精品解析：湖南省永州市冷水滩区永州市第十六中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年下期初三期中质量检测 数学试题卷 命题人：蒋灵君 满分：120分 时量：120分钟 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是反比例函数的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据反比例函数的概念：一般地，我们把形如的函数叫做反比例函数．据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，故此选项不合题意； B．，是正比例函数，故此选项不合题意； C．，是反比例函数，故此选项符合题意； D．，是正比例函数，故此选项不合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方方法，关键是一次项系数一半的平方． 通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】解： 移项得：， 配方：两边加上一次项系数一半的平方，即， ∴， 即， 故选 D． 3. 下列线段是成比例线段的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A．，故四条线段不成比例，不符合题意； B．，故四条线段成比例，符合题意； C．，故四条线段不成比例，不符合题意； D．，故四条线段不成比例，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判 4. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可． 【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得： ，解得； ，解得； ，解得； ∵-8<2<4， ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量． 5. 下列一元二次方程有实数解的是（　　） A. 2x2﹣x+1＝0 B. x2﹣2x+2＝0 C. x2+3x﹣2＝0 D. x2+2＝0 【答案】C 【解析】 【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断． 【详解】A选项中，，故方程无实数根； B选项中，，故方程无实数根； C选项中，，故方程有两个不相等的实数根； D选项中，，故方程无实数根； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键． 6. 如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④，其中一定使的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④不正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是夹角，所以与不一定相似，故③不正确． 因此有2个正确． 故选：B． 7. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可． 【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例， ∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应， ∴，， 故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键． 8. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：16 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，利用面积之比是1：4，求出相似比，然后再根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可求出它们的相似比． 【详解】∵两个相似三角形的面积之比是1：4， ∴两个相似三角形的相似比是1：2． ∴两个相似三角形的周长之比是1：2． 故选择A． 9. 如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（ ） A. B. 图象也经过点 C. 若时，则 D. ，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中． 把代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可． 【详解】】 解：把代入反比例函数的解析式得：，故A正确； ∵反比例函数的解析式为， 把代入求得， ∴图象也经过点，故B正确； 由图象可知时，则，故C错误； ， 随x的增大而减小， ，y随x的增大而减小，故D正确； 故选：C． 10. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据比例设，则，然后代入比例式进行计算即可． 【详解】解：， 设，则，， ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，掌握比的基本性质是解题的关键． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是 ________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， ． 故答案为：2024． 13. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 14. 为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今年9月份阅读公园中有藏书5000册，到今年11月份其中藏书数量增长到7200册，设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意，请列出方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确抽象出一元二次方程是解题关键．设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意列一元二次方程即可． 【详解】解：设该校这两个月藏书的月均增长率为， 根据题意得，， 故答案为：． 15. 的两根分别为、，则________． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，由根与系数的关系得，，，再由进而代入可以得解． 【详解】解：由题意，根据根与系数的关系可得， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键． 16. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．是自然界最奖的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：P是的黄金分割点，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割，掌握黄金分割中相关线段的比例关系是解题的关键． 17. 如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为______m． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意，,, ． 即 故； 那么该古城墙的高度是， 故答案为：16． 18. 对于实数，，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点．如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点．已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设与双曲线的交点是和等积点，利用定义得到，代入一次函数得到，进而得到，求出或，由两个函数图象的相交得到，代入即可求出k的值． 【详解】解：设与双曲线的交点是和等积点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或， ∵，则， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了求反比例函数的解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式，正确理解题意得到是解题的关键． 三、解答题（第19、20每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，8），B（4，2），C（8，6）．在第一象限内，画出以原点O为位似中心，与△ABC的相似比为的△A1B1C1，并写出A1，C1点的坐标． 【答案】见解析，A1（2，4），C1（4，3） 【解析】 【分析】把A、B、C的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可． 【详解】如图，△A1B1C1为所作，A1（2，4），C1（4，3）． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，解答本题的关键是掌握位似变换的定义． 20. 已知反比例函数常数，． （1）若点在这个函数的图象上，求的值； （2）若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）； （2）点不在这个函数的图象上，理由见解析． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）求出当时，的值，再比较即可得出答案； 本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时， ∴这个解析式为， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：原方程可化为： ∴，或， ∴，； 【小问2详解】 解：原方程可化为：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 22. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两个根时，，是答题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ． 在与中， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ． 由（1）知， ， ． ，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为 （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为:，一次函数的解析式为：； （2）的面积为9． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式． （1）先把代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为，即可用待定系数法确定所求的一次函数的解析式； （2）先依据一次函数求得点C的坐标，分别求出和进而得到的面积； 【小问1详解】 解：将代入，得 反比例函数的解析式为：； 将代入，得， 解得， ， 将和分别代入，得 ， 解得， 所求的一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解： 连接，如图所示： 当时，， 解得：， ， ，， 25. 在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带． （1）若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元． 【答案】（1） （2）75元 【解析】 【分析】（1）设丝绸条带的宽度为，根据题意得：，然后求解即可； （2）设每件工艺品降价y元出售，根据题意可列方程，求解得到降价多少元，再用定价减去降价的钱即可． 【小问1详解】 解：设丝绸条带的宽度为， 根据题意，得． 整理，得， 解得，（舍去）． 答：丝绸条带的宽度为． 【小问2详解】 解：设每件工艺品降价y元出售， 由题意得：， 整理可得： 解得：． 所以售价为（元）． 答：该公司每天把销售单价定为75元时，当日所获利润为22500元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意得到一元二次方程，然后进行求解即可． 26. 如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F． （1）求证：； （2）如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM． ①求的最小值； ②当取最小值时，求线段DE的长． 【答案】（1）见解析 （2）①5；②或 【解析】 【分析】（1）证明出即可求解； （2）①连接AM．先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作交FC于点N，即有，进而有．设，则，．再根据，得到，得到，则有，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：过点G作交BC于点H．即有．则有，根据，可得，进而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的结论可得．设，则，即有，解得解方程即可求出DE． 【小问1详解】 证明：如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①解：如图2-1，连接AM． ∵， ∴是直角二角形． ∴． ∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上． 当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：， 当A，G，M三点共线时，． 此时，取最小值．在中，． ∴的最小值为5． ②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作交FC于点N， ∴． ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， 由①知的最小值为5、即， 又∵， ∴． ∴，解得，即． （求AF的方法二） 如图2-3，过点G作交BC于点H． ∴． ∴， 由①知的最小值为5，即， 又∵， ∴． ∴，． 由得， ∴，即， 解得． ∴． 由（1）的结论可得． 设，则， ∴， 解得或． ∵，， ∴或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期初三期中质量检测 数学试题卷 命题人：蒋灵君 满分：120分 时量：120分钟 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是反比例函数的为（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列线段是成比例线段的是（　　） A. B. C. D. 4. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程有实数解的是（　　） A. 2x2﹣x+1＝0 B. x2﹣2x+2＝0 C. x2+3x﹣2＝0 D. x2+2＝0 6. 如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④，其中一定使的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：16 9. 如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（ ） A. B. 图象也经过点 C. 若时，则 D. ，y随x的增大而减小 10. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则________. 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是 ________． 13. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 14. 为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今年9月份阅读公园中有藏书5000册，到今年11月份其中藏书数量增长到7200册，设该校这两个月藏书的月均增长率为，根据题意，请列出方程______． 15. 的两根分别为、，则________． 16. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．是自然界最奖的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为_____． 17. 如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为______m． 18. 对于实数，，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点．如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点．已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为______． 三、解答题（第19、20每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，8），B（4，2），C（8，6）．在第一象限内，画出以原点O为位似中心，与△ABC的相似比为的△A1B1C1，并写出A1，C1点的坐标． 20. 已知反比例函数常数，． （1）若点在这个函数的图象上，求的值； （2）若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为 （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接，求的面积． 25. 在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带． （1）若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元． 26. 如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F． （1）求证：； （2）如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM． ①求的最小值； ②当取最小值时，求线段DE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $