精品解析：辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

丹东市2024~2025学年度（上）期末教学质量监测 高二数学 总分150分 时间120分钟 命题：杨晓东 郭欣 葛冰 阮征 石婧 审核：杨晓东 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角. 【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程可直接求解. 【详解】由标准方程可得，即； 所以准线方程为. 故选：A 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】求圆与圆的圆心及半径，再求圆心距及半径的和与差，结合圆与圆的位置关系的定义判断结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， ， 所以圆与圆相交， 故选：D. 4. 一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少含有1个红球和1个白球的取法有（ ） A. 35种 B. 32种 C. 16种 D. 14种 【答案】C 【解析】 【分析】求出从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球的取法，求出其中全部为白球的取法即可求解. 【详解】从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球有种取法， 其中全部为白球有种取法， 则至少含有1个红球和1个白球的取法有种. 故选：C. 5. 在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 所以，解得， 故选：B 6. 将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 180种 C. 60种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解. 【详解】由题先将5名志愿者分成三组有种分法， 再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法， 所以所求的不同的分配方案有种. 故选：A. 7. 在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【详解】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A 8. 已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点差法结合直线斜率可求出，即可得到椭圆的离心率. 【详解】 由题意得，. 设，则， ∵点在椭圆上，∴， 两式相减得，，即， ∴，∴， ∴C的离心率. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，则（ ） A. x的系数为135 B. 第4项的二项式系数为10 C. 无常数项 D. 所有项的系数之和为125 【答案】BC 【解析】 【分析】求出二项展开式通项公式，再逐项计算判断即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 对于A，令，则，故的系数为， 故A错误； 对于B，令，则，故第4项的二项式系数为，故B正确； 对于C，因为为奇数，故展开式中无常数项，故C正确； 对于D，令，则所有项的系数之和为，故D错误； 故选：BC 10. 已知直线与圆交于两点，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆与轴相切 C. 最大值为2 D. 的面积最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，当时，，可判断；选项B，圆心到轴的距离为半径可判断；选项C，直线的定点在圆上，故最大为直径2；选项D，设到的距离为，则，进而可得. 【详解】选项A：当时，，故直线恒过定点，故A错误； 选项B：圆的圆心为，半径为，由圆心到轴的距离为，即等于半径， 故圆与轴相切，故B正确； 选项C：由题意在圆上， 故当为圆的直径时，最大为2，故C正确； 选项D：设到的距离为，则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故D正确， 故选：BCD 11. 已知正三棱柱中，，且满足，，则（ ） A. 当时，与所成角的余弦值为 B. 当时，平面平面 C. 存在，，使平面平面 D. 存在，，使二面角为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用异面直线成角、面面平行、面面垂直和二面角的向量求法逐项判断即可. 【详解】因为三棱柱是正三棱柱，取，中点，， 分别以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，， ，，，， 选项A：当时，，， 此时与所成角的余弦值为，说法正确； 选项B：当时，，，，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， ，解得平面的一个法向量， 因为无解，所以平面与平面不平行，B说法错误； 选项C：显然当，，即与重合，与重合时， 由正三棱柱的性质可知平面 平面，C说法正确； 选项D：过作，垂足为，过作，垂足为， 因为四边形为正方形，故，同理， 故，故， 所以，同理，， 所以，而， 故，所以， 故为锐角即的平面角为锐角， 而的平面角不超过的平面角， 故二面角的平面角小于，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是双曲线左右焦点，点P在双曲线上，若，则__________. 【答案】2或14 【解析】 【分析】利用双曲线标准方程及其定义计算即可求出结果. 【详解】由双曲线可知， 所以，因此的最小值为； 再由双曲线定义可知， 可知2或14. 故答案为：2或14 13. 计算：__________.（结果用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用可求代数式的值. 【详解】 ， 故答案为： 14. 已知椭圆的左右焦点为，，双曲线（，）的左右顶点分别为，，C与D在第一，第二象限的交点为，则__________；若直线，的斜率之积为，则D的渐近线方程为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据图形的对称性及椭圆定义可得的值；设，，表示，根据点在双曲线上可求得的值，即可得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，故，则. 由图形对称性得，， ∴. 设，则，则，， ∴， ∵点在双曲线上，∴，故， ∴，解得， ∴D的渐近线方程为，即. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用点在双曲线上，结合直线、的斜率之积确定的值，即可得到双曲线的渐近线方程. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，是椭圆的焦点，，且过点. （1）求C的方程； （2）若点P在C上，，求的面积. 【答案】（1） （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标和焦距长代入标准方程即可求得结果； （2）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得，再由的面积是的面积的一半即可求解. 【小问1详解】 因为是椭圆短半轴的一个顶点，则， 又，则， 由，则， 所以C的方程为. 【小问2详解】 如下图所示： 根据椭圆的定义及可得 ① ② 联立①②得， 则的面积为， 因为的面积是的面积为， 所以的面积为2. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，是边长为2的等边三角形，. （1）证明：平面平面ABCD： （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （2）法一：由（1）可知平面PCD，过D作，由三垂线定理得到是二面角的平面角求解；法二：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，先求得平面APC的一个法向量为，再由是平面PCD的法向量，由求解. 【小问1详解】 证明： 因为，所以. 因为，，所以平面PCD. 因为平面ABCD，所以平面平面ABCD. 【小问2详解】 法一：因为，由（1）可知平面PCD. 如图所示： 在平面PCD内过D作，垂足为E，连结AE， 由三垂线定理可得，因此是二面角的平面角. 在等边中，，，所以. 于是二面角的余弦值为. 法二：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可知z轴在平面PCD内. 则，，，，. 设平面APC的一个法向量为， 由，可得，可取. 又是平面PCD的法向量，故. 因为二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知点M到定点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）直线交C于P，Q两点，点，直线AP，AQ的斜率之和为0，求直线的斜率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出轨迹方程. （2）设出点坐标，利用斜率坐标公式列式计算得解. 【小问1详解】 由点M到点的距离比它到直线的距离小2， 得点M到点的距离等于它到直线的距离， 因此点M轨迹C是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以C的方程为. 【小问2详解】 由（1）设点，，显然， 由直线AP，AQ的斜率之和为0，得，解得， 所以直线的斜率. 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E、F分别是线段PA，CD的中点. （1）求EF； （2）求直线EF与BD所成的角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解法一：以为基底，根据结合空间向量的数量积运算求解即可； 解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，再根据两点间的坐标公式求解即可； （2）解法一：根据空间向量数量积运算可得，结合求解即可； 解法二：根据空间向量的坐标运算求解即可. 【小问1详解】 解法一：以为基底，则，，. 因为. 因此 解法二：过点P作平面ABCD，垂足为Q，连接QB，QD，QA， 由，，所以， 在，中，得， 有，则，即AQ是平分线， 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由三余弦定理知，得， 所以，，，， 则，， 所以. 【小问2详解】 解法一：因为 而，所以， 于是EF与BD所成的角的余弦值为. 解法2： 由（1）知， 所以， 于是EF与BD所成的角的余弦值为. 【点睛】 19. 某核磁实验基地建设两条电磁辐射隔离带，两条电磁辐射隔离带的形状可近似的看成双曲线.记双曲线（，），其渐近线方程为，且过点. （1）求C的方程； （2）在点处存在一个强辐射中心，并释放着一个近似圆形的高能粒子团，记为，其半径可变（范围不超过隔离带），控制中心为更好的监测高能粒子区域，在点发射两条与相切的伽马射线，两条切线与电磁辐射隔离带分别交于，两点（异于点）.若经过点反射的光线不经过点，则系统才能正常工作，为使系统正常运行，需要摆放一个光线屏蔽器，求此光线屏蔽器所在位置的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，将点代入双曲线方程可得，解方程求可得结论； （2）设直线，的斜率分别为，，结合直线与圆的位置关系可得，联立直线与双曲线方程可求，再求的方程，证明直线过定点可得结论. 【小问1详解】 由题意知双曲线的渐近线方程为， 所以，即， 因为双曲线过点， 所以， 所以， 所以，， 所以的方程为. 【小问2详解】 当过点的直线与轴垂直时，不合题意， 设过点的与圆相切的直线方程为，即 则与直线相切，得， 平方整理得， 当时，不合题意，所以 设直线，的斜率分别为，，则有， 设，， 由得 则有，， 同理， 则直线的斜率 所以直线 所以直线必过，故此光线屏蔽器所在位置的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东市2024~2025学年度（上）期末教学质量监测 高二数学 总分150分 时间120分钟 命题：杨晓东 郭欣 葛冰 阮征 石婧 审核：杨晓东 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交 4. 一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少含有1个红球和1个白球的取法有（ ） A. 35种 B. 32种 C. 16种 D. 14种 5. 在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 180种 C. 60种 D. 120种 7. 在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，则（ ） A. x的系数为135 B. 第4项的二项式系数为10 C. 无常数项 D. 所有项的系数之和为125 10 已知直线与圆交于两点，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆与轴相切 C. 最大值为2 D. 的面积最大值为 11. 已知正三棱柱中，，且满足，，则（ ） A. 当时，与所成角的余弦值为 B. 当时，平面平面 C. 存在，，使平面平面 D. 存在，，使二面角钝角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若，则__________. 13. 计算：__________.（结果用数字作答） 14. 已知椭圆的左右焦点为，，双曲线（，）的左右顶点分别为，，C与D在第一，第二象限的交点为，则__________；若直线，的斜率之积为，则D的渐近线方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，是椭圆的焦点，，且过点. （1）求C的方程； （2）若点P在C上，，求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，是边长为2的等边三角形，. （1）证明：平面平面ABCD： （2）求二面角的余弦值. 17. 已知点M到定点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）直线交C于P，Q两点，点，直线AP，AQ斜率之和为0，求直线的斜率. 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E、F分别是线段PA，CD的中点. （1）求EF； （2）求直线EF与BD所成的角的余弦值. 19. 某核磁实验基地建设两条电磁辐射隔离带，两条电磁辐射隔离带形状可近似的看成双曲线.记双曲线（，），其渐近线方程为，且过点. （1）求C的方程； （2）在点处存在一个强辐射中心，并释放着一个近似圆形的高能粒子团，记为，其半径可变（范围不超过隔离带），控制中心为更好的监测高能粒子区域，在点发射两条与相切的伽马射线，两条切线与电磁辐射隔离带分别交于，两点（异于点）.若经过点反射的光线不经过点，则系统才能正常工作，为使系统正常运行，需要摆放一个光线屏蔽器，求此光线屏蔽器所在位置的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $