精品解析：山西省吕梁市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

吕梁市2024—2025学年高一第一学期期末调研测试 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4项，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上填写好自己的学校､班级､姓名､准考证号等信息将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”. 3.考生作答时，请将答案正确地填写在答题卡上，答在本试卷上无效， 4.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的交运算求集合. 【详解】由. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是将存在改任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为. 故选：A 3. 一个扇形的圆心的为，弧长为，则其面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形面积公式即可求解 【详解】设扇形的半径为，则由弧长公式得，解得， 所以扇形的面积是. 故选：D 4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算即可得. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以关于的一元二次方程的两个根分别为，2， 由根与系数的关系可得，解得，所以， 故选：B 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，根据指数函数和对数函数的单调性可得的范围，进而可得. 【详解】因为，所以， 即, 故, 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化成，再结合化简即可. 【详解】原式， 因为，则，所以上式. 故选：A 7. 已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 8. 已知函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当，是增函数，由函数零点存在定理得零点；当时，得且，进而可知零点为，进而可得实数的取值范围. 【详解】当时，是增函数， 又因为，由函数零点存在定理知，存在，使得. 当时，由得，解得且. 综上，要使函数在区间上有且仅有4个零点，则零点为， 所以，得. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对数运算及运算律判断A，D，应用指数运算判断B，C. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A；利用基本不等式，结合指数幂的运算法则可以判定C；取中一个较小，一个较大时可得出反例从而否定B；利用乘1法，结合基本不等式可以判定D. 【详解】因为.所以 即，得（当且仅当时，等号成立），故A正确； 当时，满足，此时，故B错误； （当且仅当时，等号成立），故C错误； 由得，所以 （当且仅当时，等号成立），故D正确. 故选：AD 11. 已知，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正切函数定义域及函数值计算判断A，应用对称性定义计算判断B，C，应用单调性定义证明判断函数单调性判断D. 【详解】要使有意义，则且有意义，所以且，故A错误； 因为，故B正确； .故C正埆； 设，且， 则， 因为，且， 所以， 得，即，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求函数值即可. 【详解】当时，，所以， 因为为奇函数，所以. 故答案为： 13. 已知函数，若，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】不妨设，去绝对值符号，再根据对数的运算性质即可得解. 【详解】令，则， 函数在上单调递增， 不妨设， 由可得， 去绝对值化简得， 故，所以. 故答案为：. 14. 午夜零时时针和分针重合，则午夜零时后，时针和分针第1次重合所需时间为__________小时，第3次重合时时针所转的角度为__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据任意角定义，设分针的角速度为，时针的角速度为，进而求出、对应的时间及弧度角. 【详解】设从午夜零时起，分针走了小时后与时针重合， 分针的角速度为，时针的角速度为， 则，得. 当时，, 当时，，这时时针所转的角度为. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知角是第三象限角，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）在等式两边平方可得出的值，推导出，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值； （2）联立方程组解出、的值，利用同角三角函数的商数关系可求得的值； （3）利用诱导公式化简的表达式，结合（1）中的结论可得出的值. 【小问1详解】 由得，则， 所以. 又因为角是第三象限角，则，， 所以，，所以. 【小问2详解】 由（1）可得解得，所以. 【小问3详解】 ， 所以. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据根式以及分式的性质即可求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）根据单调性以及定义域，列不等式求解. 【小问1详解】 要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 17. 山西某村为富硒土壤，且气候适宜，非常适合种植樱桃.近年来，为全面推进乡村振兴，实现共同富裕，当地党委带领村民积极发展规模化种植，完善深加工产业链，成立深加工合作社，建立橿桃批发市场.该地樱桃一般从5月1日开始上市，6月20日基本结束.通过市场调查，得到樱桃的投入成本（单位：元/千克）与上市时间（单位：天数）的数据如下表：（上市时间满足） 上市时间（天数） 10 22 50 投入成本（元/千克） 3 2.16 3 （1）根据上表数据，请从下列四个函数模型中选取一个恰当的函数模型反映樱桃投入成本与上市时间的关系（需说明理由），并求出相应的函数解析式； ①，②，③，④. （2）利用你选取的函数模型，求投入成本最低时樱桃的上市时间及最低投入成本. 【答案】（1）应选用函数模型， （2）30天，最低投入成本为2元/千克. 【解析】 【分析】（1）先根据数据及单调性即可判断只有模型符合，然后将数据代入建立方程组，求出参数； （2）由于模型为二次函数，结合定义域，利用配方法即可求出最低种植成本以及对应得上市时间. 【小问1详解】 由表中所提供的数据可知，反映樱桃的投入成本与上市时间的关系的函数不是常数函数， 故用函数中的任意一个来反映时都应有， 此时上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合， 所以应选用函数模型. 将表中提供的三组数据分别代入， 得解得 所以反映樱桃投入成本与上市时间的关系的函数为： . 【小问2详解】 由（1）知， 所以当（天）时，楼桃的投入成本最低， 最低投入成本为2元/千克. 18. 已知函数只满足以下四个条件中的三个：①的最小正周期为；②函数图象的两条对称轴之间的最小距离为；③；④. （1）请找出这三个条件并说明理由，求出函数的解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）若函数在上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）选②③④，； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据条件易知①②相互矛盾，再选①③④得到，即知应选②③④，再根据给定的函数性质求的解析式； （2）由正弦型函数的性质求单调增区间； （3）由已知得，结合区间单调性有，即得范围. 【小问1详解】 由②，得函数的最小正周期为，所以①②相互矛盾， 若选①③④，则，由，得，又，解得， 这时，得，故选②③④， 由②，得，由得，由，解得. 这时，满足. 由，得， 所以. 【小问2详解】 由，解得. 又，所以或. 所以在上的单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2），得函数在上单调递增，在上单调递减， 且， 要使函数在上的值域为，则. 即实数的取值范围为. 19. 在研究函数的图象与性质时，经常利用函数图象的平移思想，把一些复杂的函数转化为简单的函数.例如函数且的图象可以看作把奇函数且的图象向右或向左平移个单位长度得到的，这样我们可以得到函数且的图象关于点中心对称.现有函数. （1）根据上面的结论，求函数的对称中心； （2）若，证明函数在定义域内有唯一零点； （3）当，函数的图象关于点中心对称时，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2） 若，则， 由得，所以的定义域为. 又因为在上单调递减， 由复合函数的单调性可知：函数在定义域上是减函数， 又由题设可知函数关于点对称，且有. 对于函数的图象，可以看作是将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到的，知为奇函数且在上为增函数， 故可得函数在区间上单调递增，关于点对称，且有. ，且在定义域上是减函数， 所以函数在定义域内有唯一零点. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义得出对称中心； （2）根据，结合函数的单调性即可证明零点的唯一性； （3）先求函数的单调性，再把存在等式成立转化为的最大值大于或等于的最小值即可计算求解. 【小问1详解】 因为， 根据题中的结论，可得函数中， 故函数的对称中心为， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当的图象关于点中心对称时， 由题中结论可得， 函数在上单调递减，则在上的值域为， 由（2）知在上单调递增，故的值域为. 若存在，使得成立， 则的最大值大于或等于的最小值， 即，即有， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解题第2问证明唯一性及第3问转化存在问题的关键是研究函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吕梁市2024—2025学年高一第一学期期末调研测试 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4项，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上填写好自己的学校､班级､姓名､准考证号等信息将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”. 3.考生作答时，请将答案正确地填写在答题卡上，答在本试卷上无效， 4.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 一个扇形的圆心的为，弧长为，则其面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________. 13. 已知函数，若，且，则__________. 14. 午夜零时时针和分针重合，则午夜零时后，时针和分针第1次重合所需时间为__________小时，第3次重合时时针所转的角度为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知角是第三象限角，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）若，求的值. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 17. 山西某村为富硒土壤，且气候适宜，非常适合种植樱桃.近年来，为全面推进乡村振兴，实现共同富裕，当地党委带领村民积极发展规模化种植，完善深加工产业链，成立深加工合作社，建立橿桃批发市场.该地樱桃一般从5月1日开始上市，6月20日基本结束.通过市场调查，得到樱桃的投入成本（单位：元/千克）与上市时间（单位：天数）的数据如下表：（上市时间满足） 上市时间（天数） 10 22 50 投入成本（元/千克） 3 2.16 3 （1）根据上表数据，请从下列四个函数模型中选取一个恰当的函数模型反映樱桃投入成本与上市时间的关系（需说明理由），并求出相应的函数解析式； ①，②，③，④. （2）利用你选取的函数模型，求投入成本最低时樱桃的上市时间及最低投入成本. 18. 已知函数只满足以下四个条件中的三个：①的最小正周期为；②函数图象的两条对称轴之间的最小距离为；③；④. （1）请找出这三个条件并说明理由，求出函数的解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）若函数在上的值域为，求实数的取值范围. 19. 在研究函数的图象与性质时，经常利用函数图象的平移思想，把一些复杂的函数转化为简单的函数.例如函数且的图象可以看作把奇函数且的图象向右或向左平移个单位长度得到的，这样我们可以得到函数且的图象关于点中心对称.现有函数. （1）根据上面的结论，求函数的对称中心； （2）若，证明函数在定义域内有唯一零点； （3）当，函数的图象关于点中心对称时，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $