5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5．4　三角函数的图象与性质 5．4.1　正弦函数、余弦函数的图象 学习目标 1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法．　2.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画出给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象．　3.会用正弦函数与余弦函数的图象解决简单的问题． 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”的角度研究三角函数． 思考　结合所学，研究函数的一般步骤是什么？ 提示：先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等性质． 新知学习 探究 返回导航 R [－1，1] 新知学习 探究 返回导航 (0，0) (π，0) (2π，0) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 × √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 2．(多选)下列叙述正确的有(　　) A．y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)中心对称 B．y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π轴对称 C．正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围 D．余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于x轴对称 解析：分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象(略)，由图象观察可知A，B，C均正确． √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 3．已知函数y＝sin x的部分图象如图所示，完成下列各题．   (1)点A的坐标为____________； (2)|BD|＝____________，|AE|＝______________． (－2π，0)　 2π 解析：根据题图特征，易知A(－2π，0)，|BD|＝2π. |AE|＝|AF|－|EF|＝4π－＝π. 新知学习 探究 返回导航 关于正弦、余弦函数图象的理解 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，注意两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)， x∈[0，2π]的图象的三个步骤 　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 用“五点法”在同一平面直角坐标系中画出函数y＝－sin x，y＝2－cos x在[－π，π]上的图象． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与y＝k仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________． (1，3) 新知学习 探究 返回导航 (1)函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线，求得参数的取值范围． (2)作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件．　 　 新知学习 探究 返回导航 [－4，－π)∪(0，π) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用三角函数的图象直观地求得解集． (2)解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)函数y＝lg|x|－sin x的零点个数为________． 6 解析：lg|x|－sin x＝0，故lg|x|＝sin x， 画出f(x)＝lg|x|和g(x)＝sin x的图象，两函数交点个数即为y＝lg|x|－sin x的零点个数，   由图象可得，共6个交点，所以y＝lg|x|－sin x的零点个数为6. 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．(教材P200T4改编)函数y＝2＋sin x，x∈(0，4π]的图象与直线y＝2的交点的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2＋sin x，x∈(0，4π]和直线y＝2的图象如图所示，可得两图象的交点共有4个．故选D. √ 课堂巩固 自测 返回导航 2．(多选)在同一平面直角坐标系中，函数y＝sin x，x∈[0，2π)与y＝sin x，x∈[2π，4π)的图象(　　) A．重合 B．形状相同，位置不同 C．两个正弦曲线关于点(2π，0)成中心对称 D．形状不同，位置不同 解析：根据公式一：sin(x＋2π)＝sin x，所以y＝sin x，x∈[0，2π)与 y＝sin x，x∈[2π，4π)的图象形状相同、位置不同，且两个正弦曲线关于点(2π，0)成中心对称．所以B，C正确，A，D错误．故选BC. √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 4．(教材P200T2改编)利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：正弦函数、余弦函数的图象，五点(画图)法． 2．须贯通：若函数图象要求精度不高，只描出函数图象的关键点，再根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图即可；解题时要注意数形结合． 3．应注意：(1)“五点法”作图中“五点”的选取； (2)余弦函数的图象是由正弦函数的图象平移得来的．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(一　正弦函数、余弦函数的图象) 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 eq \o(□,\s\up1(1))________________ 值域 eq \o(□,\s\up1(2))________________ 函数 y＝sin x y＝cos x 图象画法 五点法 五个关键点 eq \o(□,\s\up1(3))________，(eq \f(π,2)，1)， eq \o(□,\s\up1(4))________，(eq \f(3π,2)，－1)， eq \o(□,\s\up1(5))________ (0，1)，eq \o(□,\s\up1(6))________， (π，－1)，eq \o(□,\s\up1(7))________， (2π，1) (eq \f(π,2)，0) (eq \f(3π,2)，0) (1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，余弦函数的图象叫做余弦曲线． (2)“五点法”作图中的“五点”分别是函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点． (3)函数y＝sin x(x∈R)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度得到y＝cos x(x∈R)的图象．　 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称．(　　) (2)将余弦曲线向右平移eq \f(π,2)个单位长度就得到正弦曲线．　(　　) (3)直线y＝eq \f(1,2)与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象有两个交点．(　　) (4)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象与x轴有无数个交点．(　　) eq \f(7,2)π eq \a\vs4\al(二　“五点法”作函数的图象) 　(对接教材例1)利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 【解】　按五个关键点列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示： 解：列表： x －π －eq \f(π,2) 0 eq \f(π,2) π －sin x 0 1 0 －1 0 2－cos x 3 2 1 2 3 描点连线，画图如下： eq \a\vs4\al(三　正、余弦函数图象的简单应用) 角度1　零点(或方程解)的个数问题 　(1)函数f(x)＝sin x，g(x)＝cos x的图象在区间[－2π，π]的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】　分别作出f(x)＝sin x，g(x)＝cos x在区间[－2π，π]上的图象，如图所示， 由图象可知，f(x)＝sin x，g(x)＝cos x的图象在区间[－2π，π]的交点个数为3.故选A. 【解析】　f(x)＝sin x＋2|sin x|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3sin x，0≤x≤π，,－sin x，π<x≤2π.)) 画出函数的图象如图所示， 又函数f(x)的图象与y＝k仅有两个不同交点，则k的取值范围是(1，3)． 角度2　利用函数图象解三角不等式 　(1)函数f(x)＝lg(sin x)＋eq \r(16－x2)的定义域为____________________． 【解析】　由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin x>0，,16－x2≥0，)) 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin x>0，,－4≤x≤4.)) 作出y＝sin x的图象，如图所示． 结合图象可得x的定义域为[－4，－π)∪(0，π)． (2)不等式eq \f(1,2)<sin x≤eq \f(\r(3),2)，x∈[0，2π]的解集为________________________． 【解析】　作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，画出直线y＝eq \f(1,2)和y＝eq \f(\r(3),2)，如图所示． 由图可知，在[0，2π]上，当eq \f(π,6)<x≤eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)≤x＜eq \f(5π,6)时，不等式eq \f(1,2)<sin x≤eq \f(\r(3),2)成立． 所以原不等式的解集为{x|eq \f(π,6)<x≤eq \f(π,3)，或eq \f(2π,3)≤x＜eq \f(5π,6)}． {x|eq \f(π,6)<x≤eq \f(π,3)，或eq \f(2π,3)≤x＜eq \f(5π,6)} [跟踪训练2] (1)在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为(　　) A．(eq \f(π,4)，π) B．(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))∪(π，eq \f(5π,4)) C．(eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)) D．(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))∪(eq \f(3π,4)，eq \f(5π,4)) 解析：作出函数y＝sin x和y＝cos x在(0，2π)内的图象， 因为sin x>cos x，所以函数y＝sin x的图象在函数y＝cos x的图象上方的区间就是sin x>cos x的解集，即为(eq \f(π,4)，eq \f(5π,4))．故选C. 3．不等式sin x<－eq \f(1,2)，x∈[0，2π]的解集为____________． (eq \f(7π,6)，eq \f(11π,6)) 解析：作出y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图象可知，不等式sin x<－eq \f(1,2)的解集为(eq \f(7π,6)，eq \f(11π,6))． 解：按五个关键点列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 描点连线，如图所示： $$