精品解析：广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期末测试数学试题A卷

华南师大附中2024-2025学年度第一学期期末测试 高三数学 本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 注意事项： 1． 答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3． 考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合或，，则（ ） A. , B. ,1, C. ,0, D. ,0,1, 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用交集的运算法则求解即可. 【详解】集合或，， 则. 故选:C 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得. 【详解】由，得，所以. 故选：D 3. 已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，建立方程，分析方程的解的个数即可得出答案. 【详解】当 时，，有无数组解，故A错误； 当时，，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 故方程有且仅有一组解，故B正确； 当时，，当或时方程成立，方程有无数组解，故C错误； 当时，即，即，方程有无数组解，故D错误. 故选：B 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法求解. 【详解】解：由 ，解得 ， 所以函数 的定义域为 ， 因为，所以函数为奇函数，排除C项； 设，显然该函数单调递增，故当时，， 则当时，，故， 当时，，故， 当时，，故，故排除D项； 当时，，故，故排除B项. 故选：A. 5. 图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为，则点到该抛物线焦点F的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设抛物线为且，根据在抛物线上求p，利用抛物线定义求P到该抛物线焦点F的距离. 【详解】令抛物线方程为且， 由题设在抛物线上，则，得， 又且，则P到该抛物线焦点F的距离为米. 故选：A 6. 设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分析公差三种情况，当时无最大值，当时， 不一有最大值，即可得出论. 【详解】对于无穷等差数列，由于， 当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值， 当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值， 所以公差不能推出有最大值， 当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值， 所以当有最大值时，只能， 综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件， 故选：A 7. 已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数关于直线对称 C. 函数关于点中心对称 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为偶函数推导出，根据为奇函数，得到，得到函数的图象关于点对称，故B错误，C正确； 由由及推导出，故周期为4，A错误； 根据函数的周期性求出，D错误. 【详解】∵为偶函数， ∴， ∴， 故 即， ∴函数的图象关于直线对称. ∵为奇函数， ∴， ∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确； 由及知，， ∴， ∴，即， ∴，故 ∴函数的周期为4，A错误， ，故D错误. 故选：C. 8. 已知P为圆上的动点不在坐标轴上，过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定几何体，并表示体积公式，结合导数求解. 【详解】设，不妨设， 则过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周， 所得几何体为同底等高的一个圆柱体与圆锥的组合体，底面半径为，高为， 则所得几何体的体积为， 令，， 由，可得， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得最大值， 即时， 取得最大值，此时， 所以线段的长度为 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： 对于A:，故A正确；对于B：由对称性有，故B错误； 对于C：由对称性有，故C正确； σ越小，说明数据越集中，越小，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】注意到，又可得 在单调递增，则有，后由零点存在性定理可得范围.，之后判断各选项正误即可得答案.. 【详解】， 又函数的零点为，则，其中. ，得在上单调递增，又其有零点，则为其唯一零点. 又，得. 注意到，， 则，且. 对于A，因，， 则，故A正确. 对于B，因，则. 令.在上单调递减， 则，得在上单调递增. 则，即，故B错误. 对于C选项，因，，则，故. 则由基本不等式结合有：，故C正确. 对于D选项，因，则，由C选项分析可知. 则令，. 得在上单调递增，故，即.故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题涉及函数零点，构造函数证明不等式，需注意以下两点: （1）若题目中同时出现与，常通过使出现相同结构. （2）对于双变量问题，常利用消元思想转化为关于一个未知数的问题. 11. 如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若与平面所成的角为，则 C. 的最小值为 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的定义可判断A选项的正误，利用线面角的定义可判断B选项的正误;利用的最小值及勾股定理可求出的最小值判断C，利用建系的方法计算出的外接球的半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断D选项的正误;利用锥体的体积公式可判断D选项的正误. 【详解】如图，， 连接，在中，， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是，故A错误； 连接，由于平面，所以与平面所成的角为，如图， 所以，因为，所以，故B正确； 设在底面的射影为，为中点，连接， 则，又， 则，而， 所以，故，故C正确； 以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴，如图， 则点的坐标满足，可设的坐标为， 由球心在BC的中垂线（即过外接圆圆心且与底面垂直的直线）上，可设球心坐标为， 因为，所以， 解得，故，所以外接球的半径， 所以，故D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本小题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知，则____________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数的运算求解. 【详解】因为， 所以， 故， 故答案为：1 13. 已知四棱锥的底面是平行四边形，点E满足．设三棱锥和四棱锥的体积分别为和，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设点到平面的距离为， 因为，则， 则，其中三棱锥的体积为， 则，， 又，所以，则. 故答案为： 14. 袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨对三个小球进行标记，记为1，2，3号，分析第一次取出的小球标号，求出相应的概率，即可得解. 【详解】不妨对三个小球进行标记，记为1，2，3号， 若第一次取出的是1号球，两次操作之后袋子里面只剩1号球； 若第一次取出的是2号球，则第二次操作时袋子中有1，2号球，若要让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为； 若第一次取出的是3号球，则第二次操作时袋子中有1，2，3号球，若让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为； 综上，袋中剩下2个小球的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱台中，， （1）若，证明：平面； （2）若三棱台的高为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图所示，过点作，交BC于点E， 易知四边形为平行四边形. 所以，，所以 又，所以，即故， 同理可得 又直线与相交，且直线与都在平面内， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，交BC于点E，进而求出相关边长，可证得，，进而可证得到结论； （2）以AB的中点O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.取线段中点F，求出平面与平面的法向量，进而可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以AB的中点O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴， 过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.取线段中点F， ，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 故 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 故， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为 16. 如图所示，某景区有两条公路（在同一平面内），在公路上有两个景点入口游客服务中心在点处，已知，. （1）已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为3km.若不考虑其他环境因素干扰，则处的工作人员与处的工作人员能否用对讲机正常通话? （2）已知一点处接收到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在公路CQ段上建立一个志愿服务驿站，且要求在志愿服务驿站接收景点入口处对讲机的信号最强.若选址使，请判断该选址是否符合要求? 【答案】（1）A处工作人员对讲机能与C处工作人员正常通话 （2）D点选址符合要求 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出，与3比较大小即可得出结论； （2）由余弦定理求出，可证明，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以为锐角， 所以， 在中，所以， 因为，所以A处工作人员对讲机能与C处工作人员正常通话. 【小问2详解】 由余弦定理， 因为， 所以的长为点A与直线上所有点的距离的最小值， 所以D点选址符合要求. 17. 已知是圆上一动点，定点，线段的垂直平分线与直线交于点，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若直线与曲线恰有一个共点，且与直线，分别交于、两点，的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）题意可得，即可得到，根据双曲线的定义得到点的轨迹是以、为焦点的双曲线，从求出、、，即可得解； （2）讨论直线斜率是否存在，且当直线斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线方程，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，以及用点到直线的距离公式求得三角形的高，求得面积，即可证明. 【小问1详解】 由可知，， 因为线段的垂直平分线与直线交于点， ，所以或， 所以，所以， 所以， 所以由双曲线的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线， 所以点的方程为． 【小问2详解】 设直线斜率为，设直线方程为， 因为与直线，分别交于、两点，所以， 联立方程组得， 因为，所以， 因为直线与曲线恰有一个公共点，所以直线与曲线相切， 由，得， 联立方程组得. 不直线与的交点为，则. 同理可求，所以. 因为原点 到直线的距离， 所以，又因为，所以， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：， 此时，. 故的面积为定值，且定值为. 18. 设函数（，，）. （1）当时，求的最小值； （2）讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； （3）当时，都有，求实数a的取值集合. 【答案】（1）4 （2） 设点为函数的对称中心，则， 所以，即， 所以， 于是，且，且， 即，， 所以当时，m无解，此时函数的图象没有对称中心； 当时，，此时函数图象的对称中心为. （3） 【解析】 【分析】（1）结合指数运算法则，利用基本不等式求解即可，注意验证等号成立条件. （2）利用中心对称列方程，根据指数运算化简得，，按照和分类讨论求解即可. （3）由题意转化为恒成立，令，按照和分类讨论，利用导数法研究其单调性，求解最值即可得解. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时，取最小值4. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，所以在上恒成立，即． 令，则， 所以，令，则， 所以在上单调递减， ①当时，，则在上单调递减， 此时当时，，舍去； ②当时，由，解得， 1°当时，， 所以时，，则单调递增； 时，，则单调递减； 所以时，取极大值，则，所以满足； 2°当时，， 因为时，，则单调递减， 所以时，，舍去； 3°当时，， 因为时，，则单调递增， 所以时，，舍去； 综上，实数a的取值集合为. 19. 已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. （1）若，，求； （2）若，求证：数列中有无穷多项为0； （3）若，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意代入计算即可； （2）利用反证法证明即可； （3）①分与两种情况讨论，①当时，首先证明数列是递增数列，再证明即可，②当时，令，结合①的结论即可得解. 【小问1详解】 取，则存在，使得， 因为，，所以 【小问2详解】 假设中仅有有限项为0，不妨设，且当时，均不为0，则， 取，则存在，使得，与矛盾. 【小问3详解】 ①当时，首先证明数列是递增数列，即可证，恒成立， 若不然，则存在最小的正整数，使得，且， 显然，取，则存在，使得， 因为， 所以这个不同的数恰为这项. 所以与矛盾， 所以数列是递增数列， 再证明：，， 记，即证， 当时，结论成立， 假设存在最小的正整数，使得对任意恒成立， 但，则， 取，，则存在，使得， 因为数列是递增数列， 所以， 所以， 因为这个数恰为这项， 所以， 这与矛盾， 所以， 当时，令，，则，，且， 对于中任意两项， 因为对任意，存在，使得， 所以，即存在，使得， 因此数列满足题设条件， 由①可知， 所以， 综上所述，， 经检验，数列满足题设条件. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解数列新定义问题，关键是数学归纳法和反证法的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华南师大附中2024-2025学年度第一学期期末测试 高三数学 本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 注意事项： 1． 答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3． 考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合或，，则（ ） A. , B. ,1, C. ,0, D. ,0,1, 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为，则点到该抛物线焦点F的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数关于直线对称 C. 函数关于点中心对称 D. 8. 已知P为圆上的动点不在坐标轴上，过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 10. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若与平面所成的角为，则 C. 的最小值为 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 三、填空题：本小题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知，则____________. 13. 已知四棱锥的底面是平行四边形，点E满足．设三棱锥和四棱锥的体积分别为和，则的值为______． 14. 袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱台中，， （1）若，证明：平面； （2）若三棱台的高为，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 如图所示，某景区有两条公路（在同一平面内），在公路上有两个景点入口游客服务中心在点处，已知，. （1）已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为3km.若不考虑其他环境因素干扰，则处的工作人员与处的工作人员能否用对讲机正常通话? （2）已知一点处接收到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在公路CQ段上建立一个志愿服务驿站，且要求在志愿服务驿站接收景点入口处对讲机的信号最强.若选址使，请判断该选址是否符合要求? 17. 已知是圆上一动点，定点，线段的垂直平分线与直线交于点，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若直线与曲线恰有一个共点，且与直线，分别交于、两点，的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 18. 设函数（，，）. （1）当时，求的最小值； （2）讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； （3）当时，都有，求实数a的取值集合. 19. 已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. （1）若，，求； （2）若，求证：数列中有无穷多项为0； （3）若，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $