空间向量与立体几何：已知线面角、二面角、点到平面的距离求其他量专项训练-2026届高三数学二轮复习

空间向量与立体几何：已知线面角、二面角、点到平面的距离求其他量专项训练 空间向量与立体几何：已知线面角、二面角、点到平面的距离求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知二面角求其他量 已知点到平面的距离求其他量 考点一 已知线面角求其他量 例1．（25-26高二上·广西钦州·期末）如图，在四棱锥中，平面，，点在线段PD上且满足，点在线段PA上且满足． (1)证明：； (2)若存在，使直线BE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值． 例2．（25-26高三上·陕西商洛·月考）如图，在多面体中，，为等边三角形，点为的中点，平面平面．    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 例3．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 变式1．（2026·河北沧州·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形． (1)若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 变式2．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，三棱柱中，是等边三角形，，，.    (1)证明：平面平面； (2)点是线段上一动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 变式3．（25-26高三上·天津南开·月考）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求证：∥平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 考点二 已知二面角求其他量 例1．（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图，平面. (1)求证：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长. 例2．（25-26高三上·江苏·月考）如图，在四棱锥中，，，两两垂直，四边形是梯形，，，为棱的中点. (1)设过点的平面与棱交于点，求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，，，. (1)求证：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高二上·广西玉林·期末）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，求证：平面； (2)是否存在点，使得，且二面角的余弦值为；若存在，求出长；若不存在，说明理由. 变式2．（2026·江苏镇江·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． (1)证明：； (2)若是边长为6的等边三角形，点在棱上，若二面角的大小为，求四面体外接球的表面积． 变式3．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在梯形中，，将沿翻折至二面角为，为中点.    (1)求证：； (2)线段上是否存在一动点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 考点三 已知点到平面的距离求其他量 例1．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，⊥平面，平面与棱交于点E，，．    (1)求证：； (2)已知点C与平面的距离为，求的长度． 例2．（25-26高三上·四川达州·期中）如图，在四棱锥中，平面. (1)证明：平面PAC. (2)在线段BC上是否存在一点，使点到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高三上·四川成都·月考）在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） (1)求证：平面； (2)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 变式1．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为矩形，，平面ABCD． (1)求证：平面BCF； (2)若，点A到平面BDF的距离为，求的值． 变式2．（25-26高三上·四川内江·月考）如图，在四棱锥中，，平面平面， 为棱的中点.    (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点在棱上，使得点到平面的距离是，求二面角的余弦值. 变式3．（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点． (1)证明：平面． (2)求平面与平面所成角的正切值． (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：已知线面角、二面角、点到平面的距离求其他量专项训练 空间向量与立体几何：已知线面角、二面角、点到平面的距离求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知二面角求其他量 已知点到平面的距离求其他量 考点一 已知线面角求其他量 例1．（25-26高二上·广西钦州·期末）如图，在四棱锥中，平面，，点在线段PD上且满足，点在线段PA上且满足． (1)证明：； (2)若存在，使直线BE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， 平面，故 （2）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴， 以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，，∴， 于是，，，， 设，则，， 由可得， ∴，，，， 设平面的一个法向量为， 于是，所以， 令，得，，故可取， 因， ， 由于直线BE与平面PAC所成角的正弦值为， ∴，解得或（舍去）, 故 例2．（25-26高三上·陕西商洛·月考）如图，在多面体中，，为等边三角形，点为的中点，平面平面．    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解. (2)或. 【详解】（1）平面平面，平面平面， 又平面，且，平面，又平面，， 又为等边三角形，点为的中点，. 又平面且，平面. （2）存在点，理由如下： 由题意，以F为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，   ，， 设，，则， ，， 又， 设平面的法向量为， ，令，则，， 平面的法向量为. 又直线与平面所成角的正弦值为，， 即，解得或， 或. 例3．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）证明：由正方体性质可知，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为， 则, ； 设平面的一个法向量为，则， 令，可得； 设直线与平面所成角为，则， 解得，即线段的长度为1.    变式1．（2026·河北沧州·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形． (1)若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或28 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由已知，四点共面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面． （2）令， 取的中点为，连接，过作，且交于， 因为，平面，所以平面， 因为是正三角形，，所以． 以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则，即， 取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 即或28． 变式2．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，三棱柱中，是等边三角形，，，.    (1)证明：平面平面； (2)点是线段上一动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，， 在中，，，则，， 因为，，平面，可得平面，                                 且平面，则， 在中，， 在中，，可知， 且平面，，可得平面， 且平面，所以平面平面. （2）由（1）可知：，，， 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 可得，，，， 设，，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设与平面所成角为， 则， 解得，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 变式3．（25-26高三上·天津南开·月考）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求证：∥平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）    过作于点，则. 以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， ∵为的中点．∴， 则，. 设平面的法向量为，则,即， 令，则，∴ ． ∴ ，又平面．∴∥平面. （2）由（1）知. 设平面的法向量为， 则,即，令，则.. 所以平面与平面夹角的正弦值为 （3）令，.设，∴ ， ∴，  . 由（1）知，平面的法向量为. ∵ 直线与平面所成角的正弦值为， ∴ ， 化简得，∵，∴，故． 考点二 已知二面角求其他量 例1．（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图，平面. (1)求证：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意，以为原点，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 则， 设，则， 由题意可知，平面ADE的法向量为， 因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. （2）由题可得， 设平面的法向量为，则 令，则，可得， 设平面的法向量为，则 令，则，可得， 由题意可得， 整理可得，解得或（舍去）， 所以线段的长为. 例2．（25-26高三上·江苏·月考）如图，在四棱锥中，，，两两垂直，四边形是梯形，，，为棱的中点. (1)设过点的平面与棱交于点，求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，或 【详解】（1）证明：如图，取中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 因为，， 所以， 所以四边形为平行四边形，即四点共面， 所以平面即为过点的平面， 因为过点的平面与棱交于点， 所以点与点重合，所以 （2）因为在四棱锥中，，，两两垂直， 所以，如图建立空间直角坐标系， 则 设，则，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令得，即， 设平面的一个法向量为 则，即，令，则，即 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，即， 整理得，即，解得或，均满足， 所以，当时，，此时点到平面的距离为； 当时，，此时点到平面的距离为 综上，线段上存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，点到平面的距离或. 例3．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，，，. (1)求证：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【详解】（1）解法一：由平面，，知，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，，知，， 则，，，，， 则，， 所以， 所以，即. 解法二：由，， 在与中， 因为，， 所以，所以， 所以，则， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）知，，，， 设平面的一个法向量为， 则，得，取，得. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3）在棱上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 设，，， 则， 则，即. 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由（2）知，平面的一个法向量为， 若平面与平面夹角的余弦值为， 则， 化简得，解得或，此时或， 综上，在棱上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时或. 变式1．（25-26高二上·广西玉林·期末）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，求证：平面； (2)是否存在点，使得，且二面角的余弦值为；若存在，求出长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 而平面，因此，由，得， 又平面，则，又平面，平面， 所以平面. （2）假定存在点满足题意，令， 过作，则平面，而，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面CPD的法向量为，则，取，得， 由二面角的余弦值为，得，解得， 所以. 变式2．（2026·江苏镇江·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． (1)证明：； (2)若是边长为6的等边三角形，点在棱上，若二面角的大小为，求四面体外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，为的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：分别取的中点为，连接， 因为为的中点，为边长为的等边三角形，所以为直角三角形， 且， 又因为的中点为，所以，可得， 在直角中，，，可得， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设，可得， ，则， 设平面的法向量为， 则， 令，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 因为二面角的大小为，可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以，即， 设，由，可得， 所以，即 令等边的外接圆的圆心为，可得， 设四面体的外接球的球心为，可得平面，则, 可设，由， 可得， 整理得，解得，即外接球的球心为， 设外接球的半径为，则， 所以四面体的外接球的表面积为. 变式3．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在梯形中，，将沿翻折至二面角为，为中点.    (1)求证：； (2)线段上是否存在一动点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点，. 【详解】（1）因为且为中点，所以. 又因为二面角为，所以平面平面，且平面平面，，平面， 所以平面，平面，所以. （2）由（1）知，故以所在直线为轴，以过M点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系如图： 又，所以.    故，，设， 设为平面的法向量，， 由，得，取，得，即. 而平面与坐标平面重合，所以法向量取. 因为二面角为，所以， 得，，，解得或（舍去）. 所以，得. 故存在点，. 考点三 已知点到平面的距离求其他量 例1．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，⊥平面，平面与棱交于点E，，．    (1)求证：； (2)已知点C与平面的距离为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）根据棱柱的性质可知，， 由于平面，平面， 所以平面，又平面， 平面平面，所以． （2）由于⊥平面，平面， 所以，，由于，D是AC的中点， 所以⊥， 以D为原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，    设（），已知， 则，则， ，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 所以点C与平面的距离， 解得或（舍）， 即，． 例2．（25-26高三上·四川达州·期中）如图，在四棱锥中，平面. (1)证明：平面PAC. (2)在线段BC上是否存在一点，使点到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）法一， 在直角梯形ABCD中，， 因为，所以，所以. 又因为平面ABCD，所以. 因为，所以平面PAC. 法二， 以为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则.                         设平面PAC的法向量为， 因为，所以 取，得. 又，所以，即与共线， 所以平面PAC. （2）法一 假设存在一点，使点到平面PCD的距离为，设， 即，连接DE，EP， 因为， 所以. 因为平面ABCD，所以，则， 由（1）知平面PAC，则. 由，得，解得， 因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为. 法二， 设平面PCD的法向量为， 因为，所以 取，得. 设，点到平面PCD的距离为， 因为，所以，解得， 所以， 因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为. 例3．（25-26高三上·四川成都·月考）在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2） (1)求证：平面； (2)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，在中，∵，， ∴， 在中，∵，∴， 同理可得，∵，平面， ∴平面； （2）设为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面平面， 又∵平面平面，平面， ∴平面，∴以点为坐标原点，为轴，为轴， 过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，， ∴， 设平面的法向量为， ∵，， 取，∴， ∴设， ∵，∴， 设点到平面的距离为， ∴，∴， ∴是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ∵，， 取，∴， 设平面与平面所成的角为， ∴． 变式1．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为矩形，，平面ABCD． (1)求证：平面BCF； (2)若，点A到平面BDF的距离为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以，， 又，平面，则平面， 而平面，所以， 又不在平面内，平面，所以平面， 因为，且不在平面内，平面，所以平面， 又，平面，故平面平面， 因为平面，故平面． （2）解法一：连结AF，如图所示， 设，，则， ，，在中， 以BF为底，则高， ， ， 因为，， 由等体积法可得，，即， 解得． 解法二：由，面，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设 则 则， 设面BDF的法向量，则， 取，则， 又， 解得，即． 变式2．（25-26高三上·四川内江·月考）如图，在四棱锥中，，平面平面， 为棱的中点.    (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点在棱上，使得点到平面的距离是，求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以，所以， 因为为棱的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 因为，所以点到平面的距离为， 所以； （2）因为平面，平面，所以， 又，， 所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    则， 所以， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. （3）根据（2）可知，则，，， 设，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，故， 点到平面的距离是， 解得， 所以，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，故， 所以， 所以二面角的余弦值为. 变式3．（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点． (1)证明：平面． (2)求平面与平面所成角的正切值． (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接． 因为是的中点，所以，．   又因为且，所以，，   所以四边形是平行四边形，所以．   因为平面，平面，所以平面． （2）解：由题意，平面，，则，，两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． 又因为，，，， 所以，，，．   平面的一个法向量为．   设平面的法向量为，因为，， 所以令，则．   设平面与平面所成角为， 所以， ，． 所以平面与平面所成角的正切值为． （3）解：设且，，， 则，，．   设平面的法向量为， 则令，所以． 又因为点到平面的距离为，， 所以，即，解得．   所以存在点，使得点到平面的距离为，此时． 2 学科网（北京）股份有限公司 $