5.4.1 正余弦函数的图象 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正余弦函数图象，通过单摆简谐运动情景引入，从现实问题抽象出波浪曲线，衔接单位圆探究正弦函数图像，再用五点法简化作图，进而推导余弦函数与正弦函数的平移关系，构建从具体到抽象的知识支架。 其亮点在于以简谐运动为起点培养数学眼光，通过单位圆作图和五点法强化数学思维，结合图像解不等式、变式练习（如交点个数问题）提升直观想象与运算能力。课堂小结对比函数关键特征，练习分层设计，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

第 5 章 三角函数 5.4.1 正余弦的函数图象 （一）情景 简谐运动是最基本也是最简单的机械振动，单摆运动就是一种最常见的简谐振动. 情景引入 （二）问题1 对于单摆运动，以时间为横轴，摆球离开平衡位置的位移为纵轴，作出摆球偏离平衡位置的位移随时间变化的关系图，你能发现什么规律？ 情景引入 答：简谐运动形成的曲线是一条波浪起伏、周而复始的曲线. （三）问题2 简谐运动形成的曲线在数学上对应着什么函数的图象？这些函数及其图象又具有哪些性质？相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题. 情景引入 【探究】首先我们研究 的图像，从画函数 开始. 如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，O 与轴正半轴的交点为A(1,0)                               根据定义有点B的纵坐标 y =.由此，以为横坐标，为纵坐标化点， 一.正弦函数的图象 在单位圆上讲点A绕着点O旋转0弧度到点B， 即得到函数图像上的点T O1 O y x -1 1 A B 连线：用光滑曲线 将这些正弦线的终点连结起来 一.正弦函数的图象 【探究】若把 x 轴上 这一段分成12等份，让 x0 的值分别为， ,...,2 它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分,再按刚才画点T 的方法，就可以画出自变量取这些值时，图像上对应函数值的点.利用信息技术取到足够多的点，再将这些点用光滑的曲线连起来，就可以得到比较精确的函数 的图像. 几何画法的步骤： 建系画图 12等分圆 找横坐标 连线得图 找纵坐标 左右平移       【探究】由诱导公式一 可知，每经过 个单位长度，函数会重复出现，所以只需将内的函数图像不段复制平移。 即可得到 ，的图像(几何画法).     一.正弦函数的图象 一.正弦函数的图象 思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 观察图，在函数， ∈［0,2π］的图象上，以下五个点： x y -2 - o 2   3 2 2 3 4 正弦曲线 余弦曲线 余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平行移动/2个单位长度而得到 sin( x+ )= cosx 【分析】对于函数 ，由诱导公式 ，得到       ，而函数 的图像可以通过正弦   函数 的图像向左平移 个单位长度得到.所以，将正弦函数的图像向 左平移 个单位长度，就得到余弦函数的图像，如图.     二.余弦函数的图象 二.余弦函数的图象 思考：在确定余弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 在函数， ∈［0,2π］的图象上，以下五个点： 三.五点作图法 三.五点作图法 x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-2sin x 1 -1 1 3 1 【变式】用“五点法”作下列函数的图象： (1)y=1-2sin x，x∈[0，2π]； 列表： 描点连线，画图如下. 解 (2)y=cos x+x∈[-π，π]. 13 x -π - 0 π cos x -1 0 1 0 -1 cos x+ - - (2)y=cos x+x∈[-π，π]. 列表： 描点连线，画图如下. 解 14 【例2】不等式2sin x-1≥0，x∈[0，2π]的解集为 A. B.C. D. √ 四.利用正余弦函数图象解不等式 【解析】因为2sin x-1≥0，所以sin x≥. 在同一平面直角坐标系下，作出函数y=sin x，x∈[0，2π]以及直线y=的图象，如图， 由函数的图象知，sin=sin. 所以根据图象可知，sin x≥的解集为. 15 利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤 (1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0，2π]上的图象. (2)确定在[0，2π]上sin x=a(cos x=a)的x值. (3)写出不等式在区间[0，2π]上的解集. (4)根据诱导公式一写出定义域内的解集. 四.利用正余弦函数图象解不等式 16 【变式】 1.求不等式2sin x-1 ≥0，x∈R的解集. 在x∈[0，2π]上的解集为.所以当x∈R时，不等式的解集为 . 2.试求关于x的不等式<sin x≤x∈R的解集. 在[0，2π]上，当<x≤≤x<时， 不等式<sin x≤成立， 所以原不等式的解 17 【变式】3.当x∈(0，2π)时，曲线y=2+cos x与直线y=x的交点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 作出函数y=2+cos x和y=x的图象，记f(x)=2+cos x，g(x)=x， 函数f(x)=2+cos x在[0，π]上单调递减，在[π，2π]上单调递增，f(π)=1<g(π)= f(0)=3>g(0)=0，f(2π)=3>g(2π)= 结合图象知在(0，2π)上有两个交点. 18 课堂小结 函数 y=sin x，x∈R y=cos x，x∈R 图象   课堂小结 “五点(画图)法” 函数 y=sin x y=cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ______ ，_______ (0，1)(π，-1)(2π，1) (0，0) (π，0) (2π，0) 作业 课本P200的的 2- 4题. 练习（第200页） 练习（第200页） 可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象．两条曲线形状相同、位置不同． 练习（第200页） x 0 y 0 1 0 -1 0 （1） x 0 y 3 2 1 2 3 （2） 练习（第200页） 练习（第200页） ABC EVCapture5.0.7软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn EVCapture5.0.7软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn 【解析】　 (1)列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x 1 2 1 0 1 【例1】用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]； (2)y＝-cos x，x∈[0,2π]. (2)列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3,2)π 2π cos x 1 0 －1 0 1 -cos x -1 0 1 0 -1 【例1】用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]； (2)y＝-cos x，x∈[0,2π]. $