精品解析：江西省上犹中学2024-2025学年高二下学期寒假自主学习检测数学试题

高二年级数学学科寒假自主学习检测 命题人：戴优鑫、曾小意 审题人：周宝乾 一、单选题 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 2. 已知，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A 2 B. C. 1 D. 4. 某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中有男生的条件下，另一人恰好是女生的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ） A 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若满足的有序实数对有3对，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题中，正确的命题有（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B 已知随机变量，满足，则 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 离散型随机变量X的概率分布为，其中是常数，则的值为 11. 已知三棱柱侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. PN与平面ABC所成最大角的正切值为2 D. 点N到平面AMP距离的最大值为 三、填空题 12. 已知，取值如表： 画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则__________． 13. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则__________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点M，N，若线段MN的垂直平分线经过点，则双曲线C的离心率为__________. 四、解答题 15. 已知圆的圆心在直线上，且点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 16. 已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中所有的有理项. 17. 甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． （1）已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； （2）若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且. （1）求C的标准方程； （2）若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学学科寒假自主学习检测 命题人：戴优鑫、曾小意 审题人：周宝乾 一、单选题 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列基本量运算即可. 【详解】因为 所以. 故选：C. 2. 已知，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 3. 斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，再根据抛物线的焦点弦公式求解即可. 【详解】由题意，抛物线的焦点为，， 故斜率为且过点的直线方程为， 设，， 联立，整理得， 根据韦达定理得， 所以. 故选：B. 4. 某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中有男生的条件下，另一人恰好是女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用条件概率公式，结合古典概型，组合和组合数公式计算即可. 【详解】记“派出的2人中有男生”为事件A，“另一人恰好是女生”为事件. 则. 故选：C. 5. 直线l过与连接的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数形结合，将问题转化为直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线，再由斜率的定义求解即可； 【详解】直线l过点. 如图，由题意，直线与线段总有公共点， 即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 直线的斜率为，直线的斜率分别为， 于是或， 而，因此或， 即k的取值范围是. 故选：D 6. 某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论. 【详解】满足条件的报名方法可分为两类： 第一类：甲单独参加某项比赛， 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种， 再将余下人，安排到与下的三个项目， 由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名， 故满足条件的报名方法有, 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种， 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛， 先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法， 再安排余下三人，有种方法， 所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种， 所以满足条件的不同的报名方法共有种方法. 故选：C. 7. 若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】过点、分别作、垂直直线于点、，由的平分线与垂直可得，即可得与相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出、，结合椭圆定义即可得长轴长. 【详解】过点、分别作、垂直直线于点、， 作的平分线与轴交于， 由，故、， 则，， 由且为的平分线，故， 故， 又、，故与相似， 故， 由，令，则， 故直线与轴交于点，故， ，故， 由， 故，， 故，， 由椭圆定义可知，，故， 即的长轴长为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题关键在于作出、垂直直线于点、，再将的平分线与垂直这个条件转化为，从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及得到、的值. 8. 若满足的有序实数对有3对，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设出，根据所求和题设条件联想到点的轨迹和平面图形的几何意义，从而将问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，借助于圆的性质数形结合迅速解题. 【详解】设（），则，，而表示点到直线的距离， 点又在圆上，所以问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，如图， 而圆心到直线的距离为，故，解得，则. 故选：A. 二、多选题 9. 已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面的法向量的概念，结合线面位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，则，当时，，所以A错误； 对于B中，由，可得，则，所以B正确； 对于C中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以C正确； 对于D中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以D不正确. 故选：BC. 10. 下列命题中，正确的命题有（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 已知随机变量，满足，则 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 离散型随机变量X的概率分布为，其中是常数，则的值为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，即可求得，从而判断A； 根据，即可判断B； 根据正态曲线的对称性及已知条件即可判断C； 根据及概率之和等于1，求得，从而求出，即可判断D. 【详解】解：对于A，因为随机变量服从二项分布， 则，，解得，故A错误； 对于B，由，则，故B错误； 对于C，因为随机变量服从正态分布， 则，故C正确； 对于D，由， 则，，，， ， 即，解得， 所以，故D正确. 故选：CD. 11. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角大小为 B. C. PN与平面ABC所成最大角的正切值为2 D. 点N到平面AMP距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线线、线面、点面距离，结合参数范围求最值判断A、C、D；坐标法求的值判断B. 【详解】由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则， 所以，，，， 则，显然直线MN与所成角不为，A错； 又，故，B对； 由面的一个法向量为，则， 所以时，PN与平面ABC所成最大角的正弦值为，则正切值为，C对； 由，，若为面AMP的一个法向量， 则，令，则， 又，则点N到平面AMP距离为， 令，则，故，D对 故选：BCD 三、填空题 12. 已知，取值如表： 画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值． 详解：计算=×（0+1+3+5+6）=3， =×（1+m+3m+5.6+7.4）=， ∴这组数据的样本中心点是（3，）， 又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点， ∴=1×3+1， 解得m=. 故填. 点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题． 13. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由分布列的期望公式解得. 【详解】， 即，解得. 故答案为：4. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点M，N，若线段MN的垂直平分线经过点，则双曲线C的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】连结  ，设，根据勾股定理和双曲线定义找关系，最后在中，由结合三角函数即可求得之间的关系，进而求得离心率. 【详解】取  MN 的中点  P ，因为在线段MN的垂直平分线上，如下图所示： 所以  ，连结  ，则  ， 设  ，因为  ，则  ， 又因为  ，则  ，所以  ，则  ，故  ， 在 Rt   中，  ，在 Rt   中，  ， 所以  ，解得  ， 又直线MN的倾斜角为 ，则， 则  ， 所以  ，即  ， 所以离心率  ． 故答案为：  . 四、解答题 15. 已知圆的圆心在直线上，且点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用圆的弦的中垂线经过圆心，结合题设求出圆心和半径，即得圆的方程； （2）由弦长求出圆心到弦距离，设直线的方程为，由点到直线的距离公式列方程，解之即得. 【小问1详解】 因为点，，所以直线的斜率为， 所以线段垂直平分线的斜率为1.因线段的中点为， 则线段的垂直平分线的方程为. 由解得故圆心，半径， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 因为弦长，所以圆心到直线的距离. 设直线的方程为，则点到直线的距离. 由，解得或， 所以直线的方程为或. 16. 已知二项式的二项展开式中二项式系数之和为256. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1）1792 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数之和的公式建立方程，可求解n的值，从而求出展开式的通项公式，令x的指数为4，即可求解； （2）根据（1），令x的指数为整数，求出r的值，进而可以求解. 【小问1详解】 由二项式系数和为，则，解得； 则展开式的通项公式为，， 令，解得，所以展开式中含的系数为； 【小问2详解】 由（1）可知，令，且，则， 则展开式中的有理项分别为，，. 17. 甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． （1）已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； （2）若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得，，再由条件概率公式计算； （2）确定的所有可能取值为，0，3，6，分别计算出概率得分布列，然后由期望公式计算出期望． 【小问1详解】 甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件， ， ， 所以． 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为，0，3，6， 则， ， ， ． 所以的分布列为 0 3 6 故． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建系，易得平面的法向量，再证明即可； （2）利用空间向量法求解面面角即可； （3）利用空间向量法求解点面距离即可． 【小问1详解】 因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 由得，所以， 易知平面的一个法向量为， 所以，即， 又平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）得，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由题意知，，，， 设平面的法向量为，则， 取可得， 所以点到平面的距离为. 19. 已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且. （1）求C的标准方程； （2）若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设MN的方程，与抛物线方程联立，表示出弦长，解得p的值； （2）由对称性得点P与N关于y轴对称，直线MP的方程与抛物线的方程联立，可得直线MP过定点，由的面积等于4，得直线MP的方程. 【小问1详解】 由题，，则直线的方程为，，， 联立方程组，得，， ， 则，抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1），，， 设直线MP的方程为， 因为直线MN与FP的斜率之和为0，所以P与N关于y轴对称，， 联立方程组，得， 所以，，得，所以直线MP过定点， 所以，所以，， ，，， 所以直线MP的方程为. 【点睛】直线MN与FP的斜率之和为0，等价与y轴平分，可得P与N关于y轴对称，利用（1）可得直线MP过定点，更易表示的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $