立体几何与空间向量小题专项练习——2025届高三数学二轮复习

立体几何与空间向量小题练习 一、单选题 1．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 2．长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为（）    A．3 B．6 C．7 D．8 5．四棱柱中，侧棱底面，，，，侧面为正方形，设点O为四棱锥外接球的球心，E为上的动点，则直线与所成的最小角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，当棱上一动点到直线的距离最小时，过作截面交于点，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 7．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点(不包括顶点)，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是(    ) A．存在点F，使得为直角 B．对于任意点F，都有直线∥平面 C．对于任意点F，都有平面平面 D．当点F由向A移动过程中，三棱锥的体积逐渐变大 9．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 11．已知点是正方体底面内一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．在三棱锥中，面面，，，，是的中点.设，若，则二面角的余弦值的范围为（    ）    A． B． C． D． 13．三棱柱中，，，，，.则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 14．棱长为2的正方体中，为的中点，在底面内运动，与平面所成角为，与平面所成角为，若，则的最小值为（          ） A．2 B． C．4 D．1 15．设球是棱长为2的正方体的外接球，为的中点，点在球面上运动，且总有则点的轨迹的周长为（    ） A． B． C． D． 16．将边长为1的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点,分别是线段和上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 17．已知正方体的棱长为2，P，Q为底面ABCD内的两个动点，且满足．设与平面ABCD所成的角为，当取得最大值时，，则下列说法正确的是（    ） A．P的轨迹是圆（部分） B．的最大值为 C． D．取最大值时，Q的轨迹是椭圆（部分） 18．如图，在棱长为6的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥体积为定值 B．存在点，使平面平面 C．设直线与平面所成角为，则最小值为 D．平面截正方体所得截面的面积为 19．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ）    A． B．直线与所成角的正弦值为 C．到平面的距离为 D．存在实数使得 20．如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（   ） A．若，则平面 B． C．若且平面过点，则的最小值为4 D．若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为 21．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线AP与所成角的取值范围是 C．平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 22．已知正方体棱长为1，动点满足，则（   ） A．当时，则三棱锥的体积为 B．当时，直线平面 C．当时，直线平面 D．当且时，点的轨迹长度为 23．已知正方体棱长为1，动点满足，则下列选项正确的是（   ） A．当时，直线平面 B．当，，时，点到直线的距离为 C．当，，时，的值可能为3 D．当且，当时，点的轨迹长度为 24．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面为六边形 B．点G到平面的距离为定值 C．若，且，则G为棱的中点 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 25．如图，已知正方体的棱长为1，若点E、F是正方形内（包括边界）的动点，若，，则下列结论正确的是（    ） A．点E到的最大距离为 B．点F的轨迹是一个圆 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 26．如图，在棱长为6的正方体中，E，F分别是棱，BC的中点，则（    ） A．平面 B．异面直线与EF所成的角是 C．点到平面的距离是 D．平面截正方体所得图形的周长为 27．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ）    A．当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 28．如图，棱长为的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（    ）    A．当时，平面 B．当时，若平面，则的最大值为 C．当时，若，则点的轨迹长度为 D．过、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形 29．已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（    ） A．若取得最小值，则 B．若，则平面 C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为 D．直线到平面的距离为 30．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点B到平面的距离相等 31．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点G到平面的距离为定值 B．若，则的最小值为2 C．若，且，则点G到直线的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 32．已知正方体棱长为1，动点M满足，则（    ） A．当，时，直线⊥平面 B．当，，时，点M到直线的距离为 C．当，，时，的值可能为 D．当且时，点M的轨迹长度为 33．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A．当平面时，可能垂直 B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C．当时，的最小值为 D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，] 34．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 35．已知梯形，，，，是线段上的动点；将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项中正确的是（    ） A．不论何时，与都不可能垂直 B．存在某个位置，使得平面 C．直线与平面所成角存在最大值 D．四面体的外接球的表面积的最小值为 三、填空题 36．如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 37．如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 38．棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点， ，则的最小值为 39．如图，棱长为1的正方体的八个顶点分别为，记正方体12条棱的中点分别为，6个面的中心为，正方体的中心为.记，，其中是正方体的体对角线.则 .    40．已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为 . 41．如图，在四棱台中，，，，则的最小值为 ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何与空间向量小题练习 一、单选题 1．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、求平面的法向量、点到平面距离的向量求法 【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设A关于平面的对称点为，， 则，． 设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即        ①． 又，所以，即        ②． 由①②得，由可得，，， 所以， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为．故选：C. 2．长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】先建系，再根据向量垂直得出再结合，得出，最后应用空间向量法计算二面角余弦结合同角三角函数关系求出正切范围即可. 【详解】 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 已知，， 则，，，. 因为，所以, , 因为，所以, 因为，所以， 设平面的法向量为， 设平面的法向量为，，. 由，即， 令，则，， 则为平面的一个法向量. 设二面角为，由图可知为锐角， 所以. . ，. 所以 则. 则二面角的正切值的取值范围是故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用向量关系得出结合即可得出正切值取值范围. 3．如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】取的中点，连接，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合，利用两点间距离公式，求出的长即可． 【详解】取的中点，连接， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为是的中点，所以， 所以，而， 所以，即，所以点到的距离就是， 因为， 所以，即， 所以，即，所以的中点到的距离为.故：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发现，再利用整体法即可得解. 4．如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为（）    A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】A【难度】0.4【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，由题意可得点在平面内，且当平面时，取最小值，即平面,求出的坐标，计算出的值，即可得答案. 【详解】以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，如图所示：    设正方体的棱长为， 则，，，，，，，， 因为，且， 所以点在平面内，    又因为三棱锥为正三棱锥， 当平面时，取最小值，此时点位置记为点， 所以为的重心，则，故， 又因为，，，，，，， 所以，，，，，，， 所以共3个不同的取值.故选：A. 【点睛】关键点睛：在平面中，如果，且，则三点共线； 在空间中，如果，且，则四点共面. 5．四棱柱中，侧棱底面，，，，侧面为正方形，设点O为四棱锥外接球的球心，E为上的动点，则直线与所成的最小角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】多面体与球体内切外接问题、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，设球心，根据得到，设，根据向量的夹角公式结合二次函数性质计算最值得到答案. 【详解】如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，， 球心在平面的投影坐标为，则设球心， 则，即， 解得，则. 设，，，， 设，则，， 则， 当时，有最大值为， 此时直线与所成的角最小，对应的正弦值为.故选：D 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的异面直线夹角问题，外接球问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中建立空间直角坐标系可以简化运算，是解题的关键. 6．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，当棱上一动点到直线的距离最小时，过作截面交于点，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、点到平面距离的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】取的中点，连接，由题意可得平面建立空间直角坐标系，利用空间向量中点到直线距离公式计算出到直线的距离最小时的具体坐标，再用空间向量的方法计算出点到直线的距离和点到平面的距离即可. 【详解】 取的中点，连接， 因为是等腰直角三角形且，所以，，， 因为平面平面平面平面平面 所以平面所以以为原点，分别以，，的方向为，，轴的 建立空间直角坐标系，则 所以，， 因为动点在棱上，所以设，则 所以，， ，，，， 所以点到直线的距离为， 所以当时，点到直线的最小距离为，此时点是的中点即． 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，所以， 因为点是的中点，所以点是的中点，所以， ，， ，，，， 所以点到直线的距离为， 所以梯形的面积为， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 则点到平面的距离， 所以四棱锥的体积为．故选：B【点睛】方法点睛：针对于立体几何中角度范围和距离范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，熟练各种距离、各种角度的计算方式． 7．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】求空间向量的数量积 【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解 【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则， 所以， 故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，， 又， 所以，， 所以的取值范围为．故选：D． 8．如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点(不包括顶点)，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是(    ) A．存在点F，使得为直角 B．对于任意点F，都有直线∥平面 C．对于任意点F，都有平面平面 D．当点F由向A移动过程中，三棱锥的体积逐渐变大 【答案】C【难度】0.4【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、空间向量数量积的应用、线面平行的性质 【分析】A：验证是否为零即可；B：根据线面平行的性质即可判断；C：证明⊥平面即可；D：证明∥平面即可． 【详解】对于A，易知，故与不垂直，故A错误； 对于B，连接、AC、EF，则平面平面=EF， 若∥平面，则∥EF，显然仅当F和E为所在棱中点时与EF才平行，故B错误； 对于C，连接、、、、、， 由AB⊥平面得AB⊥，易知⊥， ∵AB∩=A，AB、平面，∴⊥平面， ∴⊥，同理可证⊥， ∵∩=，、平面，∴⊥平面， ∵平面，∴平面⊥平面，故C正确； 对于D，连接、、， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面，则F到平面的距离为定值， 又△面积为定值，故三棱锥F-体积为定值，故D错误．故选：C． 9．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 设上底面圆心为，下底面圆心为，连接 以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 则 则 又异面直线所成角的范围为故异面直线与所成角的余弦值为故选：A 10．在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】点到平面距离的向量求法、空间向量与立体几何综合 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用点到面的距离的向量求法和可构造方程组求得坐标，利用可求得结果. 【详解】以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设关于平面的对称点为， 则，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 与到平面的距离， 又，， ，，，， （当且仅当三点共线时取等号）， 即的最小值为.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得关于平面的对称点，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值. 11．已知点是正方体底面内一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求线面角、空间距离公式的应用、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，且设点，根据已知条件并结合两点间的距离公式求得动点的轨迹方程，要使得与底面所成的角最大，从而点在上，再由直线与平面的夹角可得，从而可得出最大值. 【详解】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2， 设，则，因为， 所以， 即， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆与正方体底面的交线， 即为如图的， 要使得与底面所成的角最大，则最短， 此时， 从而，所以的最大值为.故选：A． 12．在三棱锥中，面面，，，，是的中点.设，若，则二面角的余弦值的范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、面面角的向量求法 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，先求组成二面角的两个半平面的法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值范围即可. 【详解】解：面面，面面，，面， 所以面，， 在平面作直线直线，则， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则， 在，， 易求边上的高为，线段在上的投影长为， 所以，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则平面的一个法向量为， ，，， 设二面角的平面角为， ，， 显然是关于的减函数， 时，， 时，，故选：D. 【点睛】考查用坐标向量法求二面角平面角余弦值的范围，运算量大，易出错，难题. 13．三棱柱中，，，，，.则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】异面直线夹角的向量求法 【解析】以，，为一组基底，表示出，，即可求出的值，即可得解. 【详解】解：， 即异面直线与所成角，故选： 【点睛】本题考查空间向量的应用，利用空间向量解决异面直线的夹角，属于中档题. 14．棱长为2的正方体中，为的中点，在底面内运动，与平面所成角为，与平面所成角为，若，则的最小值为（          ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】A【难度】0.4【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、已知线面角求其他量、求平面轨迹方程 【分析】先证明PD=2PC，再在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，求出，再利用三角函数的图象和性质求出|AP|的最小值. 【详解】   设，所以，， 所以PD=2PC. 在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，    设点P(x,y),则， 整理得， 所以， 即,所以|AP|的最小值为2.故选：A 【点睛】本题主要考查线面角的计算，考查空间几何的轨迹问题，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．设球是棱长为2的正方体的外接球，为的中点，点在球面上运动，且总有则点的轨迹的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，结合线面垂直的判定定理证明平面，从而确定点的轨迹为平面与外接球的交线，由向量法得出点到平面距离，结合外接球的半径以及圆的弦长公式得出截面圆的半径，最后由圆的周长公式得出点的轨迹的周长. 【详解】如图，根据题意，该正方体的外接球半径为 由题意，取的中点，连接 以为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 则， 又平面， 平面 点的轨迹为平面与外接球的交线 设点到平面距离为，则 到过平面距离 截面圆的半径 点的轨迹周长为故选：A 【点睛】本题主要考查了立体几何中的轨迹问题，涉及了线面垂直的证明以及利用向量法求点到平面的距离，属于较难题. 16．将边长为1的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点,分别是线段和上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】二面角的概念及辨析、求空间向量的数量积 【分析】设点为中点，连接，，由题意可证得，作，，利用向量的基本运算可得，再通过建立平面直角坐标系，设，，，，求出，，利用向量数量积的坐标表示可求出，借助的范围，即可得解. 【详解】设点为中点，连接，， 由题意可知，，所以， 作，则P为OC中点作， 则平面BCD， 所以， 如图建立平面直角坐标系： 则，， 设，，，， 所以，，， 则， 因为，所以，故选：B. 【点睛】本题考查平面图形的翻折，考查二面角，向量的基本运算以及向量数量积的坐标表示，考查学生的推理能力和计算能力，难度较大. 二、多选题 17．已知正方体的棱长为2，P，Q为底面ABCD内的两个动点，且满足．设与平面ABCD所成的角为，当取得最大值时，，则下列说法正确的是（    ） A．P的轨迹是圆（部分） B．的最大值为 C． D．取最大值时，Q的轨迹是椭圆（部分） 【答案】ABD【难度】0.4 【知识点】线面角的向量求法、轨迹问题——圆、椭圆定义及辨析 【分析】建立空间直角坐标系，根据求得点的轨迹可判断A；要使得与底面所成的角最大，从而点在上，再由直线与平面的夹角可得，从而可得出最大值可判断B；根据三角形面积计算可判断C；由，可知点到的距离为，即点在以为轴，半径为的圆柱与底面ABCD内的交线上，利用圆柱的斜截面为椭圆即可得出结论. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设，则， 因为，所以， 即， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆与正方体底面的交线，故A正确； 要使得与底面所成的角最大，则最短， 此时， 从而，所以的最大值为，故B正确； ，故C错误； 设点到的距离为， 因为， 所以点在以为轴，半径为的圆柱与底面ABCD内的交线上， 又圆柱的轴与底面ABCD的夹角为， 所以点的轨迹是椭圆（部分）.故选：ABD. 18．如图，在棱长为6的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥体积为定值 B．存在点，使平面平面 C．设直线与平面所成角为，则最小值为 D．平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ACD【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】选项A：由等体积变换可得，可判断； 选项B：建立空间直角坐标系，设，根据空间向量由面面平行可得，可判断； 选项C：根据空间向量法表示线面角，可得，进而可得； 选项D：先做出平面截正方体所得截面，根据线面关系可得截面的面积. 【详解】选项A：，故A正确； 选项B： 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，则， ，设，故， 则, 由，得，不合题意，故B错误； 选项C：平面的法向量为， 则， ， 当时，取最小值为，故C正确；选项D： 如图，直线分别交的延长线于点， 连接交于，连接交于，连接， 由题意可知五边形即为平面截正方体所得截面， 因，分别为棱，的中点，，， ，得， 由正方体性质可知，， 故所求截面面积为， 由选项可知，，， 故，， 故，， ， 故所求截面面积为，故D正确，故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项的关键是先根据空间点线面的关系做出截面，进而由线面关系可求面积. 19．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ）    A． B．直线与所成角的正弦值为 C．到平面的距离为 D．存在实数使得 【答案】BCD【难度】0.4 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系 ，求出 . 对于A，计算 的值即可判断； 对于B，计算 的值即可判断； 对于 C，先计算 得 ，接着计算 ，再由 和 且结合锥体体积公式即可计算求解； 对于 D，由 计算求出，即可解答. 【详解】由题意，建立如下坐标系.    则 , , , , , , ，   所以 , , , , ，   对于A，，故 与 不垂直，故A错误；   对于B，，， 所以直线与所成角的正弦值为，故B正确； 对于C，由上 ，所以 ，   所以 即 ，又 ，  所以，   因为 ，又由正方体性质可知 平面 ，即 平面 ， ， 所以 ，   又，由余弦定理可得：， 所以，所以， 设G到平面的距离为，则， 所以，故C正确； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以     ，所以，故D正确.故选：BCD. 20．如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（   ） A．若，则平面 B． C．若且平面过点，则的最小值为4 D．若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、证明线面平行、空间向量的加减运算、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】运用线面平行性质和判定判定A；运用重心性质，结合向量线性运算法则判定B；根据点共面得向量定理，结合基本不等式计算判定C；画出草图，结合外接球球心性质，结合三点共线性质，将距离转化计算即可判定D. 【详解】对于选项 A，因为，即，所以，从而平面， 又因为平面平面，所以，从而平面，故A正确； 对于选项B， 连接并延长交于点H ，连接，则，因为O是重心，所以 ，故B错误； 对于选项C，因为，且，所以，又因为平面过点O，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于选项 D，延长交于Q，连接，并延长交于F ， 设，在如图②所示的图形中，由G为正四面体的外接球球心， 得 ， 因为三点共线，所以，所以 ，即， 所以点F到平面的距离为点C到平面的距离的， 又因为正四面体的棱长为1，所以其高为，即点C到平面的距离为，故点F到平面得距离为.故D正确.故选：ACD. 21．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线AP与所成角的取值范围是 C．平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】对于A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于B，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于CD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【详解】对于A，，平面，平面， 所以平面，因为点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，因为平面，， 所以，此时，与所成的角为， 所以异面直线与所成角的取值范围是，故B正确； 对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，， 则，，设平面的法向量， 设平面的法向量， ， 则，即， 令，则，则得， 面与平面所成夹角为， 所以， 因为，，所以，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C错误； 对于D，则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值， 最大值为，故D正确. 故选：ACD. 22．已知正方体棱长为1，动点满足，则（   ） A．当时，则三棱锥的体积为 B．当时，直线平面 C．当时，直线平面 D．当且时，点的轨迹长度为 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】平面向量基本定理的应用、锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题 【分析】当时，则为的中点，利用锥体的体积公式求三棱锥的体积即可判断A，先得到点为的中点，建立空间直角坐标系，计算出可判断B，利用向量法判线面平行，即可判断C，推出点在平面上，并得到平面，且，又，故，求出点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，求出轨迹长度可判断D. 【详解】 对于A，当时，，则为的中点， 则三棱锥的体积为，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 当时，，此时点为的中点， 又，则， 故与不垂直，故直线与平面不垂直，B错误； 对于C，当时，， 设平面的法向量为， 又， 则，解得，令，则，即， 由，且平面， 则直线平面，故C正确； 对于D，当时，， 故，即，故点在平面上， 连接，交平面于点， 由，，， 则，， 故⊥，且⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 又， 又，故， 故点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 故轨迹长度为，D正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； （1）解答方法：一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 23．已知正方体棱长为1，动点满足，则下列选项正确的是（   ） A．当时，直线平面 B．当，，时，点到直线的距离为 C．当，，时，的值可能为3 D．当且，当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD【难度】0.4 【知识点】组合体表面两点间的最短路径、空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】建立空间直角坐标系，将向量等式转化为坐标形式，A项，由向量数量积为证明线线垂直进而得线面垂直；B项，利用点到直线距离的向量求解公式运算求解可得；C项，结合展开图将折线段之和转化为平面问题，利用两点之间距离最短求最小值，根据动点变化得最大值，由范围判断即可；D项，先由证明四点共面，由可知，点在内部或边界上运动.再由点面距与勾股定理，得到点在以为圆心，为半径的圆上，得到点轨迹进而求长度. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，. A项，由题意知，，又，， 则； . 所以且， 平面，平面，且， 所以平面，故A正确； B项，由题意得，，， 则点到直线的距离 ，故B错误； C项，连接. 当，，，即点在线段上运动， 沿将与展开至同一平面，如图， 在平面四边形中，则，当且仅当三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 由为等边三角形， 则在中，， 由余弦定理得 ，则， 由点运动的连续性及图形可知，最大值为， 由， 则的值可能为3，故C正确； D项，，当且时， 则， 可得， 即，故四点共面， 由可知，点在内部或边界上运动. 如图，过作平面的垂线，垂足为，连接. 则即为点到平面的距离. 由选项A可知，向量也是平面的一个法向量， 又，则点到平面的距离， 在中，，由， 得， 故点在平面内以为圆心，为半径的圆上. 由，且，即平面的一个法向量. 则，即点坐标，且为的重心， 取的中点，连接， 由三边均为可知为正三角形， 则，且点到三边的距离相等， 点到的距离，点到顶点的距离为， 因为，故点的轨迹为圆在内的三段弧，如图所示. 在中，， 则，，从而， 由对称性可知，三段弧所对圆心角都为， 故点的轨迹长度为，故D正确.故答案为：ACD. 【点睛】关键点点睛：该题目的难点为CD项，解决关键在于空间问题平面化，C项关键在将空间图形展开得到平面图，进而将空间折线段之和问题转化为平面折线段之和，利用两点之间线段最短求解；D项关键则在于利用空间向量的加减运算及向量共面定理判断四点共面，再利用空间垂直关系将空间长度转化为平面内的长度，进而得到动点的轨迹. 24．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面为六边形 B．点G到平面的距离为定值 C．若，且，则G为棱的中点 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BCD【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、证明线面平行、线面角的向量求法、线面平行的性质 【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解. 【详解】对于A，连接， 在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以，， 所以，则平面与平面为同一平面， 所以平面截正方体所得截面为平面，为四边形，故A错误； 对于B，在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，连接， 因为，且，所以四点共面， 因为在正方体中，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则，则， 因为E为棱的中点，所以G为棱的中点，故C正确； 对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，    设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确.故选：BCD. 25．如图，已知正方体的棱长为1，若点E、F是正方形内（包括边界）的动点，若，，则下列结论正确的是（    ） A．点E到的最大距离为 B．点F的轨迹是一个圆 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】选项A：由，得，分析得的轨迹为圆，再求最值即可；选项B：由平面，而点在上，即的轨迹为线段；选项C：由E的轨迹为圆，的轨迹为线段，可分析得；选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】对于A:，即，所以， 即点E在面内，以为圆心、半径为的圆上， 所以，当位于中点时，到直线的距离最大， 取的中点，连接，由题意得平面， 平面，所以，又因为，， 平面，所以平面，平面， 所以，所以到直线的距离最大为，故A正确；    对于B： 正方体中，，又，且， 所以平面，所以点F在上，即的轨迹为线段，故B错误； 对于C：在平面内，   到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确； 对于D：    建立如图示的坐标系，则， ， 由B选项的证明过程可知：的轨迹为线段， 所以设，则，则， 而 设平面的法向量，则有， 不妨令，则， 设与平面所成角为， 则： 当时，有最大值，故D正确；故选：ACD 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 26．如图，在棱长为6的正方体中，E，F分别是棱，BC的中点，则（    ） A．平面 B．异面直线与EF所成的角是 C．点到平面的距离是 D．平面截正方体所得图形的周长为 【答案】BCD【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、点到面距离公式，结合正方体的性质逐一判断即可. 【详解】如图，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 所以． 设平面的法向量为， 则令，得，所以． 因为， 所以与平面不垂直，则A错误． 设异面直线与EF所成的角为， 则，从而，故B正确． 连接，因为， 所以点到平面的距离是，则C正确． 分别在棱上取点M，N，使得，， 连接． 可知平面截正方体所得图形为五边形． 由题中数据可得， 则平面截正方体所得图形的周长为，故D正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据正方体的性质得到截面的形状. 27．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ）    A．当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 【答案】ABD【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、异面直线夹角的向量求法、立体几何中的轨迹问题、由线面平行求线段长度 【分析】对A：由的面积不变，点到平面的距离不变，求出体积即可； 对B：以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，结合向量的夹角公式，可判定B正确； 对C：设，求得平面的一个法向量为，得到，可判定C错误. 对D：由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹，可判定D正确； 【详解】对于A：的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长， 所以三棱锥的体积的体积不变， 且，所以A正确； 对于B：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得， 设，则， 设直线与所成角为， 则， 因为，当时， 可得，所以； 当时，， 由，所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确； 对于C，由， 设， 则 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，所以， 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，所以C错误. 对于D：因为直线与平面所成的角为， 由平面，得直线与所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为，故不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以，又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹的长度为， 综上，点的轨迹的总长度为，所以D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 28．如图，棱长为的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（    ）    A．当时，平面 B．当时，若平面，则的最大值为 C．当时，若，则点的轨迹长度为 D．过、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形 【答案】AC【难度】0.4【知识点】判断正方体的截面形状、面面平行证明线面平行、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；分别取、中点、，连接、、、、，找出点的轨迹，结合图形求出的最大值，可判断B选项；作出截面，分析截面的形状，可判断D选项. 【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、，、、， 对于A选项，当时， ， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 所以，，则， 因为平面，故当时，平面，A对； 对于B选项，当时，为中点，    分别取、中点、，连接、、、、， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为且，所以，四边形为平行四边形，则， 所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为且，、分别为、的中点， 所以，且，所以，四边形为平行四边形，可得且， 又因为且，所以，且， 故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，则平面， 因为，、平面平面， 当点为的边上一点（异于点）时，则平面，则平面， 故点的轨迹为的边（除去点）， 因为，同理可得， 结合图形可得，B错； 当时，、分别为、的中点，如下图所示：    此时点、、，， 当点在平面内运动时，设点，其中，， 则， 因为，则，解得， 设点的轨迹分别交棱、于点、，则、， 当点在平面内运动时，设点，其中，， ，则， 设点的轨迹交棱于点，则，设点的轨迹交棱于点， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，，同理可得， 所以，四边形为平行四边形，且，， 因此，点的轨迹的长度即为平行四边形的周长，C对； 对于D选项，设截面交棱于点，连接、，    题意可知，截面与平面重合， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，，同理可得， 所以，四边形为平行四边形， 易知，其中，所以，，， 所以，，故与不可能垂直， 故平行四边形不可能为矩形，故过、、三点的截面不可能是矩形，D错.故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用平面的性质确定截面形状的依据如下： （1）平面的四个公理及推论; . （2）直线与平面平行的判定与性质; （3）两个平面平行的性质. 29．已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（    ） A．若取得最小值，则 B．若，则平面 C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为 D．直线到平面的距离为 【答案】BCD【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，对每个选项逐一分析即可． 【详解】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示， 因为正四面体的长为2， 所以正方体的棱长为， 则，，， 因为点，分别为和的重心， 所以点的坐标为，点的坐标为 所以 设，则， 所以， 所以， ， 对于Ａ：因为， ， 所以， 当时，即，，取得最小值，故A错误； 对于B：若，则， 所以， 因为，，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 因为， 所以平面，即平面，故B正确； 对于C：若平面，则，即， ，即， 设平面的一个法向量为，因为，， 则，取，则， 因为， 所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上， 又因为点为等边三角形的重心， 所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为， 设三棱锥外接球的半径为， 则，即，解得， 所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，故C选项正确； 对于D：因为点的坐标为，点的坐标为， 所以， 设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，取，则， 因为，且直线平面， 所以直线平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 则点到平面的距离， 即直线到平面的距离为，故D正确，故选：BCD． 30．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点B到平面的距离相等 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD选项；作出截面，计算出截面面积，可判断C选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、 、、、， 对于A选项，，，则， 所以直线与直线不垂直，故A错误； 对于B选项，设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，所以，即， 因为平面，平面，故B正确； 对于C选项，连接、、，因为、分别为、的中点，则， 且，所以四边形为平行四边形，则， 所以，所以、、、四点共面， 故平面截正方体所得截面为， 且，同理可得，， 所以四边形为等腰梯形， 分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，如下图所示： 因为，，， 所以，故，， 因为，，，则四边形为矩形， 所以， ，故， 故梯形的面积为，故C正确； 对于D选项，，则点到平面的距离为， ，则点到平面的距离为， 所以点与点到平面的距离相等，故D正确.故选：BCD. 31．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点G到平面的距离为定值 B．若，则的最小值为2 C．若，且，则点G到直线的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ACD【难度】0.15 【知识点】求点面距离、线面角的向量求法、点到直线距离的向量求法、线面平行的性质 【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面垂直的判定定理判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解. 【详解】对于A，在正方体中，E，F分别为棱，的中点， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故A正确； 对于B，连接，面，是在平面上的射影， 要使，则， 所以点M的轨迹是平面上以F为圆心，1为半径的半圆， 所以的最小值为，故B错误； 对于C，连接，，，， 因为，且，所以A，E，，G四点共面， 因为在正方体中，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，则，则， 因为E为棱的中点，所以G为棱的中点， 故以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，，，， 所以，，，， 故点G到直线距离，故C正确； 对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 设（），则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角为（）， 则， 因为，所以，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：（1）向量法求点面距离：求出平面的法向量，则点到平面的距离公式为. （2）向量法求线面所成角的正弦值：求出平面的法向量，则. 32．已知正方体棱长为1，动点M满足，则（    ） A．当，时，直线⊥平面 B．当，，时，点M到直线的距离为 C．当，，时，的值可能为 D．当且时，点M的轨迹长度为 【答案】BD【难度】0.15【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、点到直线距离的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】A选项，先得到点为的中点，建立空间直角坐标系，计算出，故与不垂直，故直线与平面不垂直；B选项，求出，利用点到直线的距离向量公式求出点M到直线的距离；C选项，求出，计算出，利用图形关系得到其最小值，由于最小值大于，C错误；D选项，推出点在平面上，并得到⊥平面，且，又，故，求出点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆，轨迹长度为，D正确. 【详解】A选项，当，，此时点为的中点， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由于，， 故， 故与不垂直，故直线与平面不垂直，A错误； B选项，当，，时， ， 设，则，解得， 故，， 又，故， 故点M到直线的距离为，B正确； C选项，当，，时， ， 设，则，解得， 故， 其中，故， 故 ， 如图所示，， 显然当三点共线时，取得最小值， 最小值为， 则的最小值为， 当且仅当，即时，等号成立， 故的值不可能为，C错误； D选项，当时， ， 故，即， 故点在平面上， 连接，交平面于点，则， 因为， ， 故⊥，且⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 且， 又，故， 故点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故轨迹长度为，D正确.故选：BD 【点睛】立体几何中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 33．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A．当平面时，可能垂直 B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C．当时，的最小值为 D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，] 【答案】ABD【难度】0.15 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法、由线面角的大小求值 【分析】依题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、D，连接，则即为与平面所成角，根据锐角三角函数得到的轨迹，即可判断B，将平面与平面沿展成平面图形，化曲为直，利用余弦定理计算即可判断C； 【详解】解：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的一个法向量为， 若平面，则， 即，则当时，，即P为中点时， 有平面，且，故A正确； B选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故B正确； C选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值，利用余弦定理可知 所以，故C错误； D选项：正方体经过点､P､C的截面为平行四边形，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，，， 所以点P到直线的距离为 ， 于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为； 当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确. 故选：ABD 34．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD【难度】0.15 【知识点】求异面直线所成的角、判断线面平行、证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于B，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于C，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于D，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【详解】 对于A，连接，，，， 平面，，同理，，，直线平面，故A正确； 对于B，∥，平面，平面，∥平面， 点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，平面，，，此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故C错误； 对于D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积的计算方法、异面直线所成角的计算方法、利用向量法求解直线与平面所成角的正弦值，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题. 35．已知梯形，，，，是线段上的动点；将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项中正确的是（    ） A．不论何时，与都不可能垂直 B．存在某个位置，使得平面 C．直线与平面所成角存在最大值 D．四面体的外接球的表面积的最小值为 【答案】AD【难度】0.15 【知识点】多面体与球体内切外接问题、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】利用反证法可判断AB选项的正误；分别取、的中点、，连接、，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断C选项的正误；设四面体的外接球心为，求出四面体外接球半径的最小值，可判断D的正误. 【详解】对于A选项，在梯形中，，，， ，且，则， 因为，由余弦定理可得， ，， 若，且，平面， 平面，，事实上，矛盾， 故不论何时，与都不可能垂直，A选项正确； 对于B选项，若平面，平面，则， 所以，，而，，即， 则、、无法构成三角形，不合乎题意，B选项错误； 对于C选项，分别取、的中点、，连接、，则， ，，则， ，为的中点，则， ，故平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、，， 设三棱锥的球心为， 由可得，解得， 设三棱锥的外接球半径为，则，当且仅当时，等号成立， 因此，四面体的外接球的表面积的最小值为，D选项正确. 对于C选项，设， ， 易知平面的一个法向量为， ， 而， 即当时，无最大值，进而可知直线与平面所成角无最大值，C选项错误. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题 36．如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、余弦定理解三角形、线面角的向量求法 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可. 【详解】解：连接，过点作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示： 在三角形中，因为， 故， 则， 则， ， 故点，又，，， 设点，，由，可得， ，， 设平面的法向量， 则，即， 取，则， 故平面的法向量， 又， 设直线与平面所成角为，， 则， 因为，且， 故令，，， 则，，， 又，所以， ，即， 所以的最大值为.故答案为：. 37．如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 【答案】【难度】0.4 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如图1），设点，由，得，求出坐标，由得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论． 【详解】中，根据余弦定理，，根据正弦定理，得，由知，则， 如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点，点的投影在轴上，即，由，根据两点间距离公式， 可得，整理为．                   图1                                图2 如图2，在翻折过程中，作于点，则， 并且平面， 所以平面平面， 所以，即，其中． 又动点在线段上，设，所以，且． 由，得， 又因为，对应的的取值为，即， 由已知斜线与平面所成角是， 所以． 故斜线与平面所成角的正弦值的最大值为．故答案为：． 38．棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点， ，则的最小值为 【答案】/【难度】0.4 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、点到平面距离的向量求法、空间向量与立体几何综合 【分析】利用对称将的最小值问题转化为求解点到平面的距离，再建立直角坐标系，利用法向量方法求解点面距. 【详解】如图，取点关于平面的对称点， 设点到平面的距离为, 则，， 以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则点是线段靠近的三等分点， 又正方体棱长为， 则， 则，且， 设平面的法向量为， 则，取，则， 则， 则点到平面的距离 . 【点睛】空间几何体中的距离之和的最值问题处理一般有以下方法： （1）借助参数表达，转化为函数最值求解；（2）利用展开图，将空间距离和转化为平面内距离和问题，再利用两点之间线段最短求解；（3）借助对称，化线（面）的同侧为线（面）的异侧，转化为点点（点线、点面）距离求解，等等. 39．如图，棱长为1的正方体的八个顶点分别为，记正方体12条棱的中点分别为，6个面的中心为，正方体的中心为.记，，其中是正方体的体对角线.则 .    【答案】/40.5【难度】0.4【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算，可求的值. 【详解】   建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，，，， 设向量，而， 故，故表示各点的坐标和的和. 现各点的横坐标之和为，纵坐标之和为，竖坐标之和为， 根据对称性可得， 故，故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于一些较为复杂的计算问题，如果直接算比较麻烦，则可以换一个等价的计算方法，从而使得问题得以简化. 40．已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为 . 【答案】/【难度】0.4 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量与立体几何综合 【分析】首先由可得是在以为球心半径为4的球面上，进而得到其在平面的交线，故取值最小时，，，三点共线，利用平面几何的运算可计算出在上的投影，进而得到答案. 【详解】由可得是在以为球心半径为4的球面上， 由于，， 取值最小时，其在平面内， 其在平面的交线为如图所示的圆弧. 故取值最小时，，，三点共线， 通过点往作垂线，垂足为，则， 则，故， 代入解得，从而， 因此 .故答案为：. 关键点点睛：本题考查立体几何中点的轨迹问题，解题关键是找到点在平面的运动轨迹．进而得到取值最小时，，，三点共线，然后通过点往作垂线，垂足为，进而可计算出在上的投影，进而得到答案. 41．如图，在四棱台中，，，，则的最小值为 ． 【答案】【难度】0.4【知识点】证明线面垂直、点面距离的概念及性质、空间向量的加减运算 【分析】先由平面向量的基本定理推得所求为四棱台的高，再结合图形利用线面垂直的判定定理证得面，由此依次在，中求得，，最后在中求得，即为所求. 【详解】设，由平面向量基本定理与，可得点为平面内任一点， 故， 显然，当平面时，为四棱台的高的长度，取得最小值， 由于过点作高不好解答，不妨过作平面，则也为四棱台的高，其长度即为所求. 再作于，连结，如图， 因为平面，平面，所以， 又，面，所以面， 因为面，所以， 所以在中，，，可得，， 又由，所以为的平分线（注：此处也可过作的垂线，垂足为，同理可得，从而得到证得）， 所以在中，，故， 所以在中，， 所以四棱台的高为，故的最小值为. 故答案为：. . 【点睛】本题综合了空间向量，立体几何及三角形知识，难度较大，关键点在于先利用向量基本定理将要求向量的模转化为棱台的高，过作出高，再结合线面垂直的判定以及解三角形的知识加以求解即可. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $