于 对称， （1）求的解析式； （2） 在定义域内恒成立，求的值； （3）求证： ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $