精品解析：吉林省长春市榆树市2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

2024-2025学年度上学期11月北片联考九年级数学 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 方程3+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【详解】原方程可化为：， ∵负数没有平方根， ∴原方程无实数根. 故选D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据最简二次根式的定义判断即可． 【分析】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．是最简二次根式，故本选项符合题意； D．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖率为的奖券100张，一定中奖”是必然事件 B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件 C. 天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 D. “清明时节雨纷纷”为随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、概率的意义，根据随机事件的概念、概率的意义逐项分析即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、“买中奖率为的奖券100张，一定中奖”是随机事件，原说法错误，不符合题意； B、汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，原说法错误，不符合题意； C、天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天可能下雨，原说法错误，不符合题意； D、“清明时节雨纷纷”为随机事件，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿年年年， 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标为， 故选：C． 6. 如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形， ∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3， ∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9， 而四边形ABCD的面积等于4， ∴四边形A′B′C′D′的面积为9． 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键． 7. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 根据可得，代入即可求解． 【详解】∵， ∴， 即， ∴． 故选：C． 8. 如图，在平行四边形中，为上一点，，连结交于点，若的面积为4，则四边形的面积等于（ ） A. 50 B. 35 C. 31 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据四边形是平行四边形得到，得到，结合得到，即可得到，结合的面积是4即可得到四边形的面积，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， 设高的公比为k，底的公比为m， ∴，，，， ∵的面积是4， ∴，即， ∴， ∴四边形的面积是：， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 计算：___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式除法运算，直接根据二次根式除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入得到得 然后利用整体代入的方法进行计算． 【详解】∵2是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴n＋m＝−2， 故答案为−2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的定义是解决本题的关键. 11. 将抛物线向右平移2个单位所得函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据左加右减，上加下减进行作答即可． 【详解】解：∵将抛物线向右平移2个单位， ∴， 故答案为：． 12. 一个口袋中装有两个红球，一个白球，从口袋中随机摸出两球．若规定：是同一颜色，甲获胜；不是同一颜色，乙获胜，则可知甲、乙两人中______获胜的机会大． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画出树状图如图： ， 共有6种等可能出现的结果，其中摸出的两球是同一颜色的结果有2种，不同颜色的结果有4种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ， 甲、乙两人中乙获胜的机会大， 故答案为：乙． 13. 如图，为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点．若，则弧的长为_____． 【答案】π 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握弧长公式是解答此题的关键．连接，根据圆周角定理可得出，根据弧长公式即可得出结论． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 弧的长． 故答案为：． 14. 如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得，，从而可得，，然后证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 三、解答题（共78分） 15. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．先化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】先求出的值，再代入公式求出答案即可． 【详解】解：， 这里a=3，b=6，c=-4， ∵， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 17. 若代数式的值与的值互为相反数，求的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，以及相反数．利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 去括号得：， 解得：，． 故答案为：，． 18. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年型车的销售总额为万元，今年每辆车的售价比去年减少万元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少万元，求今年每辆型车的售价. 【答案】万元． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题中等量关系列出方程即可，解题的关键是理解题意，列出方程． 【详解】设今年每辆型车的售价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：今年每辆型车的售价为万元． 19. 如图，公园原有一块长，宽的矩形空地．后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域鲜花面积和为，求所铺设的石子路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设铺设的石子路的宽度为，则余下部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植花卉的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设铺设的石子路的宽度为，则余下部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：铺设的石子路的宽度为． 20. 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）图①中，画出的圆心； （2）图②中，在边上找到一点，使得平分； （3）图③中，在上找到一点（不与点重合），使得． 【答案】（1） 如图，点O即为所求： （2） 如图，点D即为所求： （3） 如图点E即为所求： 【解析】 【分析】（1）由为可得为直径，利用格点找出的中点即可得到圆心； （2）利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D； （3）在格点上找到点H，使得，延长交圆于点E，由垂径定理可得，进而可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线和垂线，格点作图，圆周角定理，垂径定理等，掌握格点作图的特点，综合运用上述知识点是解题的关键． 21. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点为的中点，连结并延长到点，使，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，则______． 【答案】（1） 证明：是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识； （1）由题意易证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得出，即证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质可得出，，根据矩形的性质可得出，，，最后由锐角三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， 四边形是矩形， ，，， ． 故答案为． 22. 如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28】 【答案】14.3米 【解析】 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ADE，解其可得DE的长，进而借助BC＝EC+EB可解即可求出答案． 【详解】过点D作DE⊥BC交BC于E， 在△CDE中，有CE＝tan52°×DE＝1.28×10≈12.8， 故BC＝BE+CE＝1.5+12.8≈14.3， 答：旗杆的高度为14.3米． 【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 23. 如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度是？ 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵OA=1，OB=2， ∴AB=3， ∵a∥b∥c， ∴， 即， ∴； ∴DE的长度是． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键． 24. 如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，与相切于点D，连接交于点E． （1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为2，求的长．（结果保留π） 【答案】（1） 所在直线与相切，理由如下： 连接，过点O作于点H， ∵与相切， ∴， ∵是等腰直角三角形，O为的中点， ∴平分， ∵， ∴， ∴所在直线与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连结，过点O作于点H，由切线的性质得到，由等腰三角形的性质推出平分，由角平分线的性质得到，即可证明所在直线与相切． （2）求出，由弧长公式即可计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴ 的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，弧长的计算，直线与圆位置关系的判定，等腰直角三角形，角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出；掌握弧长公式． 25. 如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米． （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题主要考查求二次函数解析式以及二次函数的应用： （1）用待定系数法运用顶点式设出函数解析式，再把代入，求出的值即可； （2）当时，，即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为 ， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 当时， ∴球不能射进球门． 26. 如图，在中，，，，动点P从点A出发沿方向以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点Q，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．设点P的运动时间为t秒． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）． （2）当点R落在边上时，求t的值． （3）当C、R、Q三点共线时，求t的值． （4）当为钝角三角形时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间即可求解； （2）先证明，可得，再根据，即可求解； （3）利用三角函数求出 ， ，当C、R、Q三点共线时，可证出，进而得到 即 ，即可求解； （4）分情况进行讨论，①如图2，过C作于D，当点R在上时 ，当点R在左边时，为钝角，先证出四边形为正方形，再利用三角函数求出，，再证出，进而得到，即可求出，进而可分析出t的取值范围，②如图3，当点R在边上时， ，若点R在外，则为钝角，先证出，即可得到，进而求出，再根据点P最多只能运动到点C上，即可分析出t的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 故答案为： 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 由旋转知， 当C、R、Q三点共线时，如图1， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：由（2）得， ∴， ∴不可能是钝角， 若点R在内部，也不可能是钝角， ①如图2，过C作于D，当点R在上时 ，当点R在左边时，为钝角， ∵ ， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，为钝角， ②如图3，当点R在边上时，，若点R在外，则为钝角， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 又∵点P最多只能运动到点C上， ∴， ∴当时，为钝角， ∴当或时，为钝角三角形． 【点睛】本题考查几何变换综合题、矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期11月北片联考九年级数学 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 方程3+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖率为的奖券100张，一定中奖”是必然事件 B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件 C. 天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 D. “清明时节雨纷纷”为随机事件 4. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 7. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 9 8. 如图，在平行四边形中，为上一点，，连结交于点，若的面积为4，则四边形的面积等于（ ） A. 50 B. 35 C. 31 D. 20 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 计算：___． 10. 若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____． 11. 将抛物线向右平移2个单位所得函数解析式为______． 12. 一个口袋中装有两个红球，一个白球，从口袋中随机摸出两球．若规定：是同一颜色，甲获胜；不是同一颜色，乙获胜，则可知甲、乙两人中______获胜的机会大． 13. 如图，为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点．若，则弧的长为_____． 14. 如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为____． 三、解答题（共78分） 15. 计算． 16. 解方程：． 17. 若代数式的值与的值互为相反数，求的值． 18. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年型车的销售总额为万元，今年每辆车的售价比去年减少万元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少万元，求今年每辆型车的售价. 19. 如图，公园原有一块长，宽的矩形空地．后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域鲜花面积和为，求所铺设的石子路的宽度． 20. 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）图①中，画出的圆心； （2）图②中，在边上找到一点，使得平分； （3）图③中，在上找到一点（不与点重合），使得． 21. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点为的中点，连结并延长到点，使，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，则______． 22. 如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28】 23. 如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度是？ 24. 如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，与相切于点D，连接交于点E． （1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为2，求的长．（结果保留π） 25. 如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米． （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门． 26. 如图，在中，，，，动点P从点A出发沿方向以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点Q，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．设点P的运动时间为t秒． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）． （2）当点R落在边上时，求t的值． （3）当C、R、Q三点共线时，求t的值． （4）当为钝角三角形时，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $