精品解析：辽宁省丹东市振兴区丹东市第五中学2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

2024-2025（上）九年级教学质量监测（二） 数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 考试时间：2024.11.11 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：总人数为人， 随机抽取一个学号共有种等可能结果， 抽到的学号为男生的可能有种， 则抽到的学号为男生的概率为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式求概率；解题的关键是熟练掌握概率公式． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选C． 4. 如图是某个部件的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图的意义，判断解答即可，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键． 【详解】解：部件的实物图的俯视图是： ． 故选：B． 5. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 6. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 7. 如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则． 【详解】解：、为边的三等分点，， ，，， ，是的中位线， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是边长为6的正方形， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 又， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 9. 如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明，求出，连结，设与交于点F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题． 【详解】解：∵矩形的边，， ∴，，， 由题意知， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴，即， 连接，设与交于点F， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可由定理证，即可判定是等腰直角三角形，进而可得，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得；由此即可判断①正确；再根据，可判断③正确，进而证明，可得，结合，即可得出结论④正确，由随着长度变化而变化，不固定，可 判断②不一定成立． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 又∵,, ∴, ∴， ∵，即：， ∴， ∴，故③正确， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确， ∵若，则， 又∵， ∴， 而点E是上一动点，随着长度变化而变化，不固定， 而， 则故不一定成立，故②错误； 综上，正确的有①③④共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形＂三线合一＂的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】，且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 12. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为___________． 【答案】x(x－1)＝1056 【解析】 【分析】全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056． 故答案为：x（x-1）=1056． 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．读懂题意，找到等量关系是解题关键． 13. 若，则的值为__________． 【答案】##1.25 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，可得等式，根据等式的性质，可得答案，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：由比例的性质，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 两边都除以，得 ． 故答案为：． 14. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是19．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质，①根据线段垂直平分线的性质判断即可；②先根据相似三角形的判定与性质求出对角线的长，再根据四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可；③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；④利用将军饮马问题求出最小值判断，正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：， 当时，， 点不一定是的中点，则不一定相等，故①错误； 如图1，延长交于点，则是矩形， 在矩形中，， ，， ， ， ， ， ，即， 解得，， ，故②正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ，故③正确； ， 当最小时，的值最小， 作、关于、的对称点、， 由对称的性质得，，， 把图1中的向上平移到图2中的位置，使得，连接，即为的最小值， 则，， ， 即的最小值是，故④错误； 故答案为：②③． 三、解答题（16题8分、17题8分、18题8分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法解方程是解题的关键． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 所以，； 17. 如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ． （2） 【解析】 【分析】（1）可证，从而可证四边形是菱形，即可得证； （2）可求，再证，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 18. 列方程解应用题：某公司今年7月的营业额为2500万元，按计划第三季的总营业额要达到9100万元，求该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率． 【答案】该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率是20%． 【解析】 【分析】设该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率为x，根据题意找出等量关系列方程进行求解即可得． 【详解】解：设该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率为x， 则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100， 解得x1＝0.2或x2＝﹣3.2（不合题意，舍去）， 则该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率是20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系． 四、（19题8分、20题9分） 19. △ABC在边长为1的正方形网格中如图所示． （1）画出将△ABC向右平移5个单位长度的 ； （2）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形，使△ABC与位似比为1：2．且△ABC 与位于点C的两侧，并表示出点的坐标． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，点的坐标为（3，3）. 【解析】 【分析】（1）画出点A、B、C经过平移后的对应点，再顺次连接即得； （2）根据位似变换的定义作图即可，根据作出的图形即可写出点的坐标. 【详解】解：（1）平移后的如图所示； （2）如图所示，点的坐标为（3，3）. 【点睛】本题主要考查了平移变换和位似变换的作图，得出变换后的对应点的坐标是解题关键. 20. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________； （2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人； （3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率． 【答案】（1）80，16， （2）40 （3）恰好抽到2名女生的概率为． 【解析】 【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可； （2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：接受问卷调查的学生共有（人， （人， 扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为：80，16，； 【小问2详解】 解：根据题意得： （人， 答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人； 故答案为：40； 【小问3详解】 解：由题意列树状图： 由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种， ∴恰好抽到2名女生的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得，当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点 A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速 度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后 第ts时，△EFG的面积为Scm2． (1)当t＝1s时，S的值是多少？ (2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围； (3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】（1）24cm2;（2）（）或（）；（3）或 【解析】 【分析】（1）当t=1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系． （2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式． （3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解． 【详解】（1）如图1，当秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2 由 = （2）①如图(甲)，当时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动， 此时 即（） ②如图2，当点F追上点G时，，解得． 当时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动． 此时CF=．CG=． FG=CG-CF= 即（） （3）如图(甲)，当点F在矩形的边BC上移动时，． 在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°． ①若．即，解得． 又满足，所以当时，△EBF∽△FCG． ②若．即，解得． 又满足，所以当时，△EBF∽△GCF． 综上所述，当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似． 23. 数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 【答案】[探究一]证明：∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上， ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴ ∴ [探究二]证明：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵公共角， ∴； [探究三] 【解析】 【分析】[探究一]证明，即可得证； [探究二]根据正方形的性质证明，根据三角形内角和得出，加上公共角，进而即可证明 [探究三]先证明，得出，，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．得出，根据全等三角形的性质得出，进而可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． 【详解】[探究一]略 [探究二]略 [探究三] 证明：∵是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上． ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025（上）九年级教学质量监测（二） 数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 考试时间：2024.11.11 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 4. 如图是某个部件的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是______． 12. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为___________． 13. 若，则的值为__________． 14. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______． 15. 如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是19．其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（16题8分、17题8分、18题8分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 列方程解应用题：某公司今年7月的营业额为2500万元，按计划第三季的总营业额要达到9100万元，求该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率． 四、（19题8分、20题9分） 19. △ABC在边长为1的正方形网格中如图所示． （1）画出将△ABC向右平移5个单位长度的 ； （2）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形，使△ABC与位似比为1：2．且△ABC 与位于点C的两侧，并表示出点的坐标． 20. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________； （2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人； （3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点 A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速 度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后 第ts时，△EFG的面积为Scm2． (1)当t＝1s时，S的值是多少？ (2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围； (3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 23. 数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $