精品解析：湖南省益阳市沅江市第四中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

沅江四中2024年下期九年级数学期中监测试卷 （时量：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：B 2. 已知，那么下列等式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键． 根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：，，，， 不成立的是B． 故答案为：B． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 不是一元二次方程 B. 把一元二次方程化成一般形式是 C. 的两个根是， D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题，一元二次方程的定义，一般式，根的判别式，解一元二次方程，综合性较强，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程判断A；根据一元二次方程一般式为判断B；利用直接开平方法求解，以此判断C；根据的符号判断D． 【详解】解：A、是一元二次方程，原说法错误，不符合题意； B、把一元二次方程化成一般形式是，，原说法错误，不符合题意； C、由直接开平方法得：两个根是，，原说法正确，符合题意； D、，，有两个不相等的实数根，原说法错误，不符合题意， 故选：C． 4. 关于反比例函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 它的图象经过原点 C. 它的图象在第一、三象限 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 反比例函数，，图象分布于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此解答即可． 【详解】解：当时，，即点不在它的图象上，故A错误； 反比例函数不经过原点，故B错误； 反比例函数，，图象在于二、四象限，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D正确． 故选：D． 5. 一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据判别式即可判断求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6. 在反比例函数的图象上有两点，，若时，，则取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得在图象的每一支上随的增大而减小，因此，即可解得． 【详解】解：在反比例函数的图象上有两点，若时，， ， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特点，以及反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质，当时，在图象的每一支上随的增大而减小． 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 如图，直线，直线分别与，，相交于点A、B、C，直线分别与，，相交于点D、E、F，已知，，的长为（ ） A. 9 B. 4 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：直线， ， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例． 9. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，设每半年平均每周作业时长的下降率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x,根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，列方程即可得到结论． 【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x， 可列方程为， 即 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以，过点、作轴，轴，分别于、，根据条件得到，得到：，然后用待定系数法即可. 【详解】过点、作轴，轴，分别于、， 设点的坐标是，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 因为点在反比例函数的图象上，则， 点在反比例函数的图象上，点的坐标是， . 故选：. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式. 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上） 11. 若函数是反比例函数，则m＝______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫反比例函数．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据函数是反比例函数，则且求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 12. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于______． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后利用整体的思想进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 把代入方程中得： ， ， ， 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此即可解答，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴即，且， 即有， 解得， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 14. 正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是， 故答案为： 15. 设x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【详解】解：由题意得，x1+x2=3，x1x2=-2， 所以x12+3x1x2+x22 =(x1+x2)2+x1x2 =32+(-2) =9-2 =7 故答案为7． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，把的各边缩小到原来的，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变化的性质是解题的关键． 根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，且， 点的对应点坐标为或，即或． 故答案为：或． 17. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是______．（结果用根号表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题． 设下部高为米，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部高为米，则上部高度是米， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ∴， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 18. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵AB被截成三等分， ∴△AEH∽△AFG∽△ABC， ∴， ∴S△AFG：S△ABC=4：9， S△AEH：S△ABC=1：9， ∴S阴影部分的面积=S△ABC-S△ABC=S△ABC， ∴图中阴影部分的面积是的面积的． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中． 三、解答题（本题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题利用配方法即可求解． 【详解】解：， ， 解得：． 20. 如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，根据已知条件证明△，可得，进而可得结论，解决本题的关键是得到． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ． 21. 如今太阳能进入了千家万户，一个容量为180升的太阳能热水器，能连续的工作时间是y分，每分钟的排水量为x升． （1）写出y与x 的函数关系式． （2）若热水器连续工作最长时间是1个小时，求自变量的取值范围． （3）若每分钟排热水4升，则热水器连续工作时间是多少? 【答案】（1）y＝.（2）x≥3; （3）45分 【解析】 【详解】分析：（1）工作时间为y（分）×每分钟的排水量为x（升）＝总容量，所以可得出y与x的关系式； （2）已知函数值求自变量； （3）已知自变量求函数值． 详解：（1）根据题意可知y＝； （2）热水器可连续工作的最长时间为1小时，即0≤y≤60， ∴x≥3； （3）在y＝中，当x＝4时，y＝45． ∴热水器不间断工作的时间为45分． 点睛：此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，根据题意准确的列式是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）如果点P是y轴上一点，且的面积是5，求的长； （3）当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，得出反比例函数的解析式，再把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出，再求出一次函数的解析式即可； （2）求得直线与轴的交点，根据的面积为5求得的长度，进而即可求得点的坐标； （3）根据函数的图象和、两点的坐标得出答案即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 即反比例函数的表达式是， 把代入得：， 即， 把、的坐标代入，得， 解得， 一次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：当时，， 即直线与轴的交点坐标是， ，，的面积为5， ， ， 点的坐标是或； 【小问3详解】 解：根据图象可知：关于的不等式的解集为或， 故答案为：或． 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程　　（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，求的值； 【答案】（1）不是 （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求出的两根即可得到答案； （2）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得， ∵， ∴一元二次方程不是“倍根方程”； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 即或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 24. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为60元/件的小商品进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持为1200元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件125元，为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中所求的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】（1）80元 （2）六四折 【解析】 【分析】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该商品打折销售，利用售价原价折扣率，结合售价不超过80元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每件售价应定为元， 依题意得：， 解得：，， 又商家想尽快销售完该款商品， ． 答：每件售价应定为80元． 【小问2详解】 设该商品打折销售， 依题意得：， 解得：， 该商品至少需打六四折销售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 25. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2）旗杆高度为； （3）雕塑高度为． 【解析】 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； 【小问3详解】 解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 26. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沅江四中2024年下期九年级数学期中监测试卷 （时量：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么下列等式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 不是一元二次方程 B. 把一元二次方程化成一般形式是 C. 的两个根是， D. 没有实数根 4. 关于反比例函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 它的图象经过原点 C. 它的图象在第一、三象限 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 在反比例函数的图象上有两点，，若时，，则取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，直线分别与，，相交于点A、B、C，直线分别与，，相交于点D、E、F，已知，，的长为（ ） A. 9 B. 4 C. D. 3 9. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，设每半年平均每周作业时长的下降率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上） 11. 若函数是反比例函数，则m＝______． 12. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于______． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 14. 正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为______． 15. 设x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，把的各边缩小到原来的，则点A的对应点的坐标为______． 17. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是______．（结果用根号表示） 18. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的______． 三、解答题（本题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： 20. 如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 21. 如今太阳能进入了千家万户，一个容量为180升的太阳能热水器，能连续的工作时间是y分，每分钟的排水量为x升． （1）写出y与x 的函数关系式． （2）若热水器连续工作最长时间是1个小时，求自变量的取值范围． （3）若每分钟排热水4升，则热水器连续工作时间是多少? 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）如果点P是y轴上一点，且的面积是5，求的长； （3）当时，请直接写出x的取值范围． 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程　　（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，求的值； 24. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为60元/件的小商品进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持为1200元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件125元，为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中所求的售价，则该商品至少需打几折销售？ 25. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 26. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $