精品解析：山西省吕梁市兴县多校2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

2024—2025年度九年级上册阶段性质量检测试顾数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 正方形作为一种简单而纯粹的几何形状，蕴含着丰富的美学价值．其独特的美学魅力体现在均衡与和谐上，我国古代许多建筑设计和棋盘设计中均存在正方形要素，正方形的中心角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则旋转中心是（ ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 5. 校长陪餐制度深受学生家长的认可，一天午餐时，张校长已经坐在了④号座位，学生甲在①～③号座位中随机选择一个座位就坐，则学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 40米 D. 45米 7. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，爱动脑筋的欣欣发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了（ ） A. B. C. D. 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为x，根据“两天不练丢一半”，可得方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，C，D为上的两点，，，点E在直径上，且，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 12 10. 如图，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热．如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中．若的半径为，平底烧瓶的高度为，，则该平底烧瓶底面圆的直径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件是_____．（填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”） 12. 龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强．若某次形成的龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，则小明______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 13. 自动无人驾驶技术已经在某些城市开始应用，其极大地方便了市民的出行．某型号无人驾驶汽车在进行刹车性能测试时，其刹车距离与刹车时的速度满足关系式．若刹车距离为，则刹车时的速度为______． 14. 如图，中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图2是部分扇形摆盘的平面几何示意图（阴影部分为摆盘）．通过测量，得到，若C，D两点之间的距离是，，则阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度后，得到，取的中点D，的中点E，则在旋转过程中，线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求原方程的解． （2）若原方程有实数根，求m的取值范围． 17. 如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 18. 红色研学作为一种独特的教育实践活动，其意义深远而重大，不仅是一次历史的追溯，更是一次心灵的洗礼和精神的传承．向阳中学利用假期时间带领学生进行山西革命圣地红色研学活动，七年级统一安排去晋察冀军区司令部旧址纪念馆研学，八年级和九年级由年级主任随机从下列三个红色景点中抽取一个进行研学． （1）九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为 ． （2）若八年级主任先从三个景点中随机抽取一个，接着九年级主任再从剩余的两个景点中机抽取一个，求至少有一个年级抽到景点C一太原解放纪念馆的概率． 19. 山西太原剪纸是国家非遗文化之一，某实践小组为一件剪纸艺术作品添加边框，两种设计方案如下．图1设计方案中扇形的半径为，圆心角为，图2设计方案中矩形的长为，宽为．为了美观需对边框用彩条封边，通过计算，比较哪种设计方案使用的彩条较短． 20. 已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应取值如下表． x … 0 1 … y … 5 2 1 … （1）求该二次函数的解析式． （2）若，则______（填“”“”或“”） 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并解答下列问题． 过圆外一点作圆的切线的尺规作图 已知，及圆外一点P． 求作：过点P作的一条切线． 作法：①连接； ②作的▲，交于点A； ③以点A为圆心，的长为半径作，交于点B； ④作直线． 直线即为所求作的一条切线． （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． （2）求证：直线为的切线． （3）如图，C为与的交点，连接．若，则______． 22. 综合与实践 问题情境：元旦晚会舞台布置中需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接A，B两点，点C位于点B正下方的地面处，以点A正下方的地面处的点O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线解析式的二次项系数为，米，米，但实际实施方案后发现最低点过低． 方案修改：莉莉将方案进行修改，如图2，将图1中灯链的最低点固定在距地面2.7米的点N处，点N两侧的灯链形成了两个对称的新抛物线． （1）求图1中抛物线的解析式． （2）若图1中抛物线的最低点为M，求点M到的距离． （3）若图2中两个最低点的距离为4米，修改方案后最低点提高了多少米？ 23. 综合与探究 如图，O为的边上的一点，以点O为圆心，的长为半径作圆，交于点D，过点A作，交于点E． （1）如图1，连接，若，则______． （2）如图2，连接，交于点F，连接，且． ①求证：为的切线． ②若求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025年度九年级上册阶段性质量检测试顾数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选C． 2. 正方形作为一种简单而纯粹的几何形状，蕴含着丰富的美学价值．其独特的美学魅力体现在均衡与和谐上，我国古代许多建筑设计和棋盘设计中均存在正方形要素，正方形的中心角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的中心角，解决问题的关键是熟练掌握正多边形的中心角的定义及计算方法． 正多边形的中心是正多边形的外接圆的圆心，正多边形的中心角是正多边形每一边所对的外接圆的圆心角，据此即可解答， 【详解】解：如图， 设正方形的中心为点O， 则 故选：B． 3. 用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解答此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．把方程左边化为完全平方式即可． 【详解】解： 两边加1得，， 即：． 故选：B 4. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则旋转中心是（ ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据图形旋转的性质，旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等即可解决问题． 【详解】解：由图可得， 令正方形网格的边长为1， 则， ， ， 所以点F为旋转中心． 故选：C． 5. 校长陪餐制度深受学生家长的认可，一天午餐时，张校长已经坐在了④号座位，学生甲在①～③号座位中随机选择一个座位就坐，则学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 利用概率计算公式计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为， 故选：B． 6. 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 40米 D. 45米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据题意，把代入计算即可求解． 【详解】解：炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为， ∴第5秒时炮弹的飞行高度为（米）， 故选：D ． 7. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，爱动脑筋的欣欣发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式：(弧长为，圆心角度数为，圆的半径为)．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物上升了． 故选B． 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为x，根据“两天不练丢一半”，可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由题意得：一天后记得的知识为，两天后记得的知识为，即可求解． 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为，两天后记得的知识为， ∴， 故选：D． 9. 如图，为的直径，C，D为上的两点，，，点E在直径上，且，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质和判定，圆的性质的应用，根据三角形全等，得到，从而，利用直径所对的圆周角为，通过求的面积，得到结果． 【详解】解：交于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热．如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中．若的半径为，平底烧瓶的高度为，，则该平底烧瓶底面圆的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，，过点O作，交于点E，交于点F，利用垂径定理和勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，，过点O作，交于点E，交于点F， ∵， ∴， ∵截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形， ∴，可以看作是由的弦， ∴垂直平分，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件是_____．（填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”） 【答案】随机事件 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，随机事件∶在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件∶在一定条件下，一定不会发生的事件． 根据事件的分类即可得到答案． 【详解】解：在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件，可能发生，也可能不发生，是随机事件， 故答案为：随机事件． 12. 龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强．若某次形成的龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，则小明______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 【答案】不会 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系即可得出答案． 【详解】解：∵龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，， ∴小明不会受到龙卷风的影响． 故答案为：不会． 13. 自动无人驾驶技术已经在某些城市开始应用，其极大地方便了市民的出行．某型号无人驾驶汽车在进行刹车性能测试时，其刹车距离与刹车时的速度满足关系式．若刹车距离为，则刹车时的速度为______． 【答案】50 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据函数解析式直接将代入求解即可． 【详解】解：∵，刹车距离为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：刹车时的速度为． 故答案为：50． 14. 如图，中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图2是部分扇形摆盘的平面几何示意图（阴影部分为摆盘）．通过测量，得到，若C，D两点之间的距离是，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先证是等边三角形，求出，再利用扇形面积公式分别求出和，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意，， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键． 15. 如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度后，得到，取的中点D，的中点E，则在旋转过程中，线段的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质等知识，连接，根据将绕顶点A顺时针旋转得到，可得，，由E为的中点，知，求出，当点D在线段上时，取得最小值，据此解答． 【详解】解：如图，连接． ∵， ， ∵将绕点A旋转得到， ． ∵E为的中点， ． ，D为的中点， ． 在中，， ∴当点D在线段上时，取得最小值，此时最小值． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求原方程的解． （2）若原方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入方程，再利用配方法求解可得； （2）根据方程有实数根得出，据此列出关于m的不等式求解可得． 【小问1详解】 解：当时，原方程为， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：原方程有实数根， ， 解得， 该方程是一元二次方程， ， 且． 17. 如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 18. 红色研学作为一种独特的教育实践活动，其意义深远而重大，不仅是一次历史的追溯，更是一次心灵的洗礼和精神的传承．向阳中学利用假期时间带领学生进行山西革命圣地红色研学活动，七年级统一安排去晋察冀军区司令部旧址纪念馆研学，八年级和九年级由年级主任随机从下列三个红色景点中抽取一个进行研学． （1）九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为 ． （2）若八年级主任先从三个景点中随机抽取一个，接着九年级主任再从剩余的两个景点中机抽取一个，求至少有一个年级抽到景点C一太原解放纪念馆的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画树状图或列表，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：∵八年级和九年级由年级主任随机从三个红色景点中抽取一个进行研学， ∴九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的情况，其中至少有一个年级抽到景点C太原解放纪念馆的结果有4种， ∴至少有一个年级抽到景点C太原解放纪念馆的概率为． 19. 山西太原剪纸是国家非遗文化之一，某实践小组为一件剪纸艺术作品添加边框，两种设计方案如下．图1设计方案中扇形的半径为，圆心角为，图2设计方案中矩形的长为，宽为．为了美观需对边框用彩条封边，通过计算，比较哪种设计方案使用的彩条较短． 【答案】 图1设计方案使用彩条的长度为； 图2设计方案使用彩条的长度为． ， ∴图1设计方案使用的彩条较短． 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，长方形的性质，分别求出两个图案的周长，然后比较即可． 【详解】略 20. 已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应取值如下表． x … 0 1 … y … 5 2 1 … （1）求该二次函数的解析式． （2）若，则______（填“”“”或“”） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，解题的关键是正确分析表中的数据． （1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式； （2）观察表格求出抛物线的对称轴，确定开口方向，根据增减性判断即可． 【小问1详解】 解：将，和，代入， 得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：二次函数的对称轴为，开口向上， ∵，y随x的增大而增大， ∴， 故答案为：． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并解答下列问题． 过圆外一点作圆的切线的尺规作图 已知，及圆外一点P． 求作：过点P作的一条切线． 作法：①连接； ②作的▲，交于点A； ③以点A为圆心，的长为半径作，交于点B； ④作直线． 直线即为所求作的一条切线． （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． （2）求证：直线为的切线． （3）如图，C为与的交点，连接．若，则______． 【答案】（1）垂直平分线 （2） 证明：∵为的直径， ， ． ∵是的半径， ∴直线为的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）根据作图步骤即可得到解答； （2）由作图可知为的直径，则，得到．由是的半径即可证明直线为的切线； （3）根据三角形内角和定理和等边对等角即可得到答案． 【小问1详解】 过圆外一点作圆的切线的尺规作图 已知，及圆外一点P． 求作：过点P作的一条切线． 作法：①连接； ②作的垂直平分线交于点A； ③以点A为圆心，的长为半径作，交于点B； ④作直线． 直线即为所求作的一条切线． 故答案为：垂直平分线 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了基本作图、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 22. 综合与实践 问题情境：元旦晚会舞台布置中需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接A，B两点，点C位于点B正下方的地面处，以点A正下方的地面处的点O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线解析式的二次项系数为，米，米，但实际实施方案后发现最低点过低． 方案修改：莉莉将方案进行修改，如图2，将图1中灯链的最低点固定在距地面2.7米的点N处，点N两侧的灯链形成了两个对称的新抛物线． （1）求图1中抛物线的解析式． （2）若图1中抛物线的最低点为M，求点M到的距离． （3）若图2中两个最低点的距离为4米，修改方案后最低点提高了多少米？ 【答案】（1） （2）点M到的距离为2.25米 （3）米 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用． （1）设抛物线的解析式为．由抛物线的对称轴为直线即可解得，得到答案； （2）将代入即可求出答案； （3）求出左边的新抛物线的对称轴为直线．设左边的新抛物线的解析式为，利用待定系数法求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 将代入， 得（米）． 答：点M到的距离为米． 【小问3详解】 ∵图2中两个新抛物线对称，且最低点之间的水平距离为4米， ∴左边的新抛物线的对称轴为直线． 设左边的新抛物线的解析式为． 将点代入， 得 解得 ∴灯链最低点提高了（米）． 23. 综合与探究 如图，O为的边上的一点，以点O为圆心，的长为半径作圆，交于点D，过点A作，交于点E． （1）如图1，连接，若，则______． （2）如图2，连接，交于点F，连接，且． ①求证：为的切线． ②若求的面积． 【答案】（1） （2） ①证明：∵， ． ∵， ， ． ∵AD为的直径， ， ． ， ， ， ， ∴为的切线． ② 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得，由圆周角定理得，即可求解； （2）①证明，而为的直径，得到，即可求解； ②证明，设，则在中，由，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵A， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②如图，连接，并延长交于点G． ， ． ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． ∵， ， ． ∵AD为的直径， ． ∵， ， ． ， ， ． ， 设，则在中，． ， ， 解得，即， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，圆切线的判定，圆内接四边形的性质，三角形全等，勾股定理的运用等，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $