精品解析：广东省阳江市高新区2024-2025学年高二下学期2月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期高二2月测试 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（i为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知函数与函数的图象关于直线对称.若在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，则该四棱锥的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A B. C. D. 7. 已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为，若，，则边上的中线长度的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 图象对称中心为 10. 某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况，并将所得数据按，，…，分成六组，画出了样本频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 该工业园区内年收入落在区间内的小型民营企业的频率为0.55 B. 样本中年收入不低于500万元小型民营企业的个数比年收入低于500万元的个数少 C. 规定年收入在400万元以内（不含400万元）的民营企业才能享受减免税政策，则该工业园区有70%的小型民营企业能享受到减免税政策 D. 估计样本中小型民营企业年收入的中位数等于平均数 11. 设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ ） A. B. 若，则点的坐标为 C. 的最小值为 D. 满足面积为的点有3个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则__________． 13. 已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，侧棱长均相等，侧面与底面夹角为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是______． 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与的左，右两支分别交于两点，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 16. 已知数列，为其前n项和，. （1）求数列 的通项公式； （2）若 求数列的前n项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 18. 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. （1）求点的坐标； （2）求的外接圆的标准方程. 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为 （1）求C方程; （2）已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期高二2月测试 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（i为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：C 2. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，再由余弦定理得到，由得到，再结合辅助角公式得到，从而求出、，结合前述推导式子求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，又，即， 所以， 所以， 所以， 因为，即， 又（其中）， 所以，则， 即， 又，即，即， 又，所以，解得， 所以，解得， 所以. 故选：B 3. 已知函数与函数的图象关于直线对称.若在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性确定函数的单调区间，再利用二次函数的性质列不等式求解即可. 【详解】因为函数与函数的图象关于直线对称， 若在区间内单调递增，则在区间上单调递减， 故，解得： 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合三角函数的二倍角公式求解即可. 【详解】令则 故选：A. 5. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，则该四棱锥的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线垂直可得平面，进而根据面面垂直的性质可得平面，进而根据三角形的边角关系，结合锥体体积公式求解. 【详解】如图：取的中点，连接， 则且，平面， 故平面， 平面，故平面平面， 平面平面， 过作的垂线，垂足为，即,平面，故平面， 由题意可知， 由余弦定理可得 , 故， 所以四棱锥的高为1，则四棱锥的体积为 故选：B 6. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】球心为正方体中心，，法一：连接相交于点，根据线面平行的判定定理得平面，则到平面的距离等于点到平面的距离，设为，利用求出，再由截面圆半径可得答案；法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再由点到平面的距离的向量求法可得答案. 【详解】球心为正方体中心，半径， 法一：连接，相交于点，点为的中点，连接， 可得，因为平面，平面， 所以平面，在上， 则到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，， 由平面、得：， 则截面圆半径， 所以截面面积； 法二：以原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以， 则到平面的距离， 截面圆半径，所以截面面积. 故选：A． 7. 已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求最值，进而转化为最值，则点线距求解可得. 【详解】∵，∴. ∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C， 设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点P满足， 则， 当三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：借助可以转化,最后把动点到定点的距离转化为到点到直线的距离，进而由几何性质求解最值. 8. 在锐角中，角的对边分别为，若，，则边上的中线长度的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用正弦定理及余弦定理得出，再结合双曲线的性质得出的取值范围. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则， 可得， 显然，可得，即， 以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 可知点A在以为焦点的双曲线上（左半支且不含顶点），且， 因为为锐角三角形，显然为锐角，取两种临界状态： 若，则； 若，则，可得； 结合双曲线性质可知的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 图象的对称中心为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正切函数的图象的性质求得定义域判断A；求得最小正周期判断B；求得单调区间判断C；求得对称中心判断D. 【详解】自变量的取值应满足，解得， 所以的定义域是，故A正确； 的最小正周期为，故B错误； 由解得， 所以在区间上单调递减，故C正确； 由，解得， 所以图像对称中心为，故D错误. 故选：AC. 10. 某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况，并将所得数据按，，…，分成六组，画出了样本频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 该工业园区内年收入落在区间内的小型民营企业的频率为0.55 B. 样本中年收入不低于500万元的小型民营企业的个数比年收入低于500万元的个数少 C. 规定年收入在400万元以内（不含400万元）的民营企业才能享受减免税政策，则该工业园区有70%的小型民营企业能享受到减免税政策 D. 估计样本中小型民营企业年收入的中位数等于平均数 【答案】BD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质一一判定选项可得答案. 【详解】对于A，因为，所以， 则年收入落在区间内的小型民营企业的频率为， 故A错误； 对于B，样本中年收入低于500万元的小型民营企业的频率为 ，故B正确； 对于C，因为年收入在400万元以内的小型民营企业的频率为0.3， 所以该工业园区有30%的小型民营企业能享受到减免税政策，C错误． 对于D，因为，所以中位数应该在内，设为， 则，解得，所以中位数约为480， 平均数约为， 中位数等于平均数，D正确． 故选：BD. 11. 设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ ） A. B. 若，则点的坐标为 C. 的最小值为 D. 满足面积为点有3个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项由抛物线方程可知；B项由抛物线定义可得；C项可利用特值举反例，D项，将面积条件转化为点线距离，设点坐标求解方程可得. 【详解】对于A，抛物线弧的焦点为，故A正确； 对于B，若，解得， 所以，即点的坐标为，故B正确； 对于C，由选项B可知，点在抛物线弧上，设为， 则， 如图，可取，则， 由，又， 所以，即，即，故C错误； 对于D，直线的斜率为，所以方程为， ，设边上的高为， 若面积为，则，解得， 设点，则点到直线的距离即的高， 又，则， 所以或，又， 解得或， 所以满足面积为的点有3个（如图），故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是特值法的应用，如C项判断，取点，通过比较大小从而否定最小值；二是面积条件的转化，由底边确定可将面积转化为点线距离求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶性得到，进而推导出是周期为4的函数，利用周期性求函数值即可. 【详解】由为偶函数，，即， 由为奇函数，，即， 所以，即，即， 所以，即是周期为4的函数， 所以，又， 所以. 故答案为： 13. 已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，侧棱长均相等，侧面与底面夹角为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设底面三角形中心为，根据题意球心在直线上，再根据二面角的概念结合几何关系和勾股定理求出该球的半径即可. 【详解】因为三棱锥的底面是边长为6的正三角形，侧棱长均相等，其顶点都在同一球面上， 所以三棱锥是正三棱锥， 如图设底面三角形的中心为，中点为，连接，，，则球心在直线上， 由几何关系可知，， 因为平面平面，，， 所以是侧面与底面夹角的平面角，即，所以， 先将转化为平面三角形， 则，， 在中由勾股定理可得，解得， 所以该球的表面积， 故答案为： 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与的左，右两支分别交于两点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线定义结合已知条件计算得出，再计算求解即可. 【详解】由双曲线定义：，即，， 又，， ∴，， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将题干条件变形，利用余弦定理得，结合角的范围即可求解. （2）利用面积比例求得，再由余弦定理化简得，从而，即可证明. 【小问1详解】 因为，所以. 由余弦定理，得， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为是的平分线，所以， 设的边上的高为，则由， 得，即， 由余弦定理，得， 所以，从而，故为直角三角形. 16. 已知数列，为其前n项和，. （1）求数列 的通项公式； （2）若 求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当 时，根据求解，再检验时是否满足； （2）由根据错位相减法求和即可. 【小问1详解】 ∵数列 ，为其前n项和， ， ， 当 时， ， 当时，上式成立， ∴数列 的通项公式为 【小问2详解】 ∵ ∴数列的前n项和： ① ② ①-②得： ， 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、、，推导出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）设，计算得出，证明出平面，可知为三棱锥的高，结合锥体的体积公式可求得结果. 【小问1详解】 连接、、. 因为、分别为、的中点，所以，，， 因为，，所以，，， 所以，四边形是平行四边形，所以，， 因为平面，平面，则平面， 又因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. 【小问2详解】 设，因为，则，则， 所以，，所以，. 由（1）知，平面，所以， 因为为的中点，则，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 即为三棱锥的高. 所以，，故. 18. 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. （1）求点的坐标； （2）求的外接圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由题意可得，，联立求解即可； （2）设，则的中点坐标为，分别将，两点坐标代入相应的直线方程，联立求出点坐标，设的外接圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求解，最后转化为标准方程即可. 【小问1详解】 设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，，所以点的坐标为； 【小问2详解】 设，则的中点坐标为， 将代入直线的方程得③， 将代入直线的方程得④， 将③④联立解得，，即， 设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以的外接圆的一般方程为， 所以的外接圆的标准方程为. 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为 （1）求C的方程; （2）已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理和面积公式列方程求解即可； （2）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示的面积即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 在中，由，得， 由，解得， 又由余弦定理得，， 化简得，即， ，从而， 所以，双曲线方程为. 【小问2详解】 设直线l的方程为，与双曲线相交于，， 联立化简可得， 由，可得， ，， 所以，， 设点到直线l的距离为d，则， 故，解得 故l的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$