立体几何：空间平行的判断与性质、空间垂直的判断与性质 专项训练-2025届高三数学二轮复习

立体几何：空间平行的判断与性质、空间垂直的判断与性质专项训练 立体几何：空间平行的判断与性质、空间垂直的判断与性质专项训练 考点一 线面平行的判断与性质 1．（24-25高三上·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）    取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，所以在中， 根据三角形中位线定理，，且. 已知底面是直角梯形，，，，所以，且. 由此可得，且，所以四边形是平行四边形. 那么. 又因为平面，平面， 根据线面平行的判定定理，所以平面. （2）因为平面，平面,所以. 在直角梯形中，，， 根据勾股定理可得. 又，，， 所以，则. 因为平面，平面，所以，又，所以平面. 因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的一半. 计算，，则. 设点到平面的距离为，，. 由，即，解得. 所以点到平面的距离. 2．（24-25高三上·北京昌平·期末）如图，在多面体中， 四边形为正方形，，为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，设，因为四边形为正方形，所以为中点． 因为为的中点，所以，且． 由已知，且，所以，． 所以四边形为平行四边形．所以，即． 因为平面，平面，所以平面． （2）因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以、、、、、、， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设直线与平面所成角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为． 3．（24-25高三下·福建福州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是正方形， 所以是中点，又为线段的中点， 所以， 又平面平面， 所以直线平面. （2）因为底面是边长为2的正方形，所以， 又平面，所以平面， 在平面内作，分别以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 又底面为边长为2的正方形，，则，又， 得， ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 4．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）在五面体中，平面，平面． (1)求证：； (2)若，，，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见详解； (2)二面角的大小为. 【详解】（1）证明：平面，平面ADE， ， 又平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， ，又， . （2）因为平面，所以， 又，所以， 如图，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，， 又，所以， 又，，所以， 解得. 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则， 同理，设平面的一个法向量为，则， 令，则， 设二面角为，根据几何体，可判断为钝角， 则， 所以二面角的大小为. 5．（24-25高三上·江苏扬州·期末）如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点． (1)求证：为棱的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【详解】（1）证明：因为直三棱柱，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以． 又为的中点，所以为的中点． （2）方法一：由直三棱柱得平面， 又平面，所以，， 所以即为二面角的平面角． 又二面角为直二面角，所以． 如图，以点为原点，分别以，为轴建立空间直角坐标系． 设，则，， 所以，，． 设为平面的法向量，则即 不妨取，则是平面的一个法向量， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 解之得，即． 方法二：在平面内，过点作，垂足为，连接， 由直三棱柱得平面，又平面， 所以，， 所以即为二面角的平面角． 又二面角为直二面角，所以，即， 又，，平面，所以平面． 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角． 设，因为，， 所以，所以， 解之得，即． 6．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为． (1)证明：平面； (2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为，平面平面且平面平面，平面， 所以平面，则平面． （2）取中点记为，中点记为，连接，所以， 连接，因为为等腰三角形，所以， 所以，，两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，，， 令，所以，，， 记平面的一个法向量，则， 可取，记直线与平面所成的角为， 则， 当时，，当时， ， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 考点二 面面平行的判断与性质 1．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以. 又平面，不在平面内， 所以平面. 因为，平面，不在平面内，所以平面. 又，平面,所以平面平面； （2）如图，连接，交于点，取的中点， 因为、分别为、的中点，所以， 又平面，所以平面， 又因为为菱形，所以， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，取. 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 2．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，四棱锥中，是等边三角形，，E为中点，O为中点. (1)证明：平面平面； (2)若，平面平面ABCD，求与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为在中，E为的中点，O为中点，所以， 而平面平面，所以平面. 因为，所以，所以四边形是平行四边形， 所以而平面平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. （2）如图，连接，得 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又，所以. 故以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面PBC的一个法向量为， 所以，令，则， 设直线与平面所成的角为 则， 故与平面所成的角的正弦值为 3．（24-25高三上·云南楚雄·期末）如图，在正四棱锥中，分别为棱的中点. (1)证明：平面. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为分别为棱的中点， 所以. 又为正四棱锥，所以四边形为正方形， 则，从而. 因为平面平面平面平面， 所以平面平面. 又，所以平面平面. 因为平面，所以平面. （2）解：因为为正四棱锥， 所以以四边形的中心为坐标原点，过点且与平行的直线为轴，过点且与平行的直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 由，得， 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 由得 令，得. 由图可知，是平面的一个法向量. 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为 4．（24-25高二上·北京昌平·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2 【详解】（1）法一： 在正方体中， 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以.   法二： 在正方体中， 因为平面平面，平面， 所以平面.                               又因为平面，平面平面， 所以. （2）如图，建立空间直角坐标系.则                     ，，，，. 所以，，.       设平面的法向量，则 即 . 令，则. 所以.              设直线与平面所成角为， 所以.   所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）因为，所以. 所以点到平面的距离为. 5．（24-25高二上·河北唐山·期末）如图，已知棱长为1的正方体. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求平面与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 则即取. 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）由（1）得平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则即取. 故，而点平面,所以平面平面. （3）由（2）得平面平面， 所以平面与平面的距离即为到平面的距离. 又，平面的一个法向量为. 所以到平面的距离为， 即平面与平面的距离为. 6．（24-25高三上·湖北·期中）已知圆柱如图所示，其中正方形为轴截面，点，为圆上异于，且同侧的点，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面夹角的正切值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，故， 而平面，平面，故平面. 取线段的中点，连接，， 则，，故， 故四边形为平行四边形，则. 而平面，平面，故平面. 而，平面，平面， 故平面平面. （2）如图，连接，因为是圆的直径，所以， 过点作圆柱的母线，则平面，所以，，互相垂直， 以为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，，，则， 则，，， 所以，. 设为平面的法向量， 所以，令，解得， 所以为平面的一个法向量. 易知为平面的一个法向量. 因为平面与平面夹角的正切值为，故夹角的余弦值为， 所以，化简得， 而，解得（舍去），则. 考点三 线面垂直的判断与性质 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角． (1)求证：； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)当四棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由题意知平面平面， 又平面平面平面， 所以平面,因为平面， 所以,又因为，，平面平面， 所以平面,因为平面， 所以; （2）由题可知二面角为直二面角， 过点作于点， 则 ， 所以当取最大时最大， 由于，所以，，三点共圆，且是以为直径的圆， 故（当落在圆心时，为直径时最大）， 即， 故四棱锥体积的最大值为； （3）取中点为，连结，取中点为，连结， 四棱锥体积最大时，， 点是中点，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为点、分别是、的中点， 所以，则， 则，． 以点为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，, ，，，． 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）如图，三棱柱中，，. (1)求证：平面； (2)直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理可得， 则，解得， 由，则在中，， 因为，平面，， 所以平面. （2）由（1）及，则两两相互垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设，由（1）知， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 则，解得，则， 在三棱柱中，，则， 设平面的一个法向量， 则，可得，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 3．（24-25高三下·北京·开学考试）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为60°.设M，N分别为，的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）因为四边形和都是直角梯形，， 因为，且，平面， 则平面， 平面，可得. （2）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． 因为四边形和都是直角梯形， 由题意可知， 则四边形和四边形是矩形， 在Rt和Rt，， 是二面角的平面角，则， 可知是正三角形，由平面，得平面平面， 又因为是的中点，则， 又平面，平面，可得， 且，平面，可知平面， 而平面，所以. 因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 可得 设平面的法向量为 由，得，取， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，平面平面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）∵，为的中点，∴. ∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面. ∵平面，∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，∴ 平面． （2）方法一： ∵平面，平面，∴， ∵平面，平面，∴， ∴，． 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ∴，，． 设平面的一个法向量，由，得， 令，则，∴. 设直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 方法二： ∵平面，平面，∴， ∵平面，平面，∴， ∴，，． 如图，取的中点，连接、，作于，则. ∵平面，平面，∴， ∴. ∵，为的中点，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，，平面， ∴平面，故为直线与平面所成的角． ∵， ∴直线与平面所成的角的正弦值为． 5．（24-25高二上·福建南平·期末）在三棱锥中，平面平面，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解法一；由，是棱的中点，得. 又平面平面，平面平面，且平面； 所以平面，平面，得. 取中点，，，知，点， 即为中点，又是棱的中点，知，， 所以平面，平面，所以. 解法二：由，是棱的中点，得. 又平面平面，平面平面，且平面； 所以平面，平面，得. 连接，则由，及是线段的中点，得. 由（1）知，平面，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 设，得，，，， 则，，，所以. （2）连接，则由，及是线段的中点，得. 由（1）知，平面，如图以点为坐标原点， ，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系. 四棱锥的体积为，且，，，得 是线段的中点，， 得，，，，，，. 所以，，设平面的一个法向量为， 则取，可得； 由（1）知平面，所以平面的一个法向为， 设平面与平面夹角为，则， 因为，所以平面与平面的夹角为. 6．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）如图，四棱锥中，平面平面，底面为正方形，，分别为，的中点，平面交于点.    (1)证明：； (2)设. （i）求平面与平面所成角的余弦值； （ii）求. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）连接，由正方形，得，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，又平面，则， 由，分别为，的中点，得， 所以.    （2）（i）令，连接，由，得，， 由（1）知直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，令，得， 显然平面的法向量为，设平面与平面所成的角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （ii）设，则，， 于是，，解得， 所以. 考点四 面面垂直的判断与性质 1．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为4的正方形MBCD中，A为线段MB的中点，沿AD将翻折至，使得. (1)求证：平面平面PCD； (2)求平面PBC与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 证明：连接AC，，，可得， , 所以，， 因为，平面， 所以平面PCD， 因为平面PAB， 所以平面平面PCD. （2）取CD的中点Q，连接PQ，AQ 由（1）知，，，，平面， 所以平面PAQ， 因为平面ABCD， 所以平面平面ABCD， 过P作，垂足为N， 因为平面，平面平面， 所以平面ABCD， 因为平面， 所以， 在中，，， 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 可知z轴在平面PAQ内. 则，，，， ，， 设平面PBC的法向量，由， 可得，可取. 由（1）可知，为平面PCD的法向量， 则平面PCD的法向量为. 故， 所以平面PBC与平面PCD所成角的正弦值为. 2．（24-25高三上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是梯形，． (1)证明：平面平面． (2)若，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接， 因为是等边三角形，又，所以，， 又，所以，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）若，由（1）可得，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为， ， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 3．（24-25高三上·山西·期末）如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，点为的中点，所以， 因为平面平面ABD，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 因为，，所以是等边三角形，所以， 所以，所以，即， 又平面，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接，则， 又因为平面，则平面， 因为，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、，、、、， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 4．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中平面ABCD，设平面PBC和平面PAD的交线为l，． (1)若，证明：平面平面PAB； (2)若，，平面ABCD与平面PCD所成角的余弦值为，求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，因为，所以， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，在平面内，垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 显然平面的一个法向量为， 依题意， 解得， 设与平面所成的角为，因为，又平面的一个法向量为， 所以，所以直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为． 5．（24-25高二上·湖北·期末）如图，已知四棱锥，底面为菱形，且，侧面为边长等于2的正三角形，平面平面，为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）取中点，连接， 因为为正三角形， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为的边长为2，所以， 又为菱形，，， 所以，， 所以，所以， 所以菱形的面积为， 所以四棱锥的体积为：. （2）由（1），以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，，， ，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则即，令，则，， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则即，令，则，， 所以平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 6．（24-25高二上·山西·期末）如图，平面平面，四边形是正方形，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以．因为四边形是正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）由（1）知平面， 又平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 所以两两垂直． 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：空间平行的判断与性质、空间垂直的判断与性质专项训练 立体几何：空间平行的判断与性质、空间垂直的判断与性质专项训练 考点一 线面平行的判断与性质 1．（24-25高三上·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 2．（24-25高三上·北京昌平·期末）如图，在多面体中， 四边形为正方形，，为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 3．（24-25高三下·福建福州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）在五面体中，平面，平面． (1)求证：； (2)若，，，求二面角的大小． 5．（24-25高三上·江苏扬州·期末）如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点． (1)求证：为棱的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 6．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为． (1)证明：平面； (2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 考点二 面面平行的判断与性质 1．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，四棱锥中，是等边三角形，，E为中点，O为中点. (1)证明：平面平面； (2)若，平面平面ABCD，求与平面所成的角的正弦值. 3．（24-25高三上·云南楚雄·期末）如图，在正四棱锥中，分别为棱的中点. (1)证明：平面. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 4．（24-25高二上·北京昌平·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 5．（24-25高二上·河北唐山·期末）如图，已知棱长为1的正方体. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求平面与平面的距离. 6．（24-25高三上·湖北·期中）已知圆柱如图所示，其中正方形为轴截面，点，为圆上异于，且同侧的点，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面夹角的正切值为，求的值. 考点三 线面垂直的判断与性质 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角． (1)求证：； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)当四棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）如图，三棱柱中，，. (1)求证：平面； (2)直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 3．（24-25高三下·北京·开学考试）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为60°.设M，N分别为，的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，平面平面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 5．（24-25高二上·福建南平·期末）在三棱锥中，平面平面，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的大小. 6．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）如图，四棱锥中，平面平面，底面为正方形，，分别为，的中点，平面交于点.    (1)证明：； (2)设. （i）求平面与平面所成角的余弦值； （ii）求. 考点四 面面垂直的判断与性质 1．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为4的正方形MBCD中，A为线段MB的中点，沿AD将翻折至，使得. (1)求证：平面平面PCD； (2)求平面PBC与平面PCD所成角的正弦值. 2．（24-25高三上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是梯形，． (1)证明：平面平面． (2)若，求平面与平面夹角的正弦值． 3．（24-25高三上·山西·期末）如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中平面ABCD，设平面PBC和平面PAD的交线为l，． (1)若，证明：平面平面PAB； (2)若，，平面ABCD与平面PCD所成角的余弦值为，求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值． 5．（24-25高二上·湖北·期末）如图，已知四棱锥，底面为菱形，且，侧面为边长等于2的正三角形，平面平面，为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 6．（24-25高二上·山西·期末）如图，平面平面，四边形是正方形，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$