精品解析：湖南省常德市津市市第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

湖南省常德市津市第一中学2024-2025学年 高三下学期入学考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据先求出，再用集合交集的定义列举出集合的全部元素组成集合，即可得答案. 【详解】， 且， 因此. 故选：. 【点睛】本题考查集合的交集的运算，写出集合的交集时注意集合中元素的相同性，是基础题. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由复数的除法法则可得，. 故选：A. 3. 下列命题为真命题的序号是（ ） ① ②若向量和反向，则 ③若，则或 ④若，则为钝角三角形 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的相关概念结合平面向量的线性运算、数量积以及模长逐项分析判断. 【详解】对于①：，故①真命题； 对于②：若向量和反向，则， 若，当且仅当，故②假命题； 对③：若，则和的模相等不能得到或，③假命题； 对④：在中，若，则为锐角，即为钝角， 故为钝角三角形， ④真命题. 故选：D. 4. 函数，若实数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】判断的单调性可得，所以，求得的值即可求解. 【详解】由题意可得的定义域为， 上单调递增，在上单调递增， 若，所以，可得， 由可得，解得：， 所以， 故选：D. 5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题先求出椭圆中的长半轴长与半焦距，然后在再分别由勾股定理，椭圆和双曲线的定义求解双曲线的实半轴长，即可求出双曲线方程． 【详解】椭圆中，，双曲线的实半轴长， 在三角形中， ， 所以 ， 所以， 即， 所以，由题焦点在轴上， 故双曲线方程为， 故选：D． 6. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面.若正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，，则该棱台的对角面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱锥的性质得到两个棱锥的高之间的关系，再根据棱台的体积公式求出棱台的高，则可求出对角面的面积. 【详解】设截去小锥体的高为，棱台的高为，则，得. 由，解得. 所以对角面面积为. 故选：A. 7. 已知数列中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的单调性即可判断；通过猜想归纳证明，即可求得. 【详解】注意到，，，不难发现是递增数列． （1），所以． （2）因为，故，所以，即增函数． 于是，递增，递减， 所以，， 所以. 事实上，， 不难猜想：． 证明如下： （1）． （2）等价于， 所以， 故， 于是， 即有． 故选：C. 【点睛】本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题. 8. 已知实数，满足，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，代入可得式子的值；当，，令构造函数，利用导数判断单调性得最值即可. 【详解】∵， 当时，，则， 当时，， 令或， 则原式等价于， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 而时，，， 所以的最小值为， 故选：B. 二、多选题 9. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据事件的关系及运算求解． 【详解】解：由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以，，则，故A、B，C正确；故D错误. 故选ABC. 【点睛】本题考查事件的关系及古典概型的概率计算，属于基础题． 10. 已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点两点，和的内心分别为，则（ ） A. 始终垂直于轴 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由与的内切圆性质可得，和点的横坐标判断A、B；设出直线的倾斜角，求出的表达式并求出其范围判断C、D. 【详解】 由双曲线的离心率为2，得半焦距， 对于A，记的内切圆在边上的切点分别为， 则， ， 令点，则，解得，而轴，则点的横坐标为， 同理点的横坐标为，因此始终垂直于轴，故A正确； 对于B，由分别平分， 得， 所以，故B正确； 对于C、D，设直线的倾斜角为，则（为坐标原点）， 在中， ， 双曲线的渐近线为，其倾斜角分别为和， 由直线与双曲线的右支交于两点，得直线与双曲线的两条渐近线在轴右侧部分都相交， 因此，即，所以， 则，故C正确，D错误． 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义结合三角形的内切圆的性质，再结合三角函数的性质进行解答. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．则下列命题中正确的是（ ） A. ， B. 若，，，则方程的解集为 C. 对于任意实数，，是成立的充分不必要条件 D. 设，则函数的所有零点之和为-1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据高斯函数的定义，设，，求，根据参数的取值范围，可得答案； 对于B，根据高斯函数的定义，结合方程的求解，可得答案； 对于C，根据充分不必要条件，同A，设出表示，作差，可得充分性，举反例，可证必要性； 对于D，分是否为整数进行讨论，可得函数的性质，进而化简函数或研究其奇偶性，可得答案. 【详解】对于A，设，，则，所以， 因为，所以，所以，则，故A错误； 对于B，因为当时，，所以方程等价于， 又因为表示不超过的最大整数，所以恒成立，即对任意，恒成立， 所以方程的解集为，故B正确； 对于C，设，，由，则，易知， 设，则，但， 故对于任意实数，，是成立的充分不必要条件，故C正确； 对于D，当为整数时，； 当不是整数时，设的整数部分为，小数部分为，则，当时，，则，此时，则，即， 故，则 当为整数时，，令，解得，此时函数的零点为； 当不是整数时， ， 故函数为偶函数，则若存在零点，此时函数的所有零点之和为. 综上所述，函数的所有零点之和为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】分子、分母同时除以，将代入即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且最多用色，涂色方法有______种. 【答案】 【解析】 【分析】利用间接法，先考虑用种不同的颜色给图中个格子涂色的方法种数，减去个格子的颜色各不相同的涂色方法种数，即可得解. 【详解】利用间接法，用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色， 要求相邻的两个格子颜色不同，共有种不同的涂色方法； 若每个格子颜色各不相同，共有种不同的涂色方法. 综上所述，满足条件的涂色方法种数为. 故答案为：. 14. 已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的根转化为图象交点问题，画出图象，数形结合进行求解. 【详解】方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标， 因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点． 作出和的图象如图所示． 当时，只需直线与圆相离，可得； 当时，只需直线与圆相切，可得． 故k的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 15. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐且． （1）求角B； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）变形给定等式，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答. （2）由（1）结合已知求出边a，再利用三角形面积定理计算作答. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：，即， 由余弦定理得：，又， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知，而，则，，解得， 所以的面积 16. 如图，在三棱锥中，，平面，，分别为棱，的中点. （1）求证：； （2）若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质即证； （2）利用坐标法，结合条件可求，然后利用体积公式即求. 【小问1详解】 ，是的中点， ， 平面，平面， ，又， 平面， 平面， ； 【小问2详解】 ，， ， 取的中点，连接，则， 平面， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 由，取，得； 设平面的一个法向量为， 由，取，得， ∵二面角的大小为， ，解得， ， 则三棱锥的体积. 17. 新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次. （1）若，且其中两人患有该疾病， ①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率； ②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率； （2）已知每个人患该疾病的概率为. （i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望； （ii）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由. 【答案】（1）①；② （2）（i）；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）①根据分步乘法公式计算即可得解；②根据固定点概型计算即可； （2）（i）写出随机变量的所有可能取值，求出对于概率，再根据期望公式计算即可； （ii）求出分别求出两种方案期望，再根据幂函数的单调性即可得出结论. 【小问1详解】 解：①根据题意可得：； ②根据题意可得：； 【小问2详解】 解：（i）根据题意：X的取值为1，， ，， 所以； （ii）当时，方案一：检验的次数为5次， 方案二：检查的次数期望为， ， 记， 因为，所以单调递增， 当时，， 所以当时，，则， 当时，，则， 故当时，选择方案二； 当时，选择方案一； 当时，选择两种方案检查次数一样. 18. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的极值； （2）若的图象恒在直线的下方． ①求实数的取值范围； ②证明：对任意正整数，都有 【答案】（1）极大值为1，无极小值；（2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求得m的值，代入导函数方程，利用导数的方法判断其单调性，即可得求得极值. （2）①函数的图象恒在直线的下方等价于在上恒成立，即恒成立．设，利用导数的方法判断其单调性，求得极值，即可得答案；②令，可得，化简整理可得，利用累加法求和，即可得证. 【详解】（1）， 因为曲线在处的切线与直线垂直， 所以，解得， 故， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数． 故的极大值为，无极小值． （2）①函数的图象恒在直线的下方等价于在上恒成立， 即恒成立． 令，则， 令，得． 当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 故的最大值为，所以实数的取值范围是． ②由①可知，令，则，即对恒成立． 令，则， 所以 所以， 即． 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求极值、恒成立问题、利用导数证明不等式等知识，难点在于适当构造函数，并利用导数分析函数的单调性和极值，再进行求解，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题. 19. 在直角坐标系xOy中，椭圆经过点，短半轴长为.过点作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线PA，PB的斜率分别为和. （1）求C的标准方程； （2）证明是定值，并求出该定值； （3）设点，证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标. 【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）证明见解析，或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆所过的点及短半轴长、椭圆参数关系求椭圆方程； （2）将椭圆中心作平移为，齐次化法设对应平移后直线方程为，进而有，结合“1”的处理得到和是的两个根，应用韦达定理即可证明结论； （3）由题意，设，并得到、，代入等量关系式，结合（2）结论整理得，联立椭圆求出定点，即证结论. 【小问1详解】 由已知得，则的标准方程为. 【小问2详解】 将椭圆向右平移个单位，再向下平移1个单位得， 即， 运用齐次化方法，构造平移后的直线， 设，则过点，则， ， 整理得， 显然和是的两个根， ，， ，得证. 【小问3详解】 根据角平分线性质，可得，设， 直线：，令，得，同理， 代入，则， 两边平方化简得， 即， 即，得，即满足条件的轨迹是一个定圆， 联立其和椭圆，得，解得或（舍）， 综上，椭圆上存在点或使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：第二问，将作为坐标中心，写出对应椭圆、直线方程，进而有和是的两个根，第三问，利用及、得到的轨迹为关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市津市第一中学2024-2025学年 高三下学期入学考试数学试题 一、单选题 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题为真命题的序号是（ ） ① ②若向量和反向，则 ③若，则或 ④若，则为钝角三角形 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 4 函数，若实数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（   ） A. B. C. D. 6. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面.若正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，，则该棱台的对角面面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，满足，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）. A. B. C. D. 10. 已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点两点，和的内心分别为，则（ ） A. 始终垂直于轴 B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．则下列命题中正确的是（ ） A. ， B. 若，，，则方程的解集为 C. 对于任意实数，，是成立充分不必要条件 D. 设，则函数的所有零点之和为-1 三、填空题 12 已知，则_____. 13. 用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且最多用色，涂色方法有______种. 14. 已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐且． （1）求角B； （2）若，求的面积． 16. 如图，在三棱锥中，，平面，，分别为棱，的中点. （1）求证：； （2）若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 17. 新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次. （1）若，且其中两人患有该疾病， ①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率； ②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组概率； （2）已知每个人患该疾病的概率为. （i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望； （ii）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由. 18. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的极值； （2）若的图象恒在直线的下方． ①求实数的取值范围； ②证明：对任意正整数，都有 19. 在直角坐标系xOy中，椭圆经过点，短半轴长为.过点作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线PA，PB的斜率分别为和. （1）求C的标准方程； （2）证明是定值，并求出该定值； （3）设点，证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $