精品解析：山东省青岛市青岛第五十八中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题

2025青岛五十八中高新校区高三上期末考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 4. 已知函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 7. 若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+ 8. 如图，在平整的地面上任一点O处观测点P处的太阳时，可以将太阳一日的运动轨迹看作一个圆，且这个圆在以O为球心，半径很大的球面上，白天观测到的轨迹是其在地面以上的部分.在点O处立一根杆 OA（A也可看作球心），它在地面上形成日影，且P，A，三点共线，则白天时点在地面上运动的轨迹不可能是（ ） A. 一个抛物线 B. 一条直线 C. 半个椭圆 D. 双曲线的一支 二、多选题 9. 南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ） A. 由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵 B. 1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加 C. 1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降 D. 此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡 10. 1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是( ) A. 若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则 B. 若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列 C. 若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的) D. 若最初有个桃子,则必有的倍数 11. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若双曲线的离心率为3，则______． 13. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为________. 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 四、解答题 15. 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 16. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求取值范围． 17. 在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，． （1）求证：； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 19. 椭圆曲线加密算法运用于区块链． 椭圆曲线．关于x轴的对称点记为．C在点处的切线是指曲线在点P处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线PQ与C有第三个交点R，则；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则；③若，规定，且． （1）当时，讨论函数零点的个数； （2）已知“”运算满足交换律、结合律，若，且PQ为C切线，切点为P，证明：； （3）已知，且直线PQ与C有第三个交点，求坐标． 参考公式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025青岛五十八中高新校区高三上期末考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出集合、，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】，， 所以， 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 3. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 4. 已知函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得在单调递增且在恒成立，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增， 要使函数在区间单调递减， 则在单调递增且在恒成立， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦两角和公式将展开成角与的两角和形式与与的两角和形式，建立等式关系结合已知等式即可得结论. 【详解】因为， 又， 所以， 因为， 则. 故选：B. 6. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可. 【详解】的展开式中的系数是 因为且，所以， 所以， 以此类推，. 故选：D. 【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用. 7. 若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+ 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线方程为，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 8. 如图，在平整的地面上任一点O处观测点P处的太阳时，可以将太阳一日的运动轨迹看作一个圆，且这个圆在以O为球心，半径很大的球面上，白天观测到的轨迹是其在地面以上的部分.在点O处立一根杆 OA（A也可看作球心），它在地面上形成日影，且P，A，三点共线，则白天时点在地面上运动的轨迹不可能是（ ） A. 一个抛物线 B. 一条直线 C. 半个椭圆 D. 双曲线的一支 【答案】C 【解析】 【分析】分析不同位置时在地面上运动的轨迹，即可得出结论． 【详解】由题意，由自然地理知识，以六个不同纬度讨论杆影轨迹形态． 1．赤道 春秋分日，赤道上的杆影轨迹为一条经过杆脚（原点）的东西向直线，与轴重合， 因为太阳正东升，太阳视运动轨迹垂直于地平面，故整个上午太阳均在正东方向，影子在正西方向， 正午太阳在天顶无杆影，下午太阳位于正西，杆影则在正东．除极点外， 全球任意纬度春秋分杆影轨迹均为一条东西向直线，北半球该线位于杆脚以北， 南半球则为以南，纬度越高，则直线离杆脚越远． 非春秋分日，赤道上的杆影轨迹为双曲线．春分至秋分，太阳直射点位于北半球， 赤道上观察太阳位于偏北方，故杆影轨迹位于杆脚的南侧，开口朝南．秋分至次年春分， 杆影位于杆脚北侧，开口朝北．日期越接近春秋分则双曲线的曲率越小， 日期越接近二至日，则曲率越大．二至日曲率最大，且离杆脚最远． 2．回归线之间（含回归线） 以为例，除春秋分外杆影轨迹为双曲线．春分至秋分，开口朝南；秋分至次年春分， 开口朝北，其中太阳直射时，杆影轨迹过原点（即杆脚）．北回归线上， 夏至日轨迹过原点． 3．回归线至极昼区边界 以为例，除春秋分外杆影轨迹为双曲线，曲率比低纬地区有所加大．春分至秋分， 开口朝南，夏至轨迹与和轴的交点分别为、；秋分至次年春分， 开口朝北，冬至轨迹与轴交点为．在春秋分，轨迹为直线， 该直线距轴为1个单位，因为正午影长与杆高相等．显然春秋分轨迹并不是两至日轨迹的对称轴． 4．极昼区边界中以南极圈为例，冬至日该地恰好出现极昼，轨迹为开口向北的抛物线． 值得一提的是，凡是极昼区与非极昼区分界纬线上（即刚出现极昼的纬线）， 其轨迹为抛物线，而并非椭圆．南极圈其他日期为双曲线或直线． 5．极昼区（除极点） 以为例，极昼期间轨迹为椭圆，24小时均有杆影， 正午与子夜太阳高度分别为最大和最小，杆影分别为最短和最长．椭圆长轴位于南北方向， 短轴位于东西方向，原点位于椭圆的焦点，越靠近极昼区的边缘，则椭圆的偏心率越大． 6．极点 春秋分日，太阳在地平线上，理论上杆影无限长，杆影轨迹无法表达．极昼期间， 极点的杆影轨迹为正圆，圆心为杆脚，因为太阳平行于地平面，一天内太阳高度不变． 越趋向夏至（或冬至日），圆的半径越小；越趋向春秋分，则圆半径趋向无穷大． 综合以上分析可知， 杆影轨迹共有双曲线、直线、抛物线、椭圆和圆5种线条类型．直线是春秋分日的特有形态， 全球（除两极）皆为直线．抛物线是刚出现极昼地区（如太阳直射那天，地区） 特有形态．椭圆是高纬地区在极昼时期的特有形态．圆是北极点和南极点的特有形态． 双曲线是全球各地的普遍形态，太阳直射点在北半球时则双曲线开口朝南，反之则朝北． 其中，直线为一条直线，抛物线, 半支双曲线，椭圆为一整个椭圆，故正确，错误． 故选：C. 二、多选题 9. 南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ） A. 由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵 B. 1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加 C. 1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降 D. 此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，分析相应的面积大小或面积变化，就能判断出选项A、B、C的正确与否，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，是由于志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而降低了不必要的死亡，所以D选项是正确的. 【详解】对于A选项，1854年4月至1855年3月,因为每个扇形白色部分面积远大于灰色部分的面积， 根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵远大于战场上因伤死亡的士兵；错误； 对于B选项，从右侧图像可以看出，冬季（12月至来年2月）相应的扇形面积，大于其他季节时扇形的面积，表明在冬季死亡人数相较其他季节显著增加，正确； 对于C选项，从左侧图像可以看出，1855年12月之后，每个扇形白色部分的面积较大幅度的在减少，表明因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降，正确； 对于D选项，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积、在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少， 因此，可以推断出随着志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而使得因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，大幅度降低了不必要的死亡，正确, 故选：BCD. 10. 1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是( ) A. 若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则 B. 若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列 C. 若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的) D. 若最初有个桃子,则必有的倍数 【答案】ABD 【解析】 【分析】设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，则,若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则,根据与关系即可判断A的正误;由A构造等比数列即可判断B的正误;根据B求出数列的通项公式,将代入求解即可判断C;根据题意,,又为等比数列,判断D的正误. 【详解】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则 , 若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则 , 所以, 即,故A正确; 由A，, 则, 即是等比数列, 若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则, 所以是以为公比的等比数列,故B正确. 由B知,是等比数列, 所以, 即, 若最初有个桃子,即, 所以,故C错误; 根据题意: 因为以为公比的等比数列, 所以, 化简得, 因为,且为正整数, 所以, 即必有的倍数,故D正确. 故选:ABD. 11. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得，，结合条件中，，从而在各直角三角形中得到的正余弦表示，对选项逐一分析判断即可. 【详解】因为在矩形中，， 又，，面，所以面， 又面，所以， 因为在矩形中，，所以，即， 因为，，，面， 所以面， 又在矩形中，，所以面， 又面，所以， 同时，易知在矩形中，， 对于A，在中，， 在中，， 在中，， 所以，故A正确； 对于B，在中，， 在中，， 又，且在中，为的斜边，则， 所以，故B错误； 对于C，在中，， 在中，， 又， 所以，故C正确； 对于D，在中，， 又，，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是利用线面垂直的判定定理与性质定理证得，，从而得到的正余弦表示，由此得解. 三、填空题 12. 若双曲线的离心率为3，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率列方程，解方程求得的值. 【详解】由题意，焦点在轴上， ； 故答案： 13. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为________. 【答案】240 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，采用并项求和的方法，即可求得答案. 【详解】由题意知，， 故数列的前30项和为 ， 故答案为：240 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）18. 【解析】 【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程； (2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即. 当y=0时，解得，所以a=4， 椭圆过点M(2，3)，可得， 解得b2=12. 所以C的方程：. (2)设与直线AM平行的直线方程为：， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值. 联立直线方程与椭圆方程， 可得：， 化简可得：， 所以，即m2=64，解得m=±8， 与AM距离比较远的直线方程：， 直线AM方程为：， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 由两点之间距离公式可得. 所以△AMN的面积的最大值：. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 16. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得，进一步即可证明； （2）由题意首先求得的取值范围，进一步将目标式子转换为只含有的式子即可求解． 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 所以， 而，则或， 即或（舍去），故． 【小问2详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以的取值范围是， 由正弦定理可得：，则， 所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． 17. 在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，． （1）求证：； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作，证得平面，得到，再由平面，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标，设，由，得到，求得，在求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程求得点的坐标，根据棱锥的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：作交于， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，且平面，， 所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 解：以为原点，以所在的直线分别为，建立空间直角坐标， 如图所示，则， 设，因为，所以， 因为，所以，即， 又由， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又因为为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， 因为，解得（舍去）或， 所以点或， 所以三棱锥的体积为. 18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. 【小问2详解】 （i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 19. 椭圆曲线加密算法运用于区块链． 椭圆曲线．关于x轴的对称点记为．C在点处的切线是指曲线在点P处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线PQ与C有第三个交点R，则；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则；③若，规定，且． （1）当时，讨论函数零点的个数； （2）已知“”运算满足交换律、结合律，若，且PQ为C的切线，切点为P，证明：； （3）已知，且直线PQ与C有第三个交点，求的坐标． 参考公式： 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性后求出极值，从而可判断零点的个数. （2）利用“”运算的性质计算后可得证明. （3）设直线的斜率，利用点在曲线上结合因式分解可求第三个点的坐标. 【小问1详解】 由题设可知，有， 若，则，则，此时仅有一个零点； 若，令，解得． 当或时，，当时，， 故在，上为单调递增； 在上单调递减. 因为， 若，则， 此时，而 故此时有2个零点； 若，则， 此时，而 故此时有2个零点； 综上， 当，所以有2个零点．当，所以有2个零点． 当，有，则有1个零点． 【小问2详解】 因为为C在点P处的切线，且，所以， 故，故， 因为“”运算满足交换律、结合律， 故， 故. 【小问3详解】 直线的斜率，设与C的第三个交点为， 则，代入得 ， 而， 故， 整理得到：， 故即， 同理可得， 两式相减得：， 故， 所以，故，故， 所以， 因此的坐标为： ． 【点睛】思路点睛：函数新运算问题，需根据运算的性质选择合理的计算顺序来处理等式，而三次函数的零点问题，注意结合极值的符号处理零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$